現(xiàn)代控制工程原理 華中科技大學(xué) 易孟林 第6章

1、第第6章章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合內(nèi)容提要： 控制系統(tǒng)的分析和綜合是控制系統(tǒng)研究的兩大課題。 系統(tǒng)分析包括：狀態(tài)方程式的求解；能控性和能觀測性分析；能控性和能觀測性分解；穩(wěn)定性分析；化成各種標(biāo)準(zhǔn)型等。 系統(tǒng)綜合包括：設(shè)計控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律，以保證系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)要求都得到滿足。知識要點(diǎn)： 串聯(lián)解耦和反饋解耦的可解耦性條件，解耦控制的設(shè)計方法步驟； 理解分離定理，分別獨(dú)立設(shè)計矩陣K 和L ，以構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)。 利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn); 利用輸出反饋任意配置觀測器的極點(diǎn)； 目 錄6.1 反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)6.2 反饋控制與極

2、點(diǎn)配置6.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題6.4 狀態(tài)觀測器及設(shè)計6.5 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的應(yīng)用6.6 多變量解耦控制系統(tǒng)的綜合6.7 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋 和狀態(tài)觀測器 小結(jié)習(xí)題 6.1 反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)與特點(diǎn) 無論是在經(jīng)典控制理論中，還是在現(xiàn)代控制理論中，反饋都是系統(tǒng)設(shè)計的主要方式。 經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)的，因此，只能從輸出引出信號作為反饋量。 現(xiàn)代控制理論使用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)來描述系統(tǒng)，所以除了可以從輸出引進(jìn)反饋信號外，還可以從系統(tǒng)的狀態(tài)引出信號作為反饋量以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。 采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，而且它也是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要

3、手段。 6.1.1 狀態(tài)反饋和輸出反饋的結(jié)構(gòu)形式 狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的狀態(tài)向量通過線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進(jìn)行比較，然后產(chǎn)生控制作用，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。 狀態(tài)反饋系統(tǒng)框圖如圖6-1所示。圖6-1多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)圖 1 狀態(tài)反饋圖6-1中被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 0CB,A,uDxCyuBxAx （6-1） 式中， n維狀態(tài)向量， r維輸入向量， m維輸出向量， nn矩陣， nr矩陣， mn矩陣， mr矩陣。 xuyBCDA狀態(tài)反饋控制律為 xruK （6-2） 式中, r維參考輸入向量， rn狀態(tài)反饋矩陣。對于單輸入系統(tǒng)， 1n行矩陣。 rKK 把式（6-2）代入

4、式（6-1）中整理后，可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 DrxDKCyBrxBKAx)()(（6-3） 若 ，則 0DCxyBrxBKAx)(（6-4） 簡記為 。 KCBBKA,),( 經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為 BssK1)()(BKAICG由此可見，經(jīng)過狀態(tài)反饋后: 輸入矩陣B B和輸出矩陣 沒有變化，僅僅是系統(tǒng)矩陣 發(fā)生了變化，變成了 ； 狀態(tài)反饋陣 的引入，沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但通過 的選擇可以有條件自由改變系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。 BCABKA KK圖6-2多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋結(jié)構(gòu)圖 2 輸出反饋 輸出反饋就是將系統(tǒng)的輸出

5、向量通過線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進(jìn)行比較，然后產(chǎn)生控制作用，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。 圖5-2中被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為0,CBAuDxCyuBxAx （6-5） 式中， n維狀態(tài)向量， r維輸入向量， m維輸出向量， nn矩陣， nr矩陣， mn矩陣， mr矩陣。 uyBCADx輸出反饋控制律為 yHru （6-6） 式中, r維參考輸入向量， rm輸出反饋矩陣。把式（6-5）的輸出方程代入式（6-6）中整理后，得 rH xHCrHDIu1 再將上式代入（6-5），可得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 rHDIDxHCHDIDCyrHDIBxHCHDIBAx1111（6-7）

6、若， 則 0DxCyrBxBHCAx （6-8） 簡記為 。 HCBBHCA,經(jīng)過輸出反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 BBHCAICG1)(ssH若原被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為 BAICG10)(ss則 和 有如下關(guān)系 )(0sG)(sHG100)()()(sssHHGIGG由此可見，經(jīng)過輸出反饋后: 輸入矩陣B和輸出矩陣C沒有變化，僅僅是 系統(tǒng)矩陣變成了 ； 閉環(huán)系統(tǒng)同樣沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)。 由于系統(tǒng)輸出所包含的信息不是系統(tǒng)的全部信息，即mA=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1;b=1;1;1;rc=rank(ctrb(A,b);p=-1,-2,-3;K=acker(A,b

7、,p)結(jié)果顯示K= -1 2 46.7.2 6.7.2 狀態(tài)觀測器的設(shè)計狀態(tài)觀測器的設(shè)計1.全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計對于系統(tǒng)xCyuBxAx (6-73) 若系統(tǒng)完全能觀測，則可構(gòu)造狀態(tài)觀測器。式(5-59)為狀態(tài)觀測器的方程，式(5-63)為反饋陣L L的計算公式。 在MATLAB設(shè)計中，利用對偶原理，可使設(shè)計問題大為簡化，求解過程如下：首先構(gòu)造系統(tǒng)式(5-73)的對偶系統(tǒng)zBwnCzAzTTT (6-74) 然后，對偶系統(tǒng)按極點(diǎn)配置求狀態(tài)反饋陣K K K=acker(A AT,C CT,P P)或 K=place(A AT,C CT,P P)原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋陣L，為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋

8、陣K的轉(zhuǎn)置。即 TKL 其中，P P為給定的極點(diǎn)，L L為狀態(tài)觀測器的反饋陣。例例6-136-13 已知開環(huán)系統(tǒng)uyxAxbcx其中 0100001,0 ,10061161 Abc設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點(diǎn)為， ， -5。322j解解 為求出狀態(tài)觀測器的反饋陣L L，先為原系統(tǒng)構(gòu)造一對偶系統(tǒng)。zBwnCzAzTTT 采用極點(diǎn)配置方法對對偶系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)的配置，得到反饋陣K K，再由對偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋陣L L。 MATLAB程序?yàn)?Example5_13.mA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;disp(The Rank

9、of Obstrabilaty Matrix)r0=rank(obsv(A,C)A1=A;b1=C;C1=b;P=-2+2*sqrt(3)*j -2-2*sqrt(3)*j -5;K=acker(A1,b1,P);L=K 執(zhí)行后得The Rank of Obstrabilaty Matrixr0 = 3L = 3.0000 7.0000 -1.0000 由于rankr0=3，所以系統(tǒng)能觀測，因此可設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。 2.降維觀測器的設(shè)計已知線性定常系統(tǒng)xCyBuxAx (6-75) 完全能觀測，則可將狀態(tài) 分為可量測和不可量測兩部分，通過特定線性非奇異變換可導(dǎo)出相應(yīng)的系統(tǒng)方程為分塊矩陣的形式

10、x212121xxIyuBBxxAAAAxx02122211211 由上可看出，狀態(tài) 能夠直接由輸出量y y獲得，不必再通過觀測器觀測，所以只要求對n-m 維狀態(tài)變量由觀測器進(jìn)行重構(gòu)。由上式可得關(guān)于 的狀態(tài)方程1x2x22xAuByAyuByAxAx12111221222它與全維狀態(tài)觀測器方程進(jìn)行對比，可得到兩者之間的對應(yīng)關(guān)系，如表5-1所示。 表6-1 全維與降維狀態(tài)觀測器的對比關(guān)系 由此可得降維狀態(tài)觀測器的等效方程zCwbzAzccc (6-76) 其中 12c221c22c,ACuByAbAA然后，使用MATLAB的函數(shù)place( )或acker( )，根據(jù)全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法求解

11、反饋陣L。降維觀測器的方程為uBLByALAyLzALAzyLzx)()()(1211211222_2 (6-77) 例例6-146-14 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)cxbAxxyu其中001,100,6116100010cbA設(shè)計降維狀態(tài)觀測器，使閉環(huán)極點(diǎn)為 。322j 解解 由于x1可量測，因此只需設(shè)計x2和x3的狀態(tài)觀測器，故根據(jù)原系統(tǒng)可得不可量測部分的狀態(tài)空間表達(dá)式為2121112212222xAuByAyuByAxAx其中 01, 01211AA (6-78) 10,061110,60212221BBAA等效系統(tǒng)為 zCwbzAzccc(6-79) 其中 1222122,ACuByAbAAcccMA

12、TLAB 程序?yàn)?Example5_14.mA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;A11=A(1,1);A12=A(1,2:3);A21=A(2:3,1);A22=A(2:3,2:3);B1=b(1,1);B2=b(2:3,1);Ac=A22;Cc=A12;r0=rank(obsv(Ac,Cc)P=-2+2*sqrt(3)*j -2-2*sqrt(3)*j;K=acker(Ac,Cc,P);L=K執(zhí)行后得r0 = 2L = -2 17 6.7.3 6.7.3 帶狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)極點(diǎn)配置帶狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)極點(diǎn)配置 狀態(tài)觀測器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問題，

13、為那些狀態(tài)變量不能直接量測的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。設(shè)能控能觀測的被控系統(tǒng)為 xCyuBxAx （6-80） 狀態(tài)反饋控制律為xKru（6-81） 狀態(tài)觀測器方程為yLBuxLCAx)(（6-82） 由以上三式可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為xCyrBxBKLCAxLCxrBxBKxAx)( （6-83） 根據(jù)分離原理，系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測器反饋陣L可分別設(shè)計。 例例6-156-15 已知開環(huán)系統(tǒng) xxx011006 .2010yu設(shè)計狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)為 -1.8j2.4，設(shè)計狀態(tài)觀測器使其閉環(huán)極點(diǎn)為-8,-8。 解解 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設(shè)計分開進(jìn)行。在設(shè)計之前，應(yīng)先判別系統(tǒng)的能控

14、性和能觀測性，MATLAB的程序?yàn)?Example5_15.mA=0 1; 20.6 0;b=0;1;C=1 0;% Check Contrillability and Observablitydisp (The rank of Controllability Matrix)rc=rank (ctrb(A,b)disp (The rank of Observability Matrix)ro=rank(obsv(A,C)%Design RegulatorP=-1.8+2.4*j -1.8-2.4*j;K=acker(A,b,P)%Design State ObserverA1=A;b1=C;C

15、1=b;P1=-8 -8;K1=acker(A1,b1,P1);L=K1執(zhí)行后得The rank of Controllability Matrixrc = 2The rank of Observability Matrixro = 2K = 29.6000 3.6000L = 16.000084.6000 小小 結(jié)結(jié)1 1、基本概念、基本概念1）狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置（1）利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控對象能控。（2）狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。（3）在引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)能控性不變，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀測性。單輸入無零點(diǎn)系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋不會出現(xiàn)零極相消

16、，故其能觀測性與原系統(tǒng)保持一致。（4）多輸入系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋陣 不惟一。K2）輸出反饋和極點(diǎn)配置（1）利用輸出到 的反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控對象能觀測。（2）在引入輸出到 的反饋后，系統(tǒng)能觀測性不變，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能控性。單輸入無零點(diǎn)系統(tǒng)在引入輸出反饋不會出現(xiàn)零極相消，故其能控性與原系統(tǒng)保持一致。（3）利用輸出到輸入端的線性反饋一般不能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置。（4）在引入輸出到輸入端的線性反饋后，系統(tǒng)的能控性和能觀測性不變。（5）兩種輸出反饋都不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。x x 3）解耦控制（1）輸入和輸出維數(shù)相同的線性定常系統(tǒng)，串聯(lián)解耦的條件是被控系統(tǒng)

17、的傳遞函數(shù)陣的逆存在 。（2）輸入和輸出維數(shù)相同的線性定常系統(tǒng)，反饋解耦的條件是能解耦性的判別陣的逆存在。 4）系統(tǒng)的鎮(zhèn)定 （1）假如不穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則一定存在線性狀態(tài)反饋陣 ，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。（2）假如線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能控的，則存在線性狀態(tài)反饋陣 ，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的不能控部分為漸近穩(wěn)定的。KK（3）假如不穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，則一定存在從輸出到狀態(tài)向量 線性反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。（4）假如線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀測的，則從輸出到狀態(tài)向量 線性反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的不能觀測部分為漸近穩(wěn)定的。x x 5）狀態(tài)觀測器的設(shè)計 若被控系統(tǒng) 能觀測，則其狀態(tài)可用CBA,LyBuxLCAx)(