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1、【世紀(jì)金榜】高中數(shù)學(xué) 第二章 解析幾何初步單元質(zhì)量評(píng)估 北師大版必修2(120分鐘 150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知空間兩點(diǎn)a(4,6,1),b(1,2,1),則兩點(diǎn)間的距離為( )(a)3 (b)4 (c)5 (d)62.(2020·宜賓高一檢測(cè))圓x2+y2+2x-4=0的半徑為( )(a)1 (b) (c)2 (d)3.直線3x-4y+k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2,則實(shí)數(shù)k=( )(a)12 (b)-12 (c)24 (d)-244.(易錯(cuò)題)若直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a
2、-1)y=-7+a平行,則實(shí)數(shù)a=( )(a)3 (b)-2(c)-2或3 (d)-3或25.圓x2+y2=1和圓x2+y2-4x+3=0的位置關(guān)系是( )(a)外切 (b)內(nèi)切 (c)相離 (d)內(nèi)含6.(2020·安徽高考)若直線3x+y+a=0過(guò)圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為( )(a)-1 (b)1 (c)3 (d)-37.直線x-y+5=0被圓x2+y2-2x-4y-4=0所截得的弦長(zhǎng)等于( )(a)1 (b)2 (c) (d)38.若空間直角坐標(biāo)系中,x軸上一點(diǎn)p到點(diǎn)q(3,1,1)的距離為,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為( )(a)(3,0,0) (b)(2,0,0)(
3、c)(4,0,0) (d)(2,0,0)或(4,0,0)9.若點(diǎn)a(-2,3),b(3,-2),c(,m)三點(diǎn)在同一直線上,則m=( )(a)-2 (b)2 (c)- (d)10.(2020·哈爾濱高一檢測(cè))若(-1,0)是(k,0),(b,0)的中點(diǎn),則直線y=kx+b必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)( )(a)(1,-2) (b)(1,2)(c)(-1,2) (d)(-1,-2)11.若pq是圓x2+y2=9的弦,pq的中點(diǎn)是m(1,2),則直線pq的方程為( )(a)x+2y-3=0 (b)x+2y-5=0(c)2x-y+4=0 (d)2x-y=012.與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-
4、12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )(a)(x-2) 2+(y-2) 2=2(b)(x+2) 2+(y+2) 2=2(c)(x-2) 2+(y+2) 2=2(d)(x+2) 2+(y-2) 2=2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)13.(2020·長(zhǎng)春高二檢測(cè))若一圓的方程為x2+y2-2x+10y+23=0,則此圓的圓心和半徑分別為_(kāi).14.(2020·南通高一檢測(cè))x2+y2-4x-2y-11=0上的點(diǎn)到直線x+y-13=0的最大距離與最小距離之差是_.15.(2020·高郵高二檢測(cè))圓心在y軸上
5、,半徑為1,且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為_(kāi).16.若實(shí)數(shù)m,n滿足4m-3n=10,則m2+n2的最小值為_(kāi).三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(3,2),與直線x+3y+1=0垂直的直線方程.18.(12分) (2020·深圳高一檢測(cè))已知點(diǎn)a(,0),b(3,0),動(dòng)點(diǎn)m到a與b的距離比為常數(shù),求點(diǎn)m的軌跡方程.19.(12分)已知圓x2+y2+x-6y+3=0與直線x+2y-3=0的兩個(gè)交點(diǎn)為p,q,求以pq為直徑的圓的方程.20.(12分) 過(guò)點(diǎn)m(0,1)的直線l被l1:x-3y+10=0與l2:
6、2x+y-8=0所截得的線段恰好被m平分,求l的方程.21.(12分)(2020·臨沂高一檢測(cè))直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(5,5),且與圓c:x2+y2=25相交,截得弦長(zhǎng)為求l的方程.22.(能力題)(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線4x+3y-29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設(shè)直線ax-y+5=0(a0)與圓相交于a,b兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)a,使得弦ab的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)p(-2,4),若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案解析1.【解析】選c.2.【解析】選d.因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+
7、y2=5,所以,圓的半徑為.3.【解題指南】用k表示出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距,進(jìn)而求出k的值.【解析】選d.直線3x-4y+k=0在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為,由題意知-=2,解得k=-24.4.【解析】選a.因兩直線平行,所以a(a-1)-2×3=0,解得a=3或a=-2.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=-2時(shí),兩直線重合.【誤區(qū)警示】在解答此題時(shí),容易忘記檢驗(yàn),導(dǎo)致錯(cuò)選c.5.【解析】選a.圓x2+y2=1的圓心為c1(0,0),半徑r1=1;圓x2+y2-4x+3=0的圓心為c2(2,0),半徑r2=1.因?yàn)閨c1c2|=2=r1+r2,所以兩圓外切.6.【解題指南】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)
8、形式,得到圓心坐標(biāo),代入直線方程求出a.【解析】選b.圓的方程x2+y2+2x-4y=0可變形為(x+1) 2+(y-2) 2=5,所以圓心坐標(biāo)為(-1,2),代入直線方程得a=1.7.【解析】選b.圓x2+y2-2x-4y-4=0的圓心為c(1,2),半徑為r=3,圓心到直線的距離為8.【解析】選d.由題意,設(shè)p(a,0,0),則解得a=2或a=4.9.【解析】選d. 因?yàn)閍,b,c三點(diǎn)在同一直線上,所以10.【解析】選a.由題意知,k+b=-2,故b=-2-k,直線方程為y=kx-2-k,即y+2=k(x-1),故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,-2).11.【解析】選b.由題意知,圓心與點(diǎn)m(1,2)
9、連線與pq垂直.因?yàn)閳A心與點(diǎn)m連線斜率為2,所以pq的斜率為-,又pq過(guò)點(diǎn)m(1,2),所以pq所在的直線方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.12.【解析】選a.設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.如圖,當(dāng)已知圓與所求圓圓心連線垂直于已知直線時(shí),半徑最小,此時(shí)等于已知圓圓心到已知直線的距離,即解得r=,則解得a=2,b=2.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=2.13.【解析】把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+5)2=3,圓心為(1,-5),半徑為.答案:(1,-5),14.【解題指南】圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值與最小值分別為圓心到直線的距離加
10、上半徑與減去半徑.【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1) 2=16,圓心到直線的距離為所以,圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為+4,圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為-4,所以, 最大距離與最小距離之差是8.答案:815.【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,b),由得b=2,因此所求圓的方程為x2+(y-2) 2=1.答案:x2+(y-2) 2=116.【解題指南】把m2+n2轉(zhuǎn)化為直線4m-3n=10上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然當(dāng)m2+n2最小時(shí),其值恰好為原點(diǎn)到直線4m-3n=10的距離的平方.【解析】原點(diǎn)(0,0)到直線4m-3n=10的距離為(m2+n2)min=22=4.答案:417.【解析】與直線
11、x+3y+1=0垂直的直線可設(shè)為3x-y+m=0.因?yàn)辄c(diǎn)a(3,2)在直線3x-y+m=0上,所以3×3-2+m=0,解得m=-7,所以所求直線方程為3x-y-7=0.18.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x,y),則由題意得兩邊平方整理得(x-1)2+y2=1.19.【解析】設(shè)點(diǎn)p(x1,y1),q(x2,y2),則點(diǎn)p,q的坐標(biāo)滿足方程組即點(diǎn)p(1,1),q(-3,3),線段pq的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),故以pq為直徑的圓的方程是(x+1)2+(y-2)2=5.【一題多解】設(shè)所求圓的方程為x2+y2+x-6y+3+(x+2y-3)=0,整理得x2+y2+(1+)x+(2-6)y+3-3
12、=0.此圓的圓心坐標(biāo)是(,3-),由圓心在直線x+2y-3=0上,得+2(3-)-3=0,解得=1,故所求圓的方程為(x+1) 2+(y-2) 2=5.20.【解析】設(shè)l與l1的交點(diǎn)為a(a,b),l與l2的交點(diǎn)為b,如圖:則a,b關(guān)于m對(duì)稱,得b(-a,2-b).由al1,bl2, 所以a(-4,2), l過(guò)m(0,1),a(-4,2),所以k=,所以y-1=x,化簡(jiǎn)得直線l方程為x+4y-4=0.21.【解析】由題意可知直線的斜率不存在時(shí),直線和圓相切,不滿足題意.所以直線的斜率存在,可設(shè)l的方程為:y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0.又由圓c:x2+y2=25截直線l的弦長(zhǎng)為
13、則圓心到直線l的距離為.解得k=2或k=,直線l:2x-y-5=0或x-2y+5=0.22.【解析】(1)設(shè)圓心為m(m,0)(mz).由于圓與直線4x+3y-29=0相切,且半徑為5,所以即|4m-29|=25.因?yàn)閙為整數(shù),故m=1.故所求圓的方程為(x-1)2+y2=25.(2)把直線ax-y+5=0,即y=ax+5代入圓的方程,消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直線ax-y+5=0交圓于a,b兩點(diǎn),故=4(5a-1)2-4(a2+1)0.即12a2-5a0,由于a0,解得a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,+).(3)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,由于abl,則直線l的斜率為.l的方程為y=(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦ab,故圓心m(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于(,+),
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