全國統(tǒng)一高考數學試卷理科全國卷經典實用

1、2008年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）函數的定義域為（）ax|x0bx|x1cx|x10dx|0x12（5分）擲一個骰子，向上一面的點數大于2且小于5的概率為p1，拋兩枚硬幣，正面均朝上的概率為p2，則（）ap1p2bp1p2cp1=p2d不能確定3（5分）在abc中，=，=若點d滿足=2，則=（）abcd4（5分）設ar，且（a+i）2i為正實數，則a=（）a2b1c0d15（5分）已知等差數列an滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和s10=（）a138b135c95d236（5分）若函數y=f（x）的圖

2、象與函數y=ln的圖象關于直線y=x對稱，則f（x）=（）ae2x2be2xce2x+1de2x+27（5分）設曲線在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=（）a2bcd28（5分）為得到函數的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象（）a向左平移個長度單位b向右平移個長度單位c向左平移個長度單位d向右平移個長度單位9（5分）設奇函數f（x）在（0，+）上為增函數，且f（1）=0，則不等式0的解集為（）a（1，0）（1，+）b（，1）（0，1）c（，1）（1，+）d（1，0）（0，1）10（5分）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點，則（）aa2+b21ba2+b21cd11（5分

3、）已知三棱柱abca1b1c1的側棱與底面邊長都相等，a1在底面abc內的射影為abc的中心，則ab1與底面abc所成角的正弦值等于（）abcd12（5分）如圖，一環(huán)形花壇分成a，b，c，d四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）a96b84c60d48二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）若x，y滿足約束條件，則z=2xy的最大值為14（5分）已知拋物線y=ax21的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為15（5分）在abc中，ab=bc，若以a，b為焦點的橢圓經過點c，則該橢圓的離心率

4、e=16（5分）等邊三角形abc與正方形abde有一公共邊ab，二面角cabd的余弦值為，m，n分別是ac，bc的中點，則em，an所成角的余弦值等于三、解答題（共6小題，滿分74分）17（10分）設abc的內角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，且acosbbcosa=c（）求的值；（）求tan（ab）的最大值18（12分）四棱錐abcde中，底面bcde為矩形，側面abc底面bcde，bc=2，ab=ac（）證明：adce；（）設ce與平面abe所成的角為45°，求二面角cade的大小19（12分）已知函數f（x）=x2+ax+1lnx（）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)

5、間；（）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數，求實數a的取值范圍20（12分）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；（）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望21（12分）雙曲線的中心為原點o，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦

6、點f垂直于l1的直線分別交l1，l2于a，b兩點已知|、|、|成等差數列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設ab被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程22（12分）設函數f（x）=xxlnx數列an滿足0a11，an+1=f（an）（）證明：函數f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數；（）證明：anan+11；（）設b（a1，1），整數證明：ak+1b2008年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）（2008全國卷）函數的定義域為（）ax|x0bx|x1cx|x10dx|0x1【分析】偶次開方的被開方數一定非負x（x

7、1）0，x0，解關于x的不等式組，即為函數的定義域【解答】解：由x（x1）0，得x1，或x0又因為x0，所以x1，或x=0；所以函數的定義域為x|x10故選c2（5分）（2008全國卷）擲一個骰子，向上一面的點數大于2且小于5的概率為p1，拋兩枚硬幣，正面均朝上的概率為p2，則（）ap1p2bp1p2cp1=p2d不能確定【分析】計算出各種情況的概率，然后比較即可【解答】解：大于2小于5的數有2個數，p1=；投擲一次正面朝上的概率為，兩次正面朝上的概率為p2=×=，p1p2故選b3（5分）（2008全國卷）在abc中，=，=若點d滿足=2，則=（）abcd【分析】把向量用一組向量來表

8、示，做法是從要求向量的起點出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點，把整個過程寫下來，即為所求本題也可以根據d點把bc分成一比二的兩部分入手【解答】解：由，故選a4（5分）（2008全國卷）設ar，且（a+i）2i為正實數，則a=（）a2b1c0d1【分析】注意到a+bi（a，br）為正實數的充要條件是a0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai1）i=2a+（a21）i0，a=1故選d5（5分）（2008全國卷）已知等差數列an滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和s10=（）a138b135c95d23【分析】本題考查的知識點是等差數列的性質，及等差數列前n項

9、和，根據a2+a4=4，a3+a5=10我們構造關于基本量（首項及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項及公差），進而代入前n項和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，s10=10a1+=95故選c6（5分）（2008全國卷）若函數y=f（x）的圖象與函數y=ln的圖象關于直線y=x對稱，則f（x）=（）ae2x2be2xce2x+1de2x+2【分析】由函數y=f（x）的圖象與函數y=ln的圖象關于直線y=x對稱知這兩個函數互為反函數，故只要求出函數y=f（x）的反函數即可，欲求原函數的反函數，即從原函數y=ln中反解出x，后再進行x，y互換，

10、即得反函數的解析式【解答】解：，x=（ey1）2=e2y2，改寫為：y=e2x2答案為a7（5分）（2008全國卷）設曲線在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=（）a2bcd2【分析】（1）求出已知函數y在點（3，2）處的斜率；（2）利用兩條直線互相垂直，斜率之間的關系k1k2=1，求出未知數a【解答】解：y=y=x=3y=即切線斜率為切線與直線ax+y+1=0垂直直線ax+y+1=0的斜率為a（a）=1得a=2故選d8（5分）（2008全國卷）為得到函數的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象（）a向左平移個長度單位b向右平移個長度單位c向左平移個長度單位d向右平移個長度單位

11、【分析】先根據誘導公式將函數化為正弦的形式，再根據左加右減的原則進行平移即可得到答案【解答】解：，只需將函數y=sin2x的圖象向左平移個單位得到函數的圖象故選a9（5分）（2008全國卷）設奇函數f（x）在（0，+）上為增函數，且f（1）=0，則不等式0的解集為（）a（1，0）（1，+）b（，1）（0，1）c（，1）（1，+）d（1，0）（0，1）【分析】首先利用奇函數定義與得出x與f（x）異號，然后由奇函數定義求出f（1）=f（1）=0，最后結合f（x）的單調性解出答案【解答】解：由奇函數f（x）可知，即x與f（x）異號，而f（1）=0，則f（1）=f（1）=0，又f（x）在（0，+）上為

12、增函數，則奇函數f（x）在（，0）上也為增函數，當0x1時，f（x）f（1）=0，得0，滿足；當x1時，f（x）f（1）=0，得0，不滿足，舍去；當1x0時，f（x）f（1）=0，得0，滿足；當x1時，f（x）f（1）=0，得0，不滿足，舍去；所以x的取值范圍是1x0或0x1故選d10（5分）（2008全國卷）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點，則（）aa2+b21ba2+b21cd【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結果【解答】解：直線與圓有公共點，即直線與圓相切或相交得：dr，故選d11（5分）（2008全國卷）已知三棱柱abca1b1c1的側棱與底面邊長都相等，a1在底面

13、abc內的射影為abc的中心，則ab1與底面abc所成角的正弦值等于（）abcd【分析】法一：由題意可知三棱錐a1abc為正四面體，設棱長為2，求出ab1及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點a1到底面的距離a1d的長度，即知點b1到底面的距離b1e的長度，再求出ae的長度，在直角三角形aeb1中求ab1與底面abc所成角的正切，再由同角三角函數的關系求出其正弦【解答】解：（法一）因為三棱柱abca1b1c1的側棱與底面邊長都相等，a1在底面abc內的射影為abc的中心，設為d，所以三棱錐a1abc為正四面體，設棱長為2，則aa1b1是頂角為120°等腰三角形，所以a

14、b1=2×2×sin60°=2，a1d=，所以ab1與底面abc所成角的正弦值為=；（法二）由題意不妨令棱長為2，點b1到底面的距離是b1e，如圖，a1在底面abc內的射影為abc的中心，設為d，故da=，由勾股定理得a1d=故b1e=，如圖作a1sab于中點s，易得a1s=，所以ab1=2，所以ab1與底面abc所成角的正弦值sinb1ae=故選b12（5分）（2008全國卷）如圖，一環(huán)形花壇分成a，b，c，d四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）a96b84c60d48【分析】這道題比起前幾年出的高考

15、題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結果【解答】解：分三類：種兩種花有a42種種法；種三種花有2a43種種法；種四種花有a44種種法共有a42+2a43+a44=84故選b二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（2008全國卷）若x，y滿足約束條件，則z=2xy的最大值為9【分析】首先作出可行域，再作出直線l0：y=2x，將l0平移與可行域有公共點，直線y=2xz在y軸上的截距最小時，z有最大值，求出此時直線y=2xz經過的可行域內的點的坐標，代入z=2xy中即可【解答】解：如圖，作出可行域，作出直線l0：y=2x，將l0

16、平移至過點a處時，函數z=2xy有最大值914（5分）（2008全國卷）已知拋物線y=ax21的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為2【分析】先根據拋物線y=ax21的焦點坐標為坐標原點，求得a，得到拋物線方程，進而可知與坐標軸的交點的坐標，進而可得答案【解答】解：由拋物線y=ax21的焦點坐標為坐標原點得，則與坐標軸的交點為（0，1），（2，0），（2，0），則以這三點圍成的三角形的面積為故答案為215（5分）（2008全國卷）在abc中，ab=bc，若以a，b為焦點的橢圓經過點c，則該橢圓的離心率e=【分析】設ab=bc=1，則，由此可知，從而求出該橢圓的離心

17、率【解答】解：設ab=bc=1，則，答案：16（5分）（2008全國卷）等邊三角形abc與正方形abde有一公共邊ab，二面角cabd的余弦值為，m，n分別是ac，bc的中點，則em，an所成角的余弦值等于【分析】先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可【解答】解：設ab=2，作co面abde，ohab，則chab，cho為二面角cabd的平面角，結合等邊三角形abc與正方形abde可知此四棱錐為正四棱錐，則，=故em，an所成角的余弦值故答案為：三、解答題（共6小題，滿分74分）17（10分）（2008全國卷）設

18、abc的內角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，且acosbbcosa=c（）求的值；（）求tan（ab）的最大值【分析】本題考查的知識點是正弦定理及兩角和與差的正切函數，（）由正弦定理的邊角互化，我們可將已知中，進行轉化得到sinacosb=4cosasinb，再利用弦化切的方法即可求的值（）由（）的結論，結合角a，b，c為abc的內角，我們易得tana=4tanb0，則tan（ab）可化為，再結合基本不等式即可得到tan（ab）的最大值【解答】解：（）在abc中，由正弦定理得即sinacosb=4cosasinb，則；（）由得tana=4tanb0當且僅當時，等號成立，故當時，tan（a

19、b）的最大值為18（12分）（2008全國卷）四棱錐abcde中，底面bcde為矩形，側面abc底面bcde，bc=2，ab=ac（）證明：adce；（）設ce與平面abe所成的角為45°，求二面角cade的大小【分析】（1）取bc中點f，證明ce面adf，通過證明線面垂直來達到證明線線垂直的目的（2）在面aed內過點e作ad的垂線，垂足為g，由（1）知，cead，則cge即為所求二面角的平面角，cge中，使用余弦定理求出此角的大小【解答】解：（1）取bc中點f，連接df交ce于點o，ab=ac，afbc又面abc面bcde，af面bcde，afce再根據 ，可得ced=fdc又cd

20、e=90°，oed+ode=90°，doe=90°，即cedf，ce面adf，cead（2）在面acd內過c點作ad的垂線，垂足為gcgad，cead，ad面ceg，egad，則cge即為所求二面角的平面角作chab，h為垂足平面abc平面bcde，矩形bcde中，bebc，故be平面abc，ch平面abc，故bech，而abbe=b，故ch平面abe，ceh=45°為ce與平面abe所成的角ce=，ch=eh=直角三角形cbh中，利用勾股定理求得bh=1，ah=abbh=ac1；直角三角形ach中，由勾股定理求得ac2=ch2+ah2=3+（ac1）2

21、，ab=ac=2由面abc面bcde，矩形bcde中cdcb，可得cd面abc，故acd為直角三角形，ad=，故cg=，dg=，又 ，則，即二面角cade的大小19（12分）（2010大綱版）已知函數f（x）=x2+ax+1lnx（）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；（）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數，求實數a的取值范圍【分析】（1）求單調區(qū)間，先求導，令導函數大于等于0即可（2）已知f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數，即f（x）0在區(qū)間（0，）上恒成立，然后用分離參數求最值即可【解答】解：（）當a=3時，f（x）=x2+3x+1lnx解f（x）0，即：2x23x+10函數f（x）的

22、單調遞增區(qū)間是（）f（x）=2x+a，f（x）在上為減函數，x時2x+a0恒成立即a2x+恒成立設，則x時，4，g（x）0，g（x）在上遞減，g（x）g（）=3，a320（12分）（2008全國卷）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；（

23、）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望【分析】（1）由題意得到這兩種方案的化驗次數，算出在各個次數下的概率，寫出化驗次數的分布列，求出方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率（2）根據上一問乙的化驗次數的分布列，利用期望計算公式得到結果【解答】解：（）若乙驗兩次時，有兩種可能：先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：先驗三只結果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次試驗中有沒有，均可以在第二次結束），乙只用兩次的概率為若乙驗三次時，只有一種可能：先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為甲種方案的次數不少于乙種次數的概率為：（）表示依方

24、案乙所需化驗次數，的期望為e=2×0.6+3×0.4=2.421（12分）（2008全國卷）雙曲線的中心為原點o，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點f垂直于l1的直線分別交l1，l2于a，b兩點已知|、|、|成等差數列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設ab被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程【分析】（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率（2）利用第（1）的結論，設出雙曲線的方程，將ab方程代入，運用根與系數的關系及弦長公式

25、，求出待定系數，即可求出雙曲線方程【解答】解：（1）設雙曲線方程為，由，同向，漸近線的傾斜角為（0，），漸近線斜率為：，|、|、|成等差數列，|ob|+|oa|=2|ab|，|ab|2=（|ob|oa|）（|ob|+|oa|）=（|ob|oa|）2|ab|，可得：，而在直角三角形oab中，注意到三角形oaf也為直角三角形，即tanaob=，而由對稱性可知：oa的斜率為k=tan，2k2+3k2=0，；，（2）由第（1）知，a=2b，可設雙曲線方程為=1，c=b由于ab的傾斜角為+aob，故ab的斜率為tan（+aob ）=cot（aob）=2，ab的直線方程為 y=2（xb），代入雙曲線方程得：15x232bx+84b2=0，x1+x2=，x1x2=，4=，即16=112b2，b2=9，所求雙曲