直線與圓與橢圓的位置關(guān)系典型例題

1、直線與圓與橢圓的位置關(guān)系典型例題1解決直線與圓和橢圓的位置關(guān)系的基本思路：2典型例題例1 已知圓 ，定點(diǎn) ，a為已知圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）求線段aq的中點(diǎn)的軌跡；（2）直線aq與圓交另一點(diǎn)b，求弦ab的中點(diǎn)軌跡。解（1）如圖1，設(shè)aq中點(diǎn)為 。設(shè) ，由已知有 。由 為aq中點(diǎn)， 中點(diǎn) 的坐標(biāo)為：即   即 。所求軌跡方程為 ，它表示以（1，0）為圓心，以 為半徑的圓。解（2）如圖2，設(shè)ab的中點(diǎn)為 ，由平面幾何可知， ，設(shè)ab斜率為 ，om斜率為 ，而   即 。由圓 與圓 相交弦所在直線方程為 。即所求軌跡方程為 ，其軌跡為圓 含在已知圓內(nèi)的一段弧。點(diǎn)撥 求動(dòng)點(diǎn)的

2、軌跡方程，一般有兩種思路：如（1）中動(dòng)點(diǎn)p是隨著另一個(gè)有規(guī)律運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)a在運(yùn)動(dòng)，于是可以設(shè)法把動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到動(dòng)點(diǎn)a的坐標(biāo)上，即把動(dòng)點(diǎn)a的運(yùn)動(dòng)規(guī)律作為橋梁，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程 ；另一種是如（2）中動(dòng)點(diǎn)m本身的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程 。這兩種方法常被稱為求軌跡方程的轉(zhuǎn)移法和直接法。例2 已知直線 與圓 相交于a、b兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng) 。解法一：如圖，設(shè) 、 ，則a、b坐標(biāo)即方程組 的解，從方程組中消去 可得：        而 又a、b在直線 上，即        

3、;              。解法二：作 于m，m為ab中點(diǎn)，在 中， ， 為原點(diǎn)到直線 距離即     點(diǎn)撥 解法一給出了一條已知直線與一條已知曲線相交于a、b兩點(diǎn)，求 的一般辦法，設(shè)已知直線為 ，與已知曲線c的交點(diǎn)為 、 ，則有，即 同理可得 .這兩個(gè)公式一般稱為直線與曲線相交所得線段長(zhǎng)公式，顯然這個(gè)公式只與已知直線的斜率 及交點(diǎn)的坐標(biāo) 、 有關(guān)，而與曲線c本身是什么曲線無(wú)關(guān)，因此這個(gè)公式在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)得到普遍運(yùn)用。解法二針對(duì)圓本身的特點(diǎn)

4、給出了簡(jiǎn)單的解法，由于解析幾何本身解決的是幾何圖形的問(wèn)題，因此對(duì)于圖形本身的特點(diǎn)給予充分的挖掘和運(yùn)用（例如凡有關(guān)圓的弦的問(wèn)題，應(yīng)該注意弦心距；有關(guān)圓的切線問(wèn)題，應(yīng)該注意過(guò)切點(diǎn)的半徑等）往往會(huì)找到解題的捷徑。例3  已知圓c： ，直線 （ ）（1）判斷并證明圓c與直線 的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線 與圓c交于a、b兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng) 的最小值及相應(yīng)的直線 的方程。解：將直線 的方程變形為 ，并把這個(gè)方程看作關(guān)于 的一次方程，由 ，即這個(gè)方程有無(wú)窮多組解，則有：解得 即說(shuō)明直線 恒過(guò)定點(diǎn)p（3，1）。又由圓c的圓心為c（1，2），而 ，即 小于圓c半徑，可知p點(diǎn)恒在圓c內(nèi)部，過(guò)p點(diǎn)的直線 當(dāng)然與圓

5、恒交于兩點(diǎn)。（2）圓c： 中過(guò)p（3，1）點(diǎn)的直徑所在直線方程的斜率為 。由平面幾何可知，過(guò)p（3，1）點(diǎn)的所有弦中與過(guò)p點(diǎn)的直徑垂直的弦長(zhǎng)最短，此時(shí) ，可知 ， 直線方程由點(diǎn)斜式可得 即 。在 中， 為弦心距， 為圓c半徑， ， ， ， ， 即最短弦長(zhǎng) 。 最短弦長(zhǎng)為 ，相應(yīng)過(guò)p點(diǎn)直線方程為 。點(diǎn)撥 認(rèn)真審題，分析含有字母系數(shù)的方程所表示的幾何圖形的特點(diǎn)，結(jié)合平面幾何知識(shí)，才能更有效地使用數(shù)形結(jié)合的辦法解決解析幾何問(wèn)題。例4 設(shè)圓滿足：截 軸所得弦長(zhǎng)為2被 軸分成兩段圓弧，其弦長(zhǎng)的比為 在滿足、的所有圓中求圓心到直線 的距離是小的圓的方程。解： 設(shè)所求的圓圓心p（ ）半徑為 ，則p到 軸，

6、軸的距離分別為 ， 由圓p截 軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為 得圓截 軸所得弦長(zhǎng)為 ，故 。又圓截 軸所得弦長(zhǎng)為2，所以有 ，即有  設(shè)點(diǎn)p（ ）到直線 的距離為 則                                  當(dāng)且僅當(dāng) 上式等號(hào)成立，此時(shí) ，從而 取得最小值。&

7、#160;   解得   或  由于    故所求圓的方程為 或 。點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，待定系數(shù)求圓的方程，均值不等式求最值等號(hào)取得的條件等基礎(chǔ)知識(shí)，是道非常好的基礎(chǔ)知識(shí)考查題，打破了人們高考中圓部分不出大題的思維定勢(shì)，很值得探討和研究。例5 求過(guò)直線 和圓 交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。解法1 設(shè)過(guò)直線 和圓 交點(diǎn)的圓系方程為    即：     （1） 此圓半徑為        &#

8、160;      當(dāng) 時(shí)， 最小，即圓的面積為最小。把 代入（1）得所求圓方程為 解法2 因?yàn)橹本€和圓為固定的，所以直線被已知圓截得弦長(zhǎng)固定，故當(dāng)所求圓的圓心到已知直線距離最小時(shí)，所求圓的半徑最小，此時(shí)圓面積最小，所以只有所求圓圓心在直線 上時(shí)，圓的半徑最小。由解法（1）得：動(dòng)圓方程為：，圓心為（ ），代入 得： ， ，代入動(dòng)圓方程得所求圓的方程為：即 點(diǎn)評(píng) 這兩種解都用了過(guò)直線和圓交點(diǎn)的圓系方程，但求參數(shù) 的方法不同，前者把半徑 表示為 的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值；后者把圓心用 表示，代入已知直線方程求出 。例6 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（2，4），并

9、且以兩圓 和 的公共弦為一條弦的圓的方程。分析 此題可先求出兩圓交點(diǎn)，那么所求的圓過(guò)點(diǎn)p和兩圓交點(diǎn)，設(shè)所求圓方程為 ，將這三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得圓方程，便這樣解計(jì)算量較大。如果用圓系方程來(lái)解，則簡(jiǎn)便得多。解 依題意設(shè)所求圓方程為    此圓過(guò)點(diǎn)p（2，4），代入得解得 代入得整理可得所求圓方程為例7 當(dāng) 取何值時(shí)，直線 ： 與橢圓 沒(méi)有交點(diǎn)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)。由方程組： 消去 可得：即    當(dāng) ，即 或 時(shí)，直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng) ，即 時(shí)，直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) ，即 時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)。點(diǎn)撥 確定直線和橢圓的位置關(guān)系的一般方

10、法是：例8 若連接a（1，1）、b（2，3）兩點(diǎn)的線段與橢圓 沒(méi)有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。解：過(guò)a、b兩點(diǎn)的直線方程為： ，橢圓方程可變形為 ，它是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在 軸的動(dòng)橢圓系。當(dāng)線段ab在橢圓外部時(shí)，如下圖，即直線ab與橢圓系沒(méi)有交點(diǎn)。由方程組： ，消去 ，可得：令  ，即 即 解得 當(dāng)線段ab在橢圓內(nèi)部時(shí)，如下圖，當(dāng)動(dòng)橢圓過(guò)點(diǎn)b時(shí)，這時(shí)的橢圓是和線段ab有交點(diǎn)的最大的橢圓。例9 已知橢圓 ，直線 ，p是 上一點(diǎn)，射線op交橢圓于點(diǎn)r，如圖，又點(diǎn)q在op上且滿足 ，當(dāng)點(diǎn)p在 移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡方程是什么曲線。解法1 由題設(shè)知點(diǎn)q不在原點(diǎn)，設(shè)p，r，q的坐標(biāo)分

11、別為（ ），（ ），（ ），其中 不同時(shí)為零。當(dāng)點(diǎn)p不在 軸上時(shí)，由于點(diǎn)r在橢圓上及點(diǎn)o，q，r共線，得方程組解得 由于點(diǎn)p在直線 上及點(diǎn)o，q，p共線，得方程組解得 當(dāng)點(diǎn)p在 軸上時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證上邊結(jié)論也成立。由題設(shè) 得 將上邊結(jié)論代入上式得因 與 同號(hào)或 與 同號(hào)， ，故點(diǎn)q的軌跡方程為（其中 不同時(shí)為零）所以點(diǎn)q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)短半軌長(zhǎng)分別為 和 且長(zhǎng)軸與 平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。解法2 p，q，r的坐標(biāo)如解法1，當(dāng)p不存在 軸上時(shí)，由 ，可得     又 由 ，即 ，即 可解得代入得代入橢圓方程 整理得 即 （其中 不同時(shí)為零，另p在

12、 軸上時(shí)，上式亦成立。）所以點(diǎn)q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為 和 且長(zhǎng)軸與 軸平等的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。    說(shuō)明  本題主要考查直線，橢圓的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念和求法，利用方程判定曲線的性質(zhì)等解析幾何的基本思想和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力    本題的綜合性強(qiáng)，用到的知識(shí)比較多，并且彼此牽連，有些解法又會(huì)遇到高次方程，根式方程，計(jì)算較繁，因而要圓滿完成本題解答，并不容易例10 已知橢圓c： ，試確定 的取值范圍，使得對(duì)于直線 ： ，橢圓c上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱。分析 設(shè)出對(duì)稱的兩點(diǎn)及其

13、所在的直線的方程，再利用判別式 及中點(diǎn)在對(duì)稱軸上來(lái)求解。解法1 設(shè)橢圓c上關(guān)于直線 對(duì)稱的兩點(diǎn)為p（ ， ），q（ ， ），其所在直線方程為 ，代入橢圓方程 并整理得 ， ，解得                           又 ， 而點(diǎn) （ ， ）又在 上       &

14、#160;    把代入得 的取值范圍是。即 分析2 設(shè)出對(duì)稱的兩點(diǎn)及其所在直線的方程，由中點(diǎn)既在 上，又在兩點(diǎn)所在直線上，解出交點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，由中點(diǎn)必在兩點(diǎn)之間建立不等式來(lái)求解。解法2 由解法1知： ， ，其中pq的中心坐標(biāo)為m（ ， ）由 消去 且把 代入可解得 ， 根據(jù)中點(diǎn)m的位置（介于p、q）之間必有不等關(guān)系 ，由此可解得                   經(jīng)驗(yàn)證：

15、當(dāng) 時(shí)， ，適合條件的點(diǎn)p、q存在，故為所求。分析3 可根據(jù)“點(diǎn)差法”并結(jié)合均值不等式求出 的范圍。解法3 設(shè)p（ ， ），q（ ， ）是橢圓 上兩點(diǎn)，若 關(guān)于直線 ： 對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件組成立                                   &

16、#160;                            并把代入得      把代入                 &

17、#160;把代入                   得      由題意 ， ，根據(jù)均值不等式，     把代入解得。即 分析4 c上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，等價(jià)于存在c的弦被 垂直平分，且垂足必在橢圓c的內(nèi)部，因此，這類(lèi)問(wèn)題可考慮利用交點(diǎn)在曲線c內(nèi)部建立不等式。解法4 設(shè)橢圓上的兩點(diǎn)為p（ ， ），q（ ， ），pq的

18、中點(diǎn)m（ ， ），代入橢圓方程后相減得             又                    由解得 m（ ， ）在橢圓的內(nèi)部 ，解得 。即 分析5 c上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，等價(jià)于c存在被 垂直平分的弦，即等價(jià)于c的適合條件的弦所在的直線方程與曲線c的方程組成的方程組在某確定的區(qū)間上有兩不同的解。因此，這類(lèi)問(wèn)題可利用一元二次方程根的分布的充要條件建立不等式求解。解法5 由解法4，知 ，從而直線pq的方程為 代入橢圓方程整理，記令 ，此方程在 上有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是解得 。即 分析6 利用c上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，則中點(diǎn)必在 上，也必在曲線c的斜率為 的平行弦的中點(diǎn)軌跡上，把問(wèn)題整體轉(zhuǎn)化為求曲線c的斜率為 的平行弦中點(diǎn)的軌跡與直線 交點(diǎn)在c內(nèi)時(shí)的參數(shù)的取值范圍。解法6 設(shè) 是橢圓c斜率為 的平行弦中點(diǎn)軌跡上任一點(diǎn)，橢圓    &