矩陣的思想及解題技巧和學(xué)習(xí)方法

1、20081672數(shù)學(xué)0802班楊招矩陣的思想及解題技巧和學(xué)習(xí)方法摘要:矩陣不僅是數(shù)學(xué)中一個極其廣泛的概念，而且矩陣的思想及它的運算和性質(zhì)也成為了解決數(shù)學(xué)上眾多問題的關(guān)鍵，同時解決了很多生活中的實際問題。本文就從矩陣的基本運算和性質(zhì)入手，運用矩陣的思想，結(jié)合實例來看待代數(shù)學(xué)中的計算解題問題和實際生活中的問題。并淺談一些自己在學(xué)習(xí)中總結(jié)的學(xué)習(xí)方法和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解。關(guān)鍵詞：矩陣的運算，矩陣思想，解題技巧，學(xué)習(xí)方法，矩陣的應(yīng)用導(dǎo)言：矩陣是數(shù)學(xué)中重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)的重要研究對象之一,也是數(shù)學(xué)與其它領(lǐng)域研究與應(yīng)用的一個重要工具。因而，矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究中有著無可替代的作用，不僅為線性代數(shù)提供了研究

2、解題的平臺，也為數(shù)學(xué)運算效率及其它各個領(lǐng)域的發(fā)展提供了有力的運算工具。所以，對于矩陣的研究毋庸置疑是有價值的，有意義的。首先，對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究就是必不可少的，它不僅貫穿于高等代數(shù)的始末，而且在其它方面也起著重要作用。其次，它大大簡化了我們在學(xué)習(xí)當(dāng)中復(fù)雜的解題過程，并且提供了更多的解題思路和方法。下面我們就先通過了解矩陣的一些基本性質(zhì)和運算法則。然后利用矩陣的思想來看待問題，并結(jié)合運用這些簡單性質(zhì)和運算法則來解決我們學(xué)習(xí)當(dāng)中遇到的問題，隨之探討并介紹一下解題思路和技巧及其自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法上的一點感想和理解。最后，闡述一下矩陣思想在生活和學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，并用實例說明矩陣在生活中的重要性和在學(xué)習(xí)

3、和研究方面的必要性。一、矩陣的概述和矩陣的運算及性質(zhì)矩陣無論是學(xué)習(xí)還是應(yīng)用，我們首先要知道的是它的性質(zhì)和運算法則，沒有他們的研究，就談不上對學(xué)習(xí)和應(yīng)用有任何應(yīng)用。因而，了解矩陣的性質(zhì)及運算是應(yīng)用于其它領(lǐng)域的前提。把一組數(shù)字記錄成矩陣形式是沒有意義的，學(xué)習(xí)矩陣的關(guān)鍵在于掌握矩陣之間的運算。有了矩陣的運算才會有矩陣的研究和在其它方面的應(yīng)用。因而我們就從了解矩陣的運算及性質(zhì)開始。1、矩陣的概念由mn個數(shù)排成的m行n列的矩形表 稱為m×n矩陣,記作a或,也可記作(ij)或。數(shù)稱為矩陣的第i行第j列的元素。當(dāng)矩陣的元素都是某一數(shù)域f中的數(shù)時,就稱它為數(shù)域f上的矩陣,簡稱f上的矩陣。當(dāng)m=n時，

4、矩陣a稱為n階矩陣或n階方陣,此時11,22,nn稱為n階矩陣的對角線元素，當(dāng)所有的非對角線元素ij(ij)均為零時，a就稱為n階對角矩陣,簡稱對角矩陣。當(dāng)對角線下面(或上面)的所有元素均為0時,a就稱為上（或下）三角矩陣。 在m×n矩陣a中取k個行和k個列,km，n；由這些行與列相交處的元素按原來的位置構(gòu)成的k階行列式,稱為矩陣a的k階子式。一個n階矩陣a只有一個n階子式,它稱為矩陣a的行列式，記作a或deta。 2、矩陣的運算矩陣運算有以下性質(zhì)： 矩陣加法：a+b=b+a， a+(b+c)=(a+b)+c， a+o=a;a+(-a)=o；只有同型的兩個矩陣才能進(jìn)行加法運算。矩陣數(shù)

5、乘和乘法：k(a+b)=ka+kb，(k+l)a=ka+la，k(la)=(kl)a；k(ab)=(ka)b=a(kb)，a(bc)=(ab)c，(a+b)c=ac+bc，a(b+c)=ab+ac； akal=ak+l,akl=akl；ak=ak只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣(左矩陣) 的列數(shù)等于第二個矩陣(右矩陣)的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘。矩陣的轉(zhuǎn)置：att=a， a+bt=at+bt，abt=btat，kat=kat；n階方陣的行列式：at=a;ka=kna;ab=ab=ab；3、矩陣的逆有n級方陣b,使得ab=ba=e，a可逆。a-1-1=a，ab-1=b-1a-1;a-1=1a=a-1；at-1=

6、a-1t;伴隨矩陣：aa*=a*a=ae； a-1=a*a；a*=an-1；分塊矩陣：分塊矩陣是為了簡化矩陣的運算，與普通矩陣的運算相似。對稱矩陣：at=a； 反對稱矩陣：at=-a；初等矩陣和初等變換：初等矩陣是由單位矩陣e經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。aeea-1; aeea-1矩陣的秩：r（a）是a的非零子式的最高階數(shù)。r（a）=nó|a|0；ra=rat; rabminra,rb；若ab，則r（a）=r（b）；二、矩陣思想及解題技巧矩陣思想，顧名思義就是運用矩陣的概念和運算性質(zhì)，把它應(yīng)用到其它方面，使其問題得到解決。在其他領(lǐng)域有些的問題歸根結(jié)底都要用到矩陣的運算，通過矩陣思想來

7、解決問題，同時矩陣思想的應(yīng)用也大大加快了運算速率，為解決實際問題提供了通道。由于本人是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也是剛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一年，學(xué)習(xí)的東西也很少，對數(shù)學(xué)的本質(zhì)沒有很深的了解，也無法寫出深層次的數(shù)學(xué)問題，但我從一年的學(xué)習(xí)當(dāng)中了解總結(jié)了一些數(shù)學(xué)上的一些解題方法。下面我就結(jié)合矩陣的思想來看待數(shù)學(xué)上的一些解題問題。例如：用非退化線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3解一：傳統(tǒng)方法是配方法：fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3作非線性變換： x1=y1+y2x2=y1-y2x3=y3 f=2y1+y2y1-y2+2y1+y2y3-6y1-y2y3=

8、2y1-y32-2y32-2y22+8y2y3再令：z1=y1-y3z2=y2 z3=y3 則f=2z12-2z22+8z2z3-2z32=2z12-2z2-2z32+6z32最后令：w1=z1 w2=z2-2z3 w3=z3 則二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型為fx1,x2,x3=2w12-2w22+6w32。解二：二次型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3的矩陣為a=01110-31-30，ae=01110010-3010-1-3000121-211010-3010-2-3000120-2 110 0-12-2-12120 -2-20001200110 0-12-2-12120 0-2

9、-2111200110 0-120-12120 0063-11（合同變換）200110 0-20-110 0063-11這時，p=1-1311-1001， ptap=2000-20006，則二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)型為fx1,x2,x3=2y12-2y22+6y32。解三：二次型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3的矩陣為a=01110-31-30，它的特征多項式為： a-e=-11 1-3 1-3-=-2+2-6于是a的特征值為1=2，2=-2，3=6.當(dāng)1=2時，解方程（a-2e）x=0,得其基礎(chǔ)解1=1，1，0t；當(dāng)2=-2時，解方程（a+2e）x=0,得其基礎(chǔ)解2=-1，1，

10、0t；當(dāng)3=6時，解方程（a-6e）x=0,得其基礎(chǔ)解3=3，-1，1t；則當(dāng)非線性變換c=1-1311-1001時，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為fx1,x2,x3=2y12-2y22+6y32。解畢。矩陣在我們的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，既是基礎(chǔ)，又是核心。它解決了大多數(shù)線性代數(shù)方面的問題，例如依靠矩陣運算我們能解決：向量的線性關(guān)系與線性表示；線性變換及運算；向量空間的基及基變換；求解線性方程組；不變子空間與對角化問題；內(nèi)積空間與正交向量組；二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型；正定性問題等等。同時矩陣的思想也貫穿這些問題的始末，為解決這些問題提供了平臺。矩陣思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用很廣泛，同時也涉及到很多知識。以上只是矩陣知

11、識的一小部分運用，其中的解題技巧也在比較中凸顯而出，方法的不同代表的是思想的不同，矩陣的思想由此得到運用。最后也讓我們看到解題技巧的重要性，并不是所有問題只要解決出來了就結(jié)束了，我們還得講方式方法，應(yīng)用實際的可行性，所以這是我們在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意。三、學(xué)習(xí)技巧和學(xué)習(xí)方法無論我們是在中學(xué)還是在大學(xué)，無論我們學(xué)習(xí)什么，學(xué)習(xí)都要掌握學(xué)習(xí)的技巧和方式方法。我們需要的是有規(guī)律的，高效率的學(xué)習(xí)，而不是盲目的一頭扎進(jìn)書堆里亂學(xué)。因而掌握學(xué)習(xí)技巧和學(xué)習(xí)方法就顯得尤為重要，尤其實大學(xué)的專業(yè)學(xué)習(xí)。（一）、要樹立學(xué)習(xí)目標(biāo)還要有適合自己的學(xué)習(xí)方法。大學(xué)的學(xué)習(xí)比中學(xué)更復(fù)雜更高級，同時也要求我們更加自覺、更為獨立，學(xué)

12、習(xí)動機(jī)的強(qiáng)弱對我們的學(xué)業(yè)成就有著極大的影響。在高中階段，我們的學(xué)習(xí)目標(biāo)很明確考上大學(xué)，再加上老師和家長的監(jiān)督，所以學(xué)習(xí)抓得很緊。但一旦目標(biāo)實現(xiàn)，考上大學(xué)后我們就容易產(chǎn)生松懈心理。進(jìn)入大學(xué)后如果我們沒有及時樹立起進(jìn)一步的學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)習(xí)就會沒有了動力。我們新生一般自我控制能力較差，容易受其他同學(xué)的影響，有時還會模仿高年級學(xué)生的做法。如果我們?nèi)雽W(xué)后身邊有比較懶散的人，自己又沒有一個明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，漸漸便失去了自控能力。所以我們在大學(xué)入學(xué)后應(yīng)盡快建立新的學(xué)習(xí)目標(biāo)，以適應(yīng)大學(xué)校園的學(xué)習(xí)氣氛。一年的大學(xué)學(xué)習(xí)過去了，我看到大學(xué)里面的學(xué)習(xí)氣氛是外松內(nèi)緊的，在大學(xué)里根本沒有人監(jiān)督你，沒有人主動指導(dǎo)你，沒有人給你

13、制訂具體的學(xué)習(xí)目標(biāo)，每個人都在獨立地面對學(xué)業(yè)，每個人都該有自己設(shè)定的目標(biāo)，每個人都在為自己的明天做規(guī)劃。（二）、承襲過去在高中階段的學(xué)習(xí)方法，有規(guī)律、有計劃、有方向的的學(xué)習(xí)。在一年的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)后，大學(xué)數(shù)學(xué)的授課方式雖然仍是以課堂講解為主，但與中學(xué)有幾個較大的不同，那就是大班上課、速度快、信息量大，老師講課時內(nèi)容重復(fù)少、課堂提問少、課后交流少。也就是進(jìn)入大學(xué)后，以教師為主導(dǎo)的教學(xué)模式變成了以學(xué)生為主導(dǎo)的自學(xué)模式。教師在課堂講授知識后，學(xué)生不僅要消化理解課堂上學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而且還要閱讀相關(guān)方面的書籍和參考資料。自學(xué)能力的高低成為影響學(xué)業(yè)成績的最重要因素。這種自學(xué)能力包括：能獨立確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，能對教

14、師所講內(nèi)容提出質(zhì)疑，會歸納總結(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并能表達(dá)出來與人討論。其實在每一個學(xué)習(xí)階段都需要有自學(xué)能力，只是在不同的教育階段對自學(xué)能力的要求不同?；A(chǔ)教育階段對自學(xué)能力的要求沒有那么突出，到了大學(xué)是個質(zhì)的飛躍。課堂學(xué)習(xí)只是大學(xué)學(xué)習(xí)中的一小部分，更多的知識要靠自學(xué)。在這里老師充當(dāng)?shù)氖且啡说慕巧覀儽仨殞W(xué)會自主地學(xué)習(xí)、探索和實踐。從舊的學(xué)習(xí)方法向新的學(xué)習(xí)方法過渡，是我們每個大學(xué)新生都必須經(jīng)歷的過程。因此我們要做好思想準(zhǔn)備，面向以后，總結(jié)過去一年自己的學(xué)習(xí)成果和想法，就下一階段的學(xué)習(xí)做好充足的準(zhǔn)備，少走彎路，減少心理壓力，促進(jìn)成績的提高。即使這些是老生常談的問題，但我們?nèi)匀粦?yīng)當(dāng)時刻注意，時刻提醒

15、自己在干什么。我們不應(yīng)該忘了我們的本質(zhì)是來學(xué)習(xí)的，而不是來享受的，無論你是學(xué)習(xí)知識還是學(xué)習(xí)能力。在這里我還想談?wù)剬ξ易约簩W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的一點理解和感想：在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，完全可以在掌握數(shù)學(xué)知識的同時，使自己的心理和智能受到引導(dǎo)和啟迪。雖然一些其它專業(yè)的學(xué)生認(rèn)為所學(xué)的數(shù)學(xué)知識在畢業(yè)進(jìn)入社會后沒有什么應(yīng)用機(jī)會，但我想說，無論你從事什么工作，深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方式、研究和推理的方法等，都會隨時發(fā)生作用，使我們受益終生。通過深入學(xué)習(xí)進(jìn)一步培養(yǎng)計算能力、邏輯思維能力、概念的理解能力、空間想象能力，又培養(yǎng)了處理離散問題、連續(xù)問題、隨機(jī)問題的能力及利用數(shù)學(xué)解決實際問題

16、的能力，還能培養(yǎng)自學(xué)新知識的能力。這就是我們學(xué)習(xí)的目的學(xué)為之所用。有的學(xué)習(xí)可能學(xué)了會沒用，但不學(xué)你一定沒用。學(xué)習(xí)方法有多種多樣的，也沒有千篇一律的方法。學(xué)習(xí)方法因人而異，沒個人都有自己的學(xué)習(xí)方式，我們不強(qiáng)求一定要每個人都遵循一種方法來學(xué)習(xí)，顯然是不科學(xué)的，但是學(xué)習(xí)的目的大體是一樣的，都是為了理解、熟練掌握并應(yīng)用所學(xué)知識。因此我們應(yīng)當(dāng)尋找一個屬于一個自己的做事學(xué)習(xí)方式，堅定自己的信念。四、矩陣在生活和學(xué)習(xí)中的應(yīng)用1、矩陣在學(xué)習(xí)上的應(yīng)用在我們的學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)內(nèi)容時，幾乎沒有不涉及到矩陣的，并且運用矩陣來解題。例如矩陣的初等變換可以解決，如計算逆矩陣；矩陣的左除與右除，即求形如p-1a與aq-1的矩陣；

17、計算矩陣的秩；判定向量組的線性相關(guān)性；求極大線性無關(guān)組；求解線性方程組；對角標(biāo)準(zhǔn)型與jordan標(biāo)準(zhǔn)型；二次型的對角化等等問題。矩陣是我們其它研究性學(xué)習(xí)的重要工具，同時矩陣的運算為我們的解題搭建了橋梁。2、矩陣在生活中的應(yīng)用矩陣在實際生活中也應(yīng)用廣泛。在生活、工作中時常涉及到矩陣問題，需要運用矩陣的思想來解決問題。運用矩陣可以解決圖形學(xué)上的畫圖問題，如圖的鄰接矩陣。矩陣的高次冪的應(yīng)用人口流動問題；矩陣的密碼問題；資源的利用問題；最小費用問題；物資調(diào)用于分配問題等等都需要我們用到矩陣來解決。矩陣的應(yīng)用可以說是無處不在，因此矩陣的研究學(xué)習(xí)是必要的，是極富有價值的。五、結(jié)束語學(xué)習(xí)上有很多問題，之所以

18、我們沒有發(fā)現(xiàn)，是因為我們還沒有認(rèn)真的深入學(xué)習(xí)中，鉆研到問題中。即使一個概念，它都會涉及很多內(nèi)容，而且可能是學(xué)習(xí)研究上有價值的，而不是我們現(xiàn)在簡單的認(rèn)為它只是個概念而已。因而，我們應(yīng)當(dāng)主動尋找問題，探索問題，合理運用問題。不僅要把我們在學(xué)習(xí)中總結(jié)的好方法運用的學(xué)習(xí)上，還要讓其應(yīng)用到實際生活中。我們的學(xué)習(xí)不應(yīng)當(dāng)單純的看做是在學(xué)習(xí)，而是運用學(xué)習(xí)，培養(yǎng)能力和聯(lián)系實際。我們的學(xué)習(xí)的空間很廣，學(xué)習(xí)的內(nèi)容也很多，問題是我們不斷研究下去動力，所以我們應(yīng)該不遺余力的發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。參考文獻(xiàn)：1：高吉全；矩陣初等變換的方法和應(yīng)用研究m；北京:中國工人出版社；2000:96-1082：王萼芳，石生明修訂；高等代數(shù)m(第三版)；北京:高等教育出版社；2003:12-183：凌征求；矩陣初等變換的幾個應(yīng)用j；玉林師范學(xué)院學(xué)報；2001 (22):37-404：李小剛主編；線性代數(shù)及其應(yīng)用；科學(xué)出版社；2006.85：陳公寧著；矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用；高等教育出版社； 1990.96：胡適耕，劉失忠編著；高等代數(shù)：定理問題方法；科學(xué)出版社；2007 7anderson, neil and m. a. west. the tea