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文檔簡介
1、備課資料因?yàn)楹瘮?shù)是現(xiàn)實(shí)世界對應(yīng)關(guān)系的抽象或者說是對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,它重要而且基本,不僅是數(shù)學(xué)研究的重要對象, 也是數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想, 所以全面正確深刻理解函數(shù)概念則是我們教學(xué)的關(guān)鍵 . 其中函數(shù)的定義域是研究函數(shù)及應(yīng)用函數(shù)解決問題的基礎(chǔ),即處理函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”這種數(shù)學(xué)意識. 熟練準(zhǔn)確地寫出函數(shù)表達(dá)式是對函數(shù)概念理解充分體現(xiàn). 下面,針對函數(shù)的定義域及函數(shù)解析式做進(jìn)一步探討.一、函數(shù)的定義域例 1求下列函數(shù)的定義域(1) y 1 x2 12(2) y x 2x 2 4(3)y1| x |x(4)yx14x 2(5)y4x 21| x |3(6)y11111x(7) y a
2、x 3 ( a 為常數(shù) )分析:當(dāng)函數(shù)是用解析法給出,并且沒有指出定義域,則使函數(shù)解析式有意義的自變量的全體所組成的集合就是函數(shù)的定義域.解: (1) x R;(2)要使函數(shù)有意義,必須使x2 40 得原函數(shù)定義域?yàn)?x x R 且 x± 2 ;(3)要使函數(shù)有意義,必須使x x 0,得原函數(shù)定義域?yàn)?x x 0 ;(4)要使函數(shù)有意義,必須使x10, x1 x 4 ;4x得原函數(shù)的定義域?yàn)?,(5)要使函數(shù)有意義,必須使4x20, 得原函數(shù)定義域?yàn)?x2 x 2 ;| x |30;1x0,110,x110,(6) 要使函數(shù)有意義,必須使11x10.1111x得原函數(shù)的定義域?yàn)?xx
3、 1或 x 0 或 1 x 0 ;2(7) 要使函數(shù)有意義,必須使ax3 0 得當(dāng) a0 時(shí),原函數(shù)定義域?yàn)?xx 3 ;a當(dāng) a0 時(shí),原函數(shù)定義域?yàn)?xx 3 ;當(dāng) a0 時(shí), ax 3 0 的解集為a,故原函數(shù)定義域?yàn)?。評述: (1) 求函數(shù)定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量取值的集合,一般可通過解不等式或不等式組完成 .(2) 對于含參數(shù)的函數(shù)定義域常常受參數(shù)變化范圍的制約,受制約時(shí)應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論 . 例 1 中的 (8) 小題含有參數(shù) a,須對它分類討論 .例 2 (1) 已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?(0 , 1) ,求 f ( x2)的定義域 .(2) 已知函數(shù) f (
4、 2x 1)的定義域?yàn)?(0 , 1) ,求 f ( x)的定義域 .(3) 已知函數(shù) f ( x 1)的定義域?yàn)?2, 3 ,求 f (2x2 2)的定義域 .分析: (1) 求函數(shù)定義域就是求自變量x 的取值范圍,求 f(x2)的定義域就是求 x 的范圍,而不是求x2 的范圍,這里x 與 x2 的地位相同,所滿足的條件一樣.(2)應(yīng)由 0 x1 確定出2x 1 的范圍,即為函數(shù)f (x)的定義域 .(3)應(yīng)由2 x 3 確定出 x 1 的范圍, 求出函數(shù) f( x)的定義域進(jìn)而再求f( 2x2 2)的定義域 . 它是(1) 與(2) 的綜合應(yīng)用 .解: (1) f ( x)的定義域?yàn)?(0
5、 ,1)要使f(2)有意義,須使02 1,即 10 或 0 1函數(shù)f(2)的定義xxxxx域?yàn)?x 1 x 0 或 0 x1(2) f ( 2x 1)的定義域?yàn)椋?,1),即其中的函數(shù)自變量x 的取值范圍是0 x 1,令 t 2x1, 1 t 3, f ( t )的定義域?yàn)?1 x 3 函數(shù) f ( x)的定義域?yàn)?x 1x 3(3) f ( x 1)的定義域?yàn)?2 x3, 2 x 3令 t x 1, 1 t 4 f ( t )的定義域?yàn)? t 4即 f ( x) 的定義域?yàn)?1x 4,要使 f ( 2x2 2)有意義,須使1 2x2 2 4,3 x2 或 2 x 32221500 公里,10
6、0 公里小時(shí),兩地距離為S 100tS( 公里 ) 表示成時(shí)間 t ( 小時(shí) ) 的函數(shù) .所以易求得函數(shù)解析式, 其定義域由甲乙兩地函數(shù)f( 2 2 2)的定義域?yàn)?x32 或2 3xx2x2注意:對于以上 (2)(3)中的 f ( t )與 f ( x) 其實(shí)質(zhì)是相同的 .評述: (1) 對于復(fù)合函數(shù)f ( x) 而言,如果函數(shù) f( x)的定義域?yàn)?A,則 f ( x)的定義域是使得函數(shù)( x) A 的 x 取值范圍 .(2) 如果 f ( x) 的定義域?yàn)锳,則函數(shù) f ( x) 的定義域是函數(shù)( x) 的值域 .二、函數(shù)的解析式例 1 (1) 已知 f (x 1) x 2x ,求 f
7、 ( x) 的解析式 .(2) 已知 f ( x 1 ) x3 1 ,求 f ( x) 的解析式 .xx(3) 已知函數(shù)f (x)是一次函數(shù),且滿足關(guān)系式3f ( x1) 2f ( x 1) 2x17,求f ( x) 的解析式 .分析:此題目中的“ f ”這種對應(yīng)法則,需要從題給條件中找出來,這就要有整體思想的應(yīng)用,即:求出 f 及其定義域 .解: (1) 設(shè) t x 11,則x t 1, x( t 1) 2 f ( t )( t 1) 2 2(t 1) t 2 1( t 1) f ( x) x2 1(x 1)31121(2) xx3( xx)( x x2 1)( x 1 ) ( x 1 )
8、2 3xx f ( x 1 )( x 1) (x 1)23xxx f ( x) x( x23) x33x當(dāng) x 0 時(shí), x 1 2 或 x 1 2,xx f ( x) x3 3x( x 2 或 x 2)(3) 設(shè) f ( x) ax b 則 3f ( x 1) 2f ( x 1) 3ax 3a2b 2a2b axb 5a 2x17 a 2, b 7, f ( x) 2x7.注意:對于 (1) 中 f ( x)與 f ( t ) 本質(zhì)上一樣 .評述:“換元法”“配湊法”及“待定系數(shù)法”是求函數(shù)解析式常用的方法,以上3 個(gè)題目分別采用了這三種方法. 值得提醒的是在求出函數(shù)解析式時(shí)一定要注明定義域
9、.例 2(1) 甲地到乙地的高速公路長 1500 公里,現(xiàn)有一輛汽車以 100 公里小時(shí)的速度從甲地到乙地,寫出汽車離開甲地的距離分析:從已知可知這輛汽車是勻速運(yùn)動(dòng),之間的距離來決定 .解:汽車在甲乙兩地勻速行駛,汽車行駛速度為3從甲地到乙地所用時(shí)間為t 1500 小時(shí)100答:所求函數(shù)為:S 100tt 0 , 15(2) 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360 千克,如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2 ,糧食總產(chǎn)量平均每年增長 4%,那么 x 年后若人均一年占有 y 千克糧食 . 求出函數(shù) y 關(guān)于 x 的解析式 .分析:此題用到平均增長率問題的分式,由于學(xué)生尚未學(xué)到,所以還應(yīng)推導(dǎo).解:設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)
10、鎮(zhèn)人口為A,則 1 年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為A(1 1.2 ) , 2 年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A( 1 1.2 ) 2經(jīng)過 x 年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(1 1.2 ) x. 再設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B,則 1 年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為B(1 4 ),2 年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B( 14)2,經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為( 1 4)x,因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為360 kg,B即 B 360,所以 x 年后的人均一年占有糧食為y,即 y B(14%) x360(14%) x ( xAA(11.2%) x(1 1.2%) x N*)評述:根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式, 是應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的基礎(chǔ), 在設(shè)
11、定或選定自變量后去尋求等量關(guān)系, 求得函數(shù)解析式后, 還要注意函數(shù)定義域要受到實(shí)際問題的限制.三、參考練習(xí)題(1)函數(shù) y3 x1的定義域是 _.| x1| 2x 1|答案: R(2)設(shè)函數(shù) fx1) 2x 1,則函數(shù) f ( x)的定義域是 _.( 2答案:( 1,)(3) 已知函數(shù) f ( x 1) 2x 1,求 f ( x) 的解析式是 _.答案: f ( x) 2x 1(4)已知f(x)是一次函數(shù),且ff(x)4x 1,則f( )的解析式是 _.x答案: f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x 13備課資料一、函數(shù)的值域在函數(shù)概念的三要素中, 定義域和對應(yīng)法則是最基本的,值域是
12、由定義域和對應(yīng)法則所確定, 因此,研究值域仍應(yīng)注重函數(shù)對應(yīng)法則的作用和定義域?qū)χ涤虻闹萍s,以下試舉例說明常用方法 .對函數(shù)值域的理解 例題 求下列函數(shù)的值域(1)y1 2x,( x R)(2) y x 1x 2, 1, 0, 1, 2(3)yx2 4x 3, ( 3 x 1)(4) y x 1 x 2(5)y2x 34 x 13(6) y x4x 25(x21)24(7) y 1x(8) y x22x32x52x22x1(9) y3 2x x2 ,x 3, 1(10) y 3x 21x 22分析:求函數(shù)的值域應(yīng)確定相應(yīng)的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算確定其值域.對于 (1)(2)可用“直接
13、法”根據(jù)它們的定義域及對應(yīng)法則得到(1)(2)的值域 .對于 (3)(4)可借助數(shù)形結(jié)合思想利用它們的圖象得到值域,即“圖象法”.對于 (5)(6)可借用整體思想,利用“換元法”求得值域.對于 (7)可將其分離出一個(gè)常數(shù),即利用“分離常數(shù)法”求得它的值域.對于 (8)可通過對“”的分析,即利用“判別式法”求得其值域.對于 (9)(10)可“通過中間函數(shù)的值域去求所求函數(shù)的值域”這一方法,即“中間媒介法”求得其值域.解: (1) y R(2) y1 , 0, 1(3) 畫出 y x2 4x 3( 3 x 1)的圖象,如圖所示,當(dāng) x 3, 1 時(shí),得 y 1, 8(4) 對于 y x 1 x 2
14、的理解,從幾何意義入手,即利用絕對值的幾何意義可知, x1表示在數(shù)軸上表示 x 的點(diǎn)到點(diǎn) 1 的距離, x 2表示在數(shù)軸上表示 x 的點(diǎn)到點(diǎn) 2 的距離,在數(shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn) xA 1, 1xB 2, xC c,如圖所示,可以看出 xA1 xA2 3 3 xB 1 xB 2 3, xC 1 xC2 3,由此可知,對于任意實(shí)數(shù)x,都有 3 x 1 x 2 3,所以函數(shù) y x 1 x 2的值域?yàn)閥 3,3(5) 對于沒有給定自變量的函數(shù),應(yīng)先考查函數(shù)的定義域,再求其值域. 4x13 0 x 13 , ) 令 t 4x13 則得: x t 21344 y 1 t 2 t 7 , y 1 ( t 1)
15、 2 3222 x 13 , t 04y 7 , )根據(jù)二次函數(shù)圖象可得2(6) 函數(shù)定義域?yàn)?x R,由原函數(shù)可化得:y x4x25x2 ( x21)5( x21)2( x21)25x25x 21 121)2( x21) 2( x 21) 2( x 21)( x5511,令 t 121) 2x2 121( xx xR , t (0 , 1 , y 5t 2 t 15( t 1 )2 191020根據(jù)二次函數(shù)的圖象得,當(dāng) t 1時(shí), ymin 19 ;當(dāng) t 1 時(shí), ymax 51020函數(shù)的值域?yàn)閥 19 ,5720(7) y 1 2,722x5 0, y 1 252x2函數(shù) y 的值域?yàn)?/p>
16、 y(,1 )( 1 ,)22(8) 由 y x22 x3 得 x R,且可化為:2x 22x1( 2y1) x2 2(y 1) x( y 3) 0當(dāng) y 1 時(shí),22 2 ( y 1) 4( 2y 1)( y3) 0 4 y 1 且 y 12又當(dāng) y 1 時(shí), 2( 1 1 ) x( 1 3) 0222得: x 7 ,滿足條件6函數(shù)的值域?yàn)閥 4, 1(9) 3 x 1, 2 x 12 x 1 2,即( x1) 2 4 y 3 2x x2( x1) 2 4 0 , 4函數(shù)值域?yàn)閥 0 , 423x122(10) 由 y可知, x R 且 yx 2y 3x 1即( 3 y) x2 2y 1若
17、y3 時(shí),則有 0 7,這是不可能的. y 36得: x2 2y 1x2 0 2 y 1 03 y3 y解得: 1 y 32函數(shù)值域?yàn)?y 1 , 3)2評述:(1)求函數(shù)的值域是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題,它沒有現(xiàn)成的方法可套用,要結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征,以及與所學(xué)知識聯(lián)系,靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?( 2)對于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個(gè)值域,請讀者不妨試一試.( 3)除以上介紹的方法求函數(shù)值域外,隨著學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí),我們今后還會(huì)有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、 “三角換元”法、 “不等式”法及“導(dǎo)數(shù)法”等 .二、參考練習(xí)題( 1)已知集合 A a, b, c,d, ,B a, b, c, d,
18、 對應(yīng)法則如圖示,則從 A到 B 為映射的是()答案: C( 2)下列哪一個(gè)對應(yīng)是從集合P到集合 S的一個(gè)映射()A. P 有理數(shù) , S 數(shù)軸上的點(diǎn) ,對應(yīng)法則f :有理數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)B. P 數(shù)軸上的點(diǎn) , S 有理數(shù) ,對應(yīng)法則f :數(shù)軸上的點(diǎn)有理數(shù)C. x P R, y S R ,對應(yīng)法則f : x y xD. R,對應(yīng)法則f:yx2R RxPySx答案: A( 3)在映射f: B中,下列判斷正確的是()AA. A 中的元素a 的象可能不只一個(gè)B. A 中的兩個(gè)元素a 和 b 的象必不相同C. B 中的元素a的原象可能不只一個(gè)D. B 中的兩個(gè)不同元素a和 b的原象可能相同答案: C( 4)關(guān)于從集合A 到集合 B 的映射,下面說法中錯(cuò)誤的是()7A. A 中每一個(gè)元素在B中都有象B. A 中的兩個(gè)不同元素在B 中的象不同C. B 中的元素在 A中可以沒有象D. B 中的某元素在A 中的原象可能不止一個(gè)答案: B( 5)從集合 a, 到集合1 , 2 的映射共有()AbBA.2 個(gè)B.3 個(gè)C.4 個(gè)D.5 個(gè)答案: C(
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