微積分二課后題答案復旦大學出版社第九章

1、第9章習題9-11 判定下列級數(shù)的收斂性：(1) （a0）； (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) 解：（1）該級數(shù)為等比級數(shù)，公比為,且,故當,即時，級數(shù)收斂，當即時，級數(shù)發(fā)散. （2） 發(fā)散.（3）是調(diào)和級數(shù)去掉前3項得到的級數(shù)，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.（4）而,是公比分別為的收斂的等比級數(shù)，所以由數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)知收斂，即原級數(shù)收斂.（5）于是 故,所以級數(shù)發(fā)散. （6） 不存在，從而級數(shù)發(fā)散.（7） 級數(shù)發(fā)散.（8） ，故級數(shù)發(fā)散.2 判別下列級數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）都收斂，且其和分別

2、為1和，則收斂，且其和為1+=.（2） 故級數(shù)收斂，且其和為.（3）,而，故級數(shù)發(fā)散.（4）,而,故不存在，所以級數(shù)發(fā)散.3 設(shè) (un0)加括號后收斂，證明亦收斂證：設(shè)加括號后級數(shù)收斂，其和為s.考慮原級數(shù)的部分和，并注意到，故存在,使又顯然對一切成立，于是，是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列，因此，極限存在，即原級數(shù)亦收斂. 習題9-21 判定下列正項級數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ；(5) (a0); (6) (a, b0);(7) (a0); (8) ；(9) ； (10) ;(11) ; (12) ；(13) ； (14) ;(15) ; (16) 解：（1）因為而收斂

3、，由比較判別法知級數(shù)收斂. （2）因為，故原級數(shù)發(fā)散. （3）因為，而發(fā)散，由比較判別法知，級數(shù)發(fā)散.（4）因為,而是收斂的級數(shù),由比較判別法知,級數(shù)收斂.（5）因為 而當時，收斂，故收斂; 當時，= 發(fā)散，故發(fā)散; 當時，故發(fā)散;綜上所述，當時，級數(shù)發(fā)散，當時，收斂. （6）因為而當時, 收斂，故收斂; 當時，發(fā)散，故而由, ,故也發(fā)散; 當時，故發(fā)散;綜上所述知，當時，級數(shù)發(fā)散;當b>1時，級數(shù)收斂. （7）因為 而發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散. （8）因為而收斂，故級數(shù)收斂.（9）因為由達朗貝爾比值判別法知，級數(shù)發(fā)散.（10）因為，由達朗貝爾比值判別法知，級數(shù)發(fā)散. （11）因為 ,由達朗貝爾

4、比值判別法知原級數(shù)收斂.（12）因為，由達朗貝爾比值判別法知，級數(shù)收斂.（13）因為由 知由達朗貝爾比值判別法知，級數(shù)收斂.（14）因為，由柯西根值判別法知級數(shù)收斂.（15）因為而是收斂的等比級數(shù)，它的每項乘以常數(shù)后新得級數(shù)仍收斂，由比較判別法的極限形式知，級數(shù)收斂. （16）因為而與（12）題類似地可證級數(shù)收斂，由比較判別法知級數(shù)收斂.2 試在(0，+)內(nèi)討論x在什么區(qū)間取值時，下列級數(shù)收斂：(1) ; (2) 解：（1）因為由達朗貝爾比值判別法知，當時，原級數(shù)發(fā)散;當時，原級數(shù)收斂;而當時，原級數(shù)變?yōu)檎{(diào)，它是發(fā)散的.綜上所述，當時，級數(shù)收斂. （2）因為,由達朗貝爾比值判別法知，當即時，原

5、級數(shù)發(fā)散;當即時，原級收斂.而當即時，原級數(shù)變?yōu)椋芍l(fā)散，綜上所述，當時，級數(shù)收斂.習題9-31 判定下列級數(shù)是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ;(3) ; () ;(5) ； (6) ;(7) ; (8) (0x)解：（1）這是一個交錯級數(shù), , 由萊布尼茨判別法知.又，由,及發(fā)散，知級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)條件收斂.（2）因為,故 而收斂，故亦收斂，由比較判別法知收斂，所以級數(shù)絕對收斂.（3）因為而級數(shù)收斂，由比較判別法知收斂，因此，級數(shù)絕對收斂.（4）因為而收斂，由比較判別法的極限形式知，級數(shù)收斂，從而級數(shù)絕對收斂. （5）因為,而級數(shù)收斂的等比級

6、數(shù);由比值判別法，易知級數(shù)收斂，因而收斂，由比較判別法知級數(shù)收斂，所以原級數(shù)絕對收斂. （6）當x為負整數(shù)時，級數(shù)顯然無意義；當x不為負整數(shù)時，此交錯級數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，故它是收斂的，但因發(fā)散，故原級數(shù)當x不為負整數(shù)時僅為條件收斂. （7）因為由比值判別法知收斂()，從而由比較判別法知收斂，所以級數(shù)，絕對收斂. （8）因為單調(diào)下降趨于零，且部分和有界，故由迪里黑里判別法知級數(shù)收斂.又,由于發(fā)散，因單調(diào)趨于零，且有界，故由迪里黑里判別法知收斂,從而發(fā)散,由比較判別法知,發(fā)散，所以，原級數(shù) 條件收斂.注：迪里黑里判別法，若級數(shù)滿足條件：（1）部分和是有界的;（2）當時，單調(diào)地趨于零;則級

7、數(shù)收斂.2 討論級數(shù)的收斂性(p0)解：當時，由于收斂，故級數(shù)絕對收斂.當時，由于 ,由萊布尼茨判別法知交錯級數(shù)收斂，然而，當時，發(fā)散，故此時，級數(shù)條件收斂. 綜上所述，當時，原級數(shù)條件收斂;當p>1時，原級數(shù)絕對收斂.3 設(shè)級數(shù)及都收斂，證明級數(shù)及也都收斂證：因為 而由已知及都收斂，故收斂，從而收斂，由正項級數(shù)的比較判別法知也收斂，從而級數(shù)絕對收斂.又由及,以及收斂，利用數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)知，收劍，亦即收斂.習題9-41 指出下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：(1) (0!=1)； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因為，所以收斂半徑，冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.（2）因為，所以

8、收斂半徑.當x=e時，級數(shù)，此時，因為是單調(diào)遞增數(shù)列，且<e所以>1,從而，于是級數(shù)當x=e時，原級數(shù)發(fā)散. 類似地，可證當x=-e時，原級數(shù)也發(fā)散(可證),綜上所述，級數(shù)的收斂區(qū)間為(-e,e).（3）因為,所以收斂半徑為r=2.當時，級數(shù)是收斂的p一級數(shù)（p=2>1）;當x=-2時，級數(shù)是交錯級數(shù)，它滿足萊布尼茨判別法的條件，故它收斂.綜上所述，級數(shù)的收斂區(qū)間為-2,2.（4）此級數(shù)缺少偶次冪的項，不能直接運用定理2求收斂半徑，改用達朗貝爾比值判別法求收斂區(qū)間.令，則.當時，即時，原級數(shù)絕對收斂.當時，即時，級數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，當時，級數(shù)變?yōu)?當時，級數(shù)變?yōu)?它們都是交錯

9、級數(shù)，且滿足萊布尼茨判別法的條件，故它們都收斂.綜上所述，級數(shù)的收斂區(qū)間為-1,1.（5）此級數(shù)為（x+2）的冪級數(shù).因為.所以收斂半徑，即時，也即時級數(shù)絕對收斂.當即或時，原級數(shù)發(fā)散.當時，級數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e級數(shù)，當x=0時，級數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級數(shù),它是發(fā)散的.綜上所述，原級數(shù)的收斂區(qū)間為-4,0).（6）此級數(shù)（x-1）的冪級數(shù)故收斂半徑.于是當即時，原級數(shù)絕對收斂. 當即或時，原級數(shù)發(fā)散. 當時，原級數(shù)變?yōu)槭钦{(diào)和級數(shù)，發(fā)散. 當時，原級數(shù)變?yōu)椋鞘諗康慕诲e級數(shù).綜上所述，原級數(shù)的收斂區(qū)間為.2 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）可求得所給冪級數(shù)的收斂半

10、徑r=1.設(shè),則 又當x=1時，原級數(shù)收斂，且在x=1處連續(xù). （2）所給級數(shù)的收斂半經(jīng)r=1，設(shè),當時，有 于是又當時，原級數(shù)發(fā)散.故 （3）可求所給級數(shù)的收斂半徑為1. 令 令,則 所以;所以且.當時，級數(shù)為和,它們都收斂.且顯然有.故.（4）可求得所給級數(shù)的收斂半徑為r=1且時，級數(shù)發(fā)散，設(shè),則于是,即.所以 3 求下列級數(shù)的和：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）考察冪級數(shù)，可求得其收斂半徑 ，且當時，級數(shù)的通項，因而，故當時，級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）.設(shè)，則令,則.再令,則.故，從而有.于是 取，則.（2）考察冪級數(shù)，可求得收斂半徑r=1，設(shè)令,則.即 .于是 ，從而取則 （3）考察冪級數(shù)，可求得其級數(shù)半經(jīng)為r=1,因為 令，則.所以,于是 取，得. （4）考察冪級數(shù)，可求得其收斂半徑r=1. 設(shè) 則.又設(shè)則.從而,取，則習題9-51 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ; (4) ； (5)解：（1） （2） （3） （4） （5） 2 將下列函數(shù)在指定點處展開成冪級數(shù)，并求其收斂區(qū)間：(1) 在x0； (2) cosx在x0=;(3) 在x0=1; (4) 在x0解：（1）因為,而即).所以.收斂區(qū)間為：（-1，3）. （2） 收斂區(qū)間為. （3）