兩角和與差的余弦公式證明教學(xué)類別

1、兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對比沈陽市教育研究院王恩賓兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形得到的，因此兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)作為本章要推導(dǎo)的第一個公式，往往得到了廣大教師的關(guān)注. 對于不同版本的教材采用的方法往往不同，認(rèn)真體會各種不同的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)方法，對于提高學(xué)生的分析問題、提出問題、研究問題、解決問題的能力有很大的作用.下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導(dǎo)方法歸納如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)角的終邊與單位圓的交點為p1，pop1，則pox過點p作pmx軸，垂足為m，那么om即為角的余弦線，這里

2、要用表示，的正弦、余弦的線段來表示om過點p作paop1，垂足為a，過點a作abx軸，垂足為b，再過點p作pcab，垂足為c，那么cosoa，sinap，并且pacp1ox，于是omobbmobcpoacosapsincoscossinsin綜上所述，.說明：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡單明了，構(gòu)思巧妙，容易理解. 但這種推導(dǎo)方法對于如何能夠得到解題思路，存在一定的困難. 此種證明方法的另一個問題是公式是在均為銳角的情況下進行的證明，因此還要考慮的角度從銳角向任意角的推廣問題.方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則有|p1

3、p2 |= .在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并做出任意角，+和，它們的終邊分別交單位圓于p2、p3和p4點，單位圓與x軸交于p1，則p1(1,0)、p2(cos，sin)、p3(cos(+)，sin(+)、.，且，.說明：該推導(dǎo)方法巧妙的將三角形全等和兩點間的距離結(jié)合在一起，利用單位圓上與角有關(guān)的四個點，建立起等式關(guān)系，通過將等式的化簡、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公式. 在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個難點，另外對于三點在一條直線和三點在一條直線上時這一特殊情況，還需要加以解釋、說明.方法三：應(yīng)用余弦定理、兩點間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)，則.在opq中，.說明：此題的解題思

4、路和構(gòu)想都是容易實現(xiàn)的. 因為要求兩角和與差的三角函數(shù)，所以構(gòu)造出和角和差角是必須實現(xiàn)的. 構(gòu)造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個角的三角函數(shù)建立起等式關(guān)系，因此借助于余弦定理、兩點間的距離公式建立起等式關(guān)系容易出現(xiàn)，因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較容易理解的一種方法. 但此種方法必須是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無法使用. 另外也同樣需要考慮三點在一條直線上的情況.方法四：應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)、是兩個任意角，把、兩個角的一條邊拼在一起，頂點為o，過b點作ob的垂線，交另一邊于a，交另一邊于c，則有soac=soab+sobc.根

5、據(jù)三角形面積公式，有，.，sin(+)=sincos+sincos.根據(jù)此式和誘導(dǎo)公式，可繼續(xù)證出其它和角公式及差角公式.(1)sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincos；(2)cos(+)=sin90-(+)=sin(90-)-=sin(90-)cos-sincos(90-)=coscos-sinsin；(3)cos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsin.說明：此種推導(dǎo)方法通過三角形的面積的和巧妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特點. 缺點是公式還是在兩個角為銳角的情況下進行的證明，因此同樣需要將角的范圍進行拓展.(五)應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，作單位圓o，以ox為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點為a，b，則(cos，sin)，(cos，sin).由向量數(shù)量積的概念，有.由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.于是，有.說明：應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無論是構(gòu)造兩個角的差，還是得到每個角的三角函數(shù)值都是容易實現(xiàn)的，而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運算兩種形式求向量的數(shù)量積將二者之間結(jié)合起來，充分體現(xiàn)了向量在