最新人教版八年級數(shù)學下冊二次根式全章導學案

1、第16章 二次根式導學案16.1 二次根式(1)一、學習目標1、了解二次根式的概念，能判斷一個式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意義的條件。3、掌握二次根式的基本性質(zhì)：和二、學習重點、難點重點：二次根式有意義的條件；二次根式的性質(zhì)難點：綜合運用性質(zhì)和。三、學習過程（一）復習引入：（1）已知x2 = a，那么a是x的_; x是a的_, 記為_, a一定是_數(shù)。（2）4的算術(shù)平方根為2，用式子表示為 =_；正數(shù)a的算術(shù)平方根為_，0的算術(shù)平方根為_；式子的意義是 。（二）提出問題1、式子表示什么意義?2、什么叫做二次根式？3、式子的意義是什么？4、的意義是什么？5、如何確定一個二次根式有無意義

2、？（三）自主學習自學課本第2頁例前的內(nèi)容，完成下面的問題：1、試一試：判斷下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？，2、計算 ： (1) (2) （3） （4）根據(jù)計算結(jié)果，你能得出結(jié)論： ，其中,的意義是 。3、當a為正數(shù)時指a的 ，而0的算術(shù)平方根是 ，負數(shù) ，只有非負數(shù)a才有算術(shù)平方根。所以，在二次根式中，字母a必須滿足 , 才有意義。（三）合作探究1、學生自學課本第2頁例題后，模仿例題的解答過程合作完成練習 ： x取何值時，下列各二次根式有意義？ 2、（1）若有意義，則a的值為_（2）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x為（ ）。a.正數(shù) b.負數(shù) c.非負數(shù) d.非正數(shù)（四）展示反饋 (學

3、生歸納總結(jié))1非負數(shù)a的算術(shù)平方根(a0)叫做二次根式.二次根式的概念有兩個要點：一是從形式上看，應含有二次根號；二是被開方數(shù)的取值范圍有限制：被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。2式子的取值是非負數(shù)。（五）精講點撥1、二次根式的基本性質(zhì)()2=a成立的條件是a0，利用這個性質(zhì)可以求二次根式的平方，如()2=5；也可以把一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式，如5=()2.2、討論二次根式的被開方數(shù)中字母的取值，實際上是解所含字母的不等式。（五）拓展延伸1、(1)在式子中，x的取值范圍是_.(2)已知+0，則x-y _.(3)已知y+,則= _。 2、由公式，我們可以得到公式a= ,利用此公式可以把任意一個非負數(shù)

4、寫成一個數(shù)的平方的形式。(1)把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：5  0.35(2)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解 4a-11（六）達標測試a組(一)填空題：1、 =_;2、 在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ _）(x-_)（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _) (x- _) （二）選擇題：1、計算 （ ） a. 169b.-13c±13 d.132、已知a. x>-3 b. x<-3 c.x=-3 d x的值不能確定3、下列計算中，不正確的是 （ ）。a. 3= b 0.5= c .=0.3 d =35b組

5、（一）選擇題：1、下列各式中，正確的是（ ）。a. = b c d2、 如果等式= x成立，那么x為（ ）。a x0; b.x=0 ; c.x<0; d.x0（二）填空題:1、 若，則 = 。2、分解因式：x4 - 4x2 + 4= _. 3、當x= 時，代數(shù)式有最小值，其最小值是 。二次根式(2)一、學習目標1、掌握二次根式的基本性質(zhì)：2、能利用上述性質(zhì)對二次根式進行化簡.二、學習重點、難點重點：二次根式的性質(zhì)難點：綜合運用性質(zhì)進行化簡和計算。三、學習過程（一）復習引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性質(zhì)？（2）二次根式有意義，則x 。（3）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x2-6= x2 -

6、（ ）2= （x+ _）(x-_)（二）提出問題1、式子表示什么意義?2、如何用來化簡二次根式?3、在化簡過程中運用了哪些數(shù)學思想?（三）自主學習自學課本第3頁的內(nèi)容，完成下面的題目：1、計算： 觀察其結(jié)果與根號內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當 2、計算： 觀察其結(jié)果與根號內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當 3、計算： 當 （四）合作交流1、歸納總結(jié)將上面做題過程中得到的結(jié)論綜合起來，得到二次根式的又一條非常重要的性質(zhì)：2、化簡下列各式： 3、請大家思考、討論二次根式的性質(zhì)與有什么區(qū)別與聯(lián)系。（五）展示反饋1、化簡下列各式（1） (2) 2、化簡下列各式（1） （2）（x-2） （六）精講點撥利用可將二

7、次根式被開方數(shù)中的完全平方式“開方”出來，達到化簡的目的，進行化簡的關(guān)鍵是準確確定“a”的取值。（七）拓展延伸(1)a、b、c為三角形的三條邊，則_.(2) 把(2-x)的根號外的（2-x）適當變形后移入根號內(nèi)，得（ ）a、b、 c、 d、(3) 若二次根式有意義，化簡x-4-7-x。（八）達標測試：a組1、填空：（1）、-=_.（2）、= 2、已知2x3，化簡： b組1、 已知0 x1，化簡：2、 邊長為a的正方形桌面，正中間有一個邊長為的正方形方孔若沿圖中虛線鋸開，可以拼成一個新的正方形桌面你會拼嗎？試求出新的正方形邊長16.2二次根式的乘除二次根式的乘法一、學習目標1、掌握二次根式的乘法

8、法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。2、熟練進行二次根式的乘法運算及化簡。二、學習重點、難點重點： 掌握和應用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。難點： 正確依據(jù)二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡。三、學習過程（一）復習回顧1、計算：（1）×=_ =_（2） × =_ =_（3） × =_ =_2、根據(jù)上題計算結(jié)果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）×_（2）×_（3） ×_（二）提出問題1、二次根式的乘法法則是什么？如何歸納出這一法則的？2、如何二次根式的乘法法則進行計算？3、積的算術(shù)平方根有什么

9、性質(zhì)？4、如何運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡。（三）自主學習自學課本第56頁“積的算術(shù)平方根”前的內(nèi)容，完成下面的題目：1、用計算器填空：（1）×_ （2）×_（3）×_ （4）×_2、由上題并結(jié)合知識回顧中的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？能用數(shù)學表達式表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？3、二次根式的乘法法則是： （四）合作交流1、自學課本6頁例1后，依照例題進行計算：（1）× （2）2×3 （3）· （4）··2、自學課本第67頁內(nèi)容，完成下列問題：（1）用式子表示積的算術(shù)平方根的性質(zhì)： 。（2）化簡： （五）展

10、示反饋展示學習成果后，請大家討論：對于×的運算中不必把它變成后再進行計算，你有什么好辦法？（六）精講點撥1、當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘以單項式法則進行計算：即系數(shù)之積作為積的系數(shù)，被開方數(shù)之積為被開方數(shù)。2、化簡二次根式達到的要求：（1）被開方數(shù)進行因數(shù)或因式分解。（2）分解后把能開盡方的開出來。（七）拓展延伸1、判斷下列各式是否正確并說明理由。（1）（2）=ab（3） 6×（-2）=（4） =122、不改變式子的值，把根號外的非負因式適當變形后移入根號內(nèi)。(1) -3 (2) （八）達標測試：a組1、選擇題（1）等式成立的條件是（ ） ax1 bx-1 c-1

11、x1 dx1或x-1（2）下列各等式成立的是（ ）a4×2=8 b5×4=20 c4×3=7 d5×4=20（3）二次根式的計算結(jié)果是（ ） a2 b-2 c6 d122、化簡： （1）； （2）；3、計算： （1）； （2）；b組1、選擇題（1）若，則=（ ） a4 b2 c-2 d1（2）下列各式的計算中，不正確的是（ ） a=（-2）×（-4）=8 bcd2、計算：（1）6×（-2）； （2）； 二次根式的除法一、學習目標1、掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。2、能熟練進行二次根式的除法運算及化簡。二、學習重點、難點

12、重點： 掌握和應用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。難點： 正確依據(jù)二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡。三、學習過程（一）復習回顧1、寫出二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)2、計算： （1）3×（-4） （2）3、填空： （1）=_，=_（2）=_，=_（3）=_，=_ （二）提出問題：1、二次根式的除法法則是什么？如何歸納出這一法則的？2、如何二次根式的除法法則進行計算？3、商的算術(shù)平方根有什么性質(zhì)？4、如何運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡？（三）自主學習自學課本第8頁第9頁內(nèi)容，完成下面的題目：1、由“知識回顧4題”可得規(guī)律：_ _

13、 _ 2、利用計算器計算填空: （1）=_（2）=_（3）=_規(guī)律：_ _ _3、根據(jù)大家的練習和解答，我們可以得到二次根式的除法法則： 。 把這個法則反過來，得到商的算術(shù)平方根性質(zhì)： 。（四）合作交流 1、 自學課本例4，仿照例題完成下面的題目： 計算：（1） （2） 2、自學課本例4，仿照例題完成下面的題目：化簡：（1） （2） （五）精講點撥1、當二次根式前面有系數(shù)時，類比單項式除以單項式法則進行計算：即系數(shù)之商作為商的系數(shù)，被開方數(shù)之商為被開方數(shù)。2、化簡二次根式達到的要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（六）拓展延伸閱讀下列運算過程：，數(shù)學上將這種把分母的根號去

14、掉的過程稱作“分母有理化”。利用上述方法化簡：(1) =_ （）=_() =_ _ () =_ _（七）達標測試：a組1、選擇題 （1）計算的結(jié)果是（ ） a b c d （2）化簡的結(jié)果是（ ） a- b- c- d-2、計算： （1） （2） （3） （4） b組用兩種方法計算：（1） （2） 最簡二次根式一、學習目標1、理解最簡二次根式的概念。2、把二次根式化成最簡二次根式3、熟練進行二次根式的乘除混合運算。二、學習重點、難點重點：最簡二次根式的運用。難點：會判斷二次根式是否是最簡二次根式和二次根式的乘除混合運算。三、學習過程（一）復習回顧1、化簡（1） （2）2、結(jié)合上題的計算結(jié)果，回

15、顧前兩節(jié)中利用積、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式達到的要求是什么？（二）提出問題：1、什么是最簡二次根式？2、如何判斷一個二次根式是否是最簡二次根式？3、如何進行二次根式的乘除混合運算？（三）自主學習自學課本第9頁內(nèi)容，完成下面的題目：1、滿足于 , 的二次根式稱為最簡二次根式.2、化簡:(1) (2) (3) (4) （四）合作交流1、計算： 2、比較下列數(shù)的大小（1）與 （2）3、如圖，在rtabc中，c=90°，ac=3cm，bc=6cm，求ab的長 （五）精講點撥1、化簡二次根式的方法有多種，比較常見的是運用積、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)和分母有理化。2、判斷是否為最簡二次根式的

16、兩條標準：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中所有因數(shù)或因式的冪的指數(shù)都小于2（六）拓展延伸觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：，同理可得： =， 從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算 （+）（）的值（七）達標測試：a組1、選擇題（1）如果（y>0）是二次根式，化為最簡二次根式是（ ） a（y>0） b（y>0） c（y>0） d以上都不對（2）化簡二次根式的結(jié)果是 a、 b、- c、 d、- 2、填空：（1）化簡=_（x0）（2）已知，則的值等于_. 3、計算：（1） (2) b組 1、計算： （a>0,b>0）2、

17、若x、y為實數(shù)，且y=，求的值。 16.3二次根式的加減法二次根式的加減法一、學習目標1、了解同類二次根式的定義。2、能熟練進行二次根式的加減運算。二、學習重點、難點重點：二次根式加減法的運算。難點：快速準確進行二次根式加減法的運算。三、學習過程（一）復習回顧1、什么是同類項？2、如何進行整式的加減運算？3、計算：（1）2x-3x+5x （2）（二）提出問題1、什么是同類二次根式？2、判斷是否同類二次根式時應注意什么？3、如何進行二次根式的加減運算？（三）自主學習自學課本第1011頁內(nèi)容，完成下面的題目：1、試觀察下列各組式子，哪些是同類二次根式：（1） （2）（3） （4）從中你得到： 。2

18、、自學課本例1，例2后，仿例計算：（1）+ （2）+2+3 （3）3-9+3 通過計算歸納：進行二次根式的加減法時，應 。（四）合作交流，展示反饋小組交流結(jié)果后，再合作計算，看誰做的又對又快！限時6分鐘(1) (2) (3) （4） （五）精講點撥1、判斷是否同類二次根式時，一定要先化成最簡二次根式后再判斷。2、二次根式的加減分三個步驟：化成最簡二次根式；找出同類二次根式；合并同類二次根式，不是同類二次根式的不能合并。（六）拓展延伸1、如圖所示，面積為48cm2的正方形的四個角是面積為3cm2的小正方形，現(xiàn)將這四個角剪掉，制作一個無蓋的長方體盒子，求這個長方體的高和底面邊長分別是多少？2、已知

19、4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值（七）達標測試：a組1、選擇題（1）二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） a和 b和 c和 d和（2）下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）a與 b與c與 d與2、計算： （1）（2）b組1、選擇：已知最簡根式是同類二次根式，則滿足條件的 a,b的值（ ）a不存在 b有一組 c有二組 d多于二組2、計算：（1） （2）二次根式的混合運算一、學習目標熟練應用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式進行二次根式的混合運算。二、學習重點、難點重點：熟練進行二次根式的混合運算。難點：混合運算的順序、乘法公式的綜合運用。三、學習過

20、程（一）復習回顧：1、填空 （1）整式混合運算的順序是： 。（2）二次根式的乘除法法則是： 。（3）二次根式的加減法法則是： 。（4）寫出已經(jīng)學過的乘法公式： 2、計算：（1）·· （2）（3）（二）合作交流1、探究計算：（1）（）× （2）2、自學課本11頁例4后，依照例題探究計算：（1） （2）（三）展示反饋計算：（限時8分鐘）（1） （2）（3） （4）（-）（-）（四）精講點撥整式的運算法則和乘法公式中的字母意義非常廣泛，可以是單項式、多項式，也可以代表二次根式，所以整式的運算法則和乘法公式適用于二次根式的運算。（五）拓展延伸同學們，我們以前學過完全平方公

21、式，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，下面我們觀察： 反之， =-1仿上例，求：（1）；（2）你會算嗎？（3）若，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由（六）達標測試：a組1、計算：（1） （2）（3）（a>0,b>0）（4）2、已知，求的值。b組1、計算：（1）（2）2、母親節(jié)到了，為了表達對母親的愛，小明做了兩幅大小不同的正方形卡片送給媽媽，其中一個面積為8cm2,另一個為18cm2，他想如果再用金彩帶把卡片的邊鑲上會更漂亮，他現(xiàn)在有長為50cm的金彩帶，請你幫忙算一算，他的金彩帶夠用嗎

22、？二次根式復習一、學習目標1、了解二次根式的定義，掌握二次根式有意義的條件和性質(zhì)。2、熟練進行二次根式的乘除法運算。3、理解同類二次根式的定義，熟練進行二次根式的加減法運算。4、了解最簡二次根式的定義，能運用相關(guān)性質(zhì)進行化簡二次根式。二、學習重點、難點重點：二次根式的計算和化簡。難點：二次根式的混合運算，正確依據(jù)相關(guān)性質(zhì)化簡二次根式。三、復習過程（一）自主復習自學課本第13頁“小結(jié)”的內(nèi)容，記住相關(guān)知識，完成練習：1若a0，a的平方根可表示為_a的算術(shù)平方根可表示_2當a_時，有意義，當a_時，沒有意義。345（二）合作交流，展示反饋1、式子成立的條件是什么? 2、計算： (1) (2)3(1

23、) (2) （三）精講點撥在二次根式的計算、化簡及求值等問題中，常運用以下幾個式子：（1）（2）（3）（4）（5）（四）拓展延伸1、用三種方法化簡解：第一種方法：直接約分第二種方法：分母有理化 第三種方法：二次根式的除法2、已知m,m為實數(shù)，滿足，求6m-3n的值。（五）達標測試：a組1、選擇題：（1）化簡的結(jié)果是（ ）a 5 b -5 c 士5 d 25（2）代數(shù)式中，x的取值范圍是（ ）a b c d （3）下列各運算，正確的是（ ）a b c d （4）如果是二次根式，化為最簡二次根式是（ ） a b c d以上都不對（5）化簡的結(jié)果是（ ）2、計算(1) (2) (3) (4)3、已知

24、求的值b組1、選擇：（1），則（ ）a a,b互為相反數(shù) b a,b互為倒數(shù) c d a=b（2）在下列各式中，化簡正確的是（ ）a b c d （3）把中根號外的移人根號內(nèi)得（ ） 2、計算：（1） （2） （3）3、歸納與猜想：觀察下列各式及其驗證過程：(1)按上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變化結(jié)果并進行驗證(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出n(n為任意自然數(shù)，且n2)表示的等式并進行驗證 參考答案二次根式(一)（五）拓展延伸1、 (1) (2) (3) 2、(1) (2)（六）達標測試(a組)(一)填空題：1、 2、（1）x2 - 9= x2 -（3）2=（x+ 3）(x-3);（2）x2 - 3 = x2 - () 2 = (x+ ) (x-). （二）選擇題：1、d 2、c 3、d (b組)（一）選擇題：1、 b 2、a