(新課標)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第七章不等式7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題習題理

1、§ 7.3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題1 .二元一次不等式表示的平面區(qū)域（1） 一般地，二元一次不等式Ax+ By+ C> 0在平面直角坐標系中表示直線Ax+ By+ C=0某一側(cè)所有點組成的 .我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域 邊界直 線.當我們在坐標系中畫不等式Ax+ By+ 80所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng) 邊界直線，則把邊界直線畫成 .（2）由于對直線 Ax+By+ C= 0同一側(cè)的所有點（x, y）,把它的坐標（x, y）代入Ax+ By + C,所得的符號都 ,所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點 （x0, yo）（如原點） 作為測試點，由 Axo+Byo

2、+C的 即可判斷 Ax+ By+ C>0表示的是直線 Ax+ By+ C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.2.線性規(guī)劃（1）不等式組是一組對變量 x, y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x, y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.Z=Ax+ By是要求最大值或最小值的函數(shù)，我們把它稱為.由于 Z= Ax+By是關(guān)于x, y的一次解析式，所以又可叫 做.另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2) 一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的 的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃 問題.（3）滿足線性約束條件的解（x, y）叫做,由所有可行解組成的集合叫做.其中，使目標函數(shù)取得最大

3、值或最小值的可行解都叫做這個問題的線性目標函數(shù)的最值常在可行域的邊界上，且通常在可行域的頂點處取得；而求最優(yōu)整數(shù)解首先要看它是否在可行域內(nèi)(4) 用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：首先，要根據(jù) (即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域).設(shè) ，畫出直線l 0.觀察、分析、平移直線10,從而找到最優(yōu)解.最后求得目標函數(shù)的 (5) 利用線性規(guī)劃研究實際問題的解題思路：首先，應(yīng)準確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出 條件，確定 函數(shù)然后 ， 用 圖解 法 求得數(shù) 學(xué)模 型 的 解 ， 即 ， 在可 行域 內(nèi) 求得使 目 標 函 數(shù)自查自糾1 (1) 平面區(qū)域不包括包括 實線 (2) 相同 符號2 (1)

4、目標函數(shù)線性目標函數(shù)(2) 最大值或最小值(3) 可行解 可行域 最優(yōu)解 線性約束條件畫出可行域z = 0最大值或最小值(5) 約束 線性目標 畫出可行域 取得最值的解36 / 30線 x2丫 + 6=0的（）A.左下方C.右下方x y 4 & 0,不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點x + y 1 3 & 0最大值為 （）A 2B 4C 6（2015 河北模擬）已知點 R2 , t）在P（2,t）到直線3x+4y+10=0距離的D 8不等式x2y+6>0表不'的區(qū)域在直B.左上方D.右上方解： 畫出直線并取原點代入知 C 正確故選C.解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域3

5、x+4y+10=0的距離最大.由（如圖陰影部分所示）.結(jié)合圖形可知，點A到直線x= 2,得A點坐標為（2,1）,故所求最大距離為 dmax x+y3=0|3 X2+4X1+ 10| 花-= =1 = 4.故選 B.32+42（2015 湖南）若變量x, y滿足約束x+y>- 1,條件2x-y<1,則z=3xy的最小值為（）y&1,D. 2 C. 1B. - 1A. - 7x+y>- 1,解：作出不等式組2x-y<1,表示的可行域如圖中陰影部分所示，當平行直線系 zy< 1= 3x y 過點 A( 2, 1)時取最小值，即 Zmin=3X( 2)1 = 7.

6、故選 A點(一2, t)在直線2x3y+6=0的解：(一2, t)在 2x3y+6=0 的上方，上方，則t的取值范圍是2 .一則 2X ( 2) 3t+6V0,解得 t>+故填3t|t >33（2015 新課標I ）若x, y滿足約束x-1>0,條件x-y<0,則y的最大值為xx + y 40 0,解：作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，y是可行域內(nèi)一點（x, y）與原x點連線的斜率，由圖可知，點A（1 , 3）與原點連線的斜率最大，故y的最大值為3.故填3. x類型一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域設(shè)二元一次不等式組y = ax（a>0, awl）的

7、圖象過區(qū)域 M的a的取值范圍是（）A. 1 , 3C. 2 , 9x+ 2y192x y+8>0,所表示的平面區(qū)域為M則使函數(shù)2x+ y-14<0B. 2 ,包D. ,10, 9解：如圖，陰影部分為平面區(qū)域M顯然a>1,只需研究過（1, 9）, （3, 8）兩種情形，a29且a3R8即2<a<9,故選C【點撥】 關(guān)于不等式組所表示的平面區(qū)域（ 可行域 ） 的確定，可先由“直線定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊點法”，且一般取坐標原點O（0 ， 0） 為特殊點；這里的曲線y=ax是過定點（0, 1）的一系列曲線.（2014 安徽）不等式組x+ y-

8、2 A 0,x+2y - 4&0,表布的平面區(qū)域的面積為 x+ 3y- 20解： 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易求得| BD = 2, C點坐標（8 , 2）,1. 及ABC= Sabd+ Sabcd= 2 X 2 X （2 +2） =4.故填 4.類型二利用線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解（2015 福建）若變量x, y滿足約束x+2y>0,條件x-y<0,則z=2xy的最小值等于（x- 2y + 20,53A. - B. -2 C. - D. 222“，一，15 ,解：可行域如圖中陰影部分，當直線過點A1,萬，z= 2x y有最小值一2.故選A.【點撥】

9、可行域是封閉區(qū)域時，可以將端點代入目標函數(shù)z=2x-y,求出最值，這種代入的方法對于解線性規(guī)劃的含參問題往往更優(yōu).若線性規(guī)劃的可行域不是封閉區(qū)域時，不能簡單的運用代入頂點的方法求最優(yōu)解.如變式2,需先準確地畫出可行域，再將目標函數(shù)對應(yīng)直線在可行域上移動，觀察z的大小變化，得到最優(yōu)解.2x + y>4,設(shè) x, y 滿足 x-y> 1,則 z = x +x-2y<2,y()A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,無最大值C.有最大值3,無最小值D.既無最小值，也無最大值解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，由z= x+y,得y= x+z,令z= 0,畫出y= x的圖象，當它的平

10、行線經(jīng)過 A(2 , 0)時，z取得最小值為Zmin=2 + 0=2,由于可 行域是向右上方無限延伸的非封閉區(qū)域，y=-x+z向右上方移動時，z=x+y也趨于無窮大，所以z = x+y無最大值，故選B.類型三 含參數(shù)的線性規(guī)劃問題x>0,(1)若不等式組x + 3y>4,所表示3x+ y<44-的平面區(qū)域被直線 y= kx + 工分為面積相等的兩部分3D.3c.3B.77A.3解：由題目所給的不等式組可知，其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，這里直線y41 5,、17 一，= kx+a只需經(jīng)過線段 AB的中點D即可，易得D點的坐標為Q，代入可得k=故選 32 23Ax + y

11、1 >0,（2）在平面直角坐標系中，若不等式組 x-1<0,（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的ax y+ 1 >0面積等于2,則a的值為（）D. 3C. 2B. 1 A. - 5解：如圖可得陰影部分即為滿足x-K0與x + y-1 >0的可行域，而直線 ax-y+ 1=0恒過點（0,1）,故看作直線繞點（0 , 1）旋轉(zhuǎn)，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2,則它是三角形，設(shè)該三角形為ABC因為 ABC的點A和B的坐標分別為 A（0 , 1）和R1 , 0）,且Saabc= 2,設(shè)點C的坐標為J，r一，C(1 , y),則2*ixy=2? y=4,將點 C(1 , 4)

12、代入 axy + 1 = 0得 a= 3.故選 D.4，一，一【點撥】此類問題綜合性較強，注意到y(tǒng)=kx+-, axy+1 = 0都是含參數(shù)且恒過定3點的直線，因此這兩題我們采用數(shù)形結(jié)合求解.注意把握住兩點：參數(shù)的幾何意義；條件的合理轉(zhuǎn)化.已知x, y滿足約束條件xy>0,x+y<2,若2 = 2*+ y的最大值為4,則a=()y>0.A. 3 B.2 C.2 D.3解：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z=ax+ y的最大值為4,即目標函數(shù)對應(yīng)直線與可行域有公共點時，在y軸上的截距的最大值為 4, 作出過點D(0 , 4)的直線，由圖可知，目標函數(shù)在點

13、B(2 , 0)處取得最大值，有 aX2+0 = 4,得a=2.故選B.yx,（2）（ 2014 湖南）若變量x, y滿足約束條件x + y<4, 且z=2x+y的最小值為一y>k,6,貝U k=解： 易得出約束條件中三條直線兩兩所成的交點 （k， k） ， （4 k， k） ， （2 ， 2） ，且可行域如圖，則kw2.最小值在點（k, k）處取得，3k= 6,得k= 2.故填2.類型四 利用線性規(guī)劃求非線性目標函數(shù)的最優(yōu)解若實數(shù)x, y滿足x2+y2wi,則|2x y 2| |6 x 3y| 的最小值是解：x2+y2w 1 表示圓 x2+y2=1 及其內(nèi)部，此時 6 x3y&g

14、t;0,故|6 x3y| = 6 x3y, 令 z=|2x+y 2| + |6 x3y| =6 x 3y+ |2 x+y 2| ,當 2x+ y2>0 時，z=x 一3 4-2y + 4,目標函數(shù)z在點A 5，5 處取得最小值，zmin=3;當2x+y2W0時，z=8 3x 5 5一3 4-4y,同理可知，目標函數(shù)z在點A,1處取得最小值，zmin= 3,綜上所述，|2x + y2|5 5+ |6 -x-3y|的最小值為3.故填3.【點撥】 本題可行域是圓及其內(nèi)部的點，首先可以從目標函數(shù)的兩個絕對值號中去掉一個，再分類討論去掉另一個絕對值號，注意充分利用目標函數(shù)或可行域的幾何意義.實系數(shù)

15、方程f (x) =x2+ax+2b= 0的一個根在(0, 1)內(nèi)，另一個根在(1, 2)內(nèi)，求:b一 2(1)二的值域；a 1(2)( a1)2+(b 2)2的值域.f (0) >0,b>0,解：由題意知 f (1) <0, ? a + 2b+ 1v0, f >0a + b+2>0.可行域是一個不包括邊界的三角形，其頂點為 A(-3, 1), B(-2, 0), C( -1, 0) .如圖所示.(1)設(shè)一；=k? b=k(a1)+2,則k表示可行域內(nèi)一個動點P(a, b)和定點 Q1 , 2)a 1一，11連線的斜率，因為A( 3, 1) ,C( 1, 0),則k

16、AQ= 4,kcck1,kAQ<k<kcQ,- <k<1.b-2 12的值域是1 .a-14(2)( a1)2+( b2)2表示可行域內(nèi)一個動點P(a, b)和定點 Q1 , 2)的距離的平方，顯然，當動點 Ra,b)和點q 1, 0)重合時距離最小，最小值為2，2,而P(a,b)和點A(3, 1)重合時距離最大，最大值為爐，所以(a1)2+(b2)2的值域為(8 , 17).類型五 線性規(guī)劃與整點問題設(shè)不等式組x> 0,y> 0,所表示的平面區(qū)域為D,記D內(nèi)的整點(即橫坐標和縱坐 標均y< nx+3n(nW N*) .一一 * . . . .為整數(shù)的

17、點)個數(shù)為an(anCN),則數(shù)列an的通項公式為 .解：直線 y = - nx+ 3n = - n(x 3),過定點(3 , 0),由 y= - nx+ 3n>0 得 xv 3,又 x>0,所以x = 1或x= 2.直線x = 2交直線y = nx+ 3n于點(2 , n),直線x= 1交直線y=nx+3n 于點(1, 2n),所以整點個數(shù) an= n+2n= 3n.故填 an= 3n.【點撥】 求解整點問題，對作圖精度要求較高，可行域內(nèi)的整點要找準，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點設(shè)實數(shù) x， y 滿足不等式組x + 2y-5>0,2x + y 7>0,若x

18、, y為整數(shù)，則3x+4y的最小值為()x>0, y>0,D. 19C. 17B. 16A. 14“ 93 z ,解：回出可行域如圖，令3x+4y=z, y=4X+7 過x軸上的整點(1 , 0), (2, 一 ，3 z ,，一0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)處作格子線，可知當y=4X + 4過(4, 1)時有最小值(對可 疑點(3 , 2) , (2 , 4) , (4, 1)逐個試驗)，此時 zmin= 3X4 +4= 16.故選 B.類型六線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用(2015 陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用 A B兩種原料.已知生產(chǎn) 1噸每種產(chǎn)品所需

19、原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn) 1噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A（噸）3212R噸)128B. 16萬元D. 18萬元A.12萬元C. 17萬元解：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，利潤為z元，3x+2y<12,則 x + 2y<8,x>0, y>0,目標函數(shù)為 z= 3x + 4y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域(陰影部分)，即可行域.,_3 z -,3 一，一3 z,由z= 3x + 4y得y=4x+4，平移直線y = x至經(jīng)過點B時，直線y= 4 zmax= 3x+4y = 6+

20、12= 18.即每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為2噸、3噸，能夠獲得最大利潤，最大的利潤是 18萬元.故選D【點撥】對于此類有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限的一個凸 多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形在第一象限的某個頂點.+4的縱3x+ 2y =12,解方程組得x+ 2y = 8,截距最大，此時z最大,x=2,即 B(2 , 3).y=3，某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元，設(shè)備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司至少要生

21、產(chǎn) A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費最少為元.解：設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn) x天，乙種設(shè)備需要生產(chǎn) y天，該公司所需租賃費為 z元,x + 6y>10,5即 x + 2y>14,x>0,y>0.,6y >50+ 5x 20y> 140+ 10x,x>0,y>o則z=200x+300y,甲、乙兩種設(shè)備每天生產(chǎn)A, B兩類產(chǎn)品的情況如下表所示:產(chǎn)品設(shè)備A類產(chǎn)品（件）戶50）B類產(chǎn)品（件）（140）租賃費（元）甲設(shè)備510200乙設(shè)備620300y滿足的關(guān)系為作出不等式組表示的平面區(qū)域6 x+-y= 10, ,當z=200x+300y對應(yīng)的直線過

22、兩直線5x + 2y= 14的交點（4, 5）時，目標函數(shù)z=200x+ 300y取得最小值為2300元.故填2300.1 .解客觀題可利用特殊點判斷二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域所在位置，如果直線Ax+ By+ C= 0不經(jīng)過原點，則把原點代入 Ax+ By+ C,通過Ax+ By+ C的正負和不等號 的方向，來判斷二元一次不等式 （組）表示的平面區(qū)域所在的位置.2 .求目標函數(shù)z = ax+by（ abw。）的最值，將函數(shù) z= ax + by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y=ax + z,通過求直線 的截距z的最值間接求出 z的最值.最優(yōu)解一般在頂點或邊界取b bb得.但要注意：當b>0

23、時，截距b取最大值，z也取最大值；截距（取最小值，z也取最 小值；當b<0時，截距z取最大值，z取最小值；截距1取最小值時，z取最大值.bb3 .如果可行域是一個多邊形，那么一般在其頂點處目標函數(shù)取得最大值或最小值.最 優(yōu)解一般是多邊形的某個頂點，到底是哪個頂點為最優(yōu)解，有三種解決方法：第一種方法：將目標函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過可行域的一個便是.第二種方法：利用圍成可行域的直線斜率來判斷.特別地，當線性目標函數(shù)的直線與可行域某條邊重合時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)組.第三種方法：將可行域所在多邊形的每一個頂點P逐一代入目標函數(shù) ZP = m奸ny,比較各個ZP,得最大值或最小值.y

24、< x+2,1.（2015煙臺模擬）不等式組y<x-1,所表示的平面區(qū)域的面積為 （）y>0111D.C.aB-A. 1432y =x + 2,解：作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域為如圖 BCD由題意知 Xb= 1 , Xc= 2.由y=x 1,1 一 , _11 1得 yD= 2，所以 $ BCD= 2><(Xc XB)X2=Z.故選 D.x + y 20,2. （2014天津）設(shè)變量x, y滿足約束條件 x-y-2<0,則目標函數(shù) z = x+2y的y>1,最小值為（）D. 5C. 4B. 3A. 2解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示 ,11,

25、目標函數(shù)可化為y= gx+g,一 ，11,，z,由圖可知，當直線y= 2x+,z經(jīng)過點（1 , 1）時，z取得最小值3.故選B.4x+5y>8,則z=3x + 2y的最小值為3. (2015 廣東)若變量x, y滿足約束條件1<x<3,0<y<2,D. 423C石B. 6(31 A.石“ ，3 z, ，什解：作出如圖所本的可行域，當直線y= 2x+2經(jīng)過A時z取得最小值. x= 1，x=1,4 23聯(lián)立解得 4 此時，z=3Xl+2X = "7.故選C.4x+5y= 8,y=-,5 5x y>0,2x+ y< 2,4.若不等式組表示的平面區(qū)域

26、是一個三角形，則a的取值范圍是（）y>0,x + y< a4B. （0, 1A. +°°344d.（0, i u +00c. i,弓33“ ，一，.，一，4 ,、， 一，一 ，一，、解：如圖，由條件可知，當直線x+y=a在直線x+y=a右上方時，可行域可以組成 3八 一，44 ,一個三角形，即a>.時，可行域可以組成一個 4OAB當0vawi ,可以組成一個三角形， 3.4 ,.所以0V a<l或a>a，故選D 35.（2015 衡水模擬）設(shè)變量x, y滿足|x|+|y| wi ,則2x + y的最大值和最小值分別為（）B. 2, -2A. 1

27、, - 1D. 2, - 1C. 1, - 2解：不等式|x|+|y|wi表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作直線10： 2x+y=0， 平移直線 l 0， 當 l 0經(jīng)過點 （1 ， 0）時 ， 2xy 取最大值 2， 當 l 0經(jīng)過點（ 1 ， 0）時， 2xy 取最小值 2. 故選B.x一 y十20）6. （2015 湖南模擬）已知實數(shù)x, y滿足不等式組 x+y-4>0,若目標函數(shù) z = y2x一 y- 5 & 0, ax取得最大值時的唯一最優(yōu)解是（1, 3）,則實數(shù)a的取值范圍為（）B. （0 , 1）A. （ 8, 1）D. (1 ,+8)C. 1 , +8)解：作

28、出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域BCD由z=y ax,得y=ax+z,要使目標函數(shù) y= ax+z僅在點（1, 3）處取最大值，則只需直線y=ax + z僅在點B（1 , 3）處的截距最大，由圖象可知a>kBD,kBD= 1, .-.a>1,即a的取值范圍是（1,十）.故選qx-y+ 1 >0,7. （2015 新課標n ）若x, y滿足約束條件 x 2y<0,則z = x+y的最大值為x + 2y 2<0,.1解：畫出可行域，如圖所示陰影部分，易得A(0, 1), B( -2, 1), C1, 2 ,可得z33= x + y在C點處取得最大值為.故填2.x+y 20,8

29、.若x, y滿足kxy+ 2>0,且2 = 丫一x的最小值為一4,則k的值為. y>0,解：由所給條件知目標函數(shù)取最小值4時，對應(yīng)的直線為y=x 4,由x+ y 2Ao-1-1且 y>0 知，直線 kx y+2 = 0 過點(4, 0),，k= 2.故填一,x-4y+ 3<0,9.變量 x, y 滿足 3x+5y 25<0, x>1.(1)假設(shè)z= 4x- 3y,求Z1的最大值；(2)設(shè)Z2= y,求Z2的最小值；x(3)設(shè)Z3=x2 + y2,求Z3的取值范圍./ 22解：作出可行域如圖中陰影部分，聯(lián)立易得A 1, - , B(1 , 1), C(5, 2

30、).54 z1 一、4, 一， -zi=4x3y? y= x ,易知平移y = ,x至過點 C時，zi取大，且取大值為 4X5 333 3X2= 14.（2） z2=y表示可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率大小，顯然直線OC斜率最小.故Z2的最x-2小值為-.5（3） Z3=x2+y2表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，而2=OBv OA< OC= 29.故z3 c2 , 29.10 . （2015 廣東模擬）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率大0.25,甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率小0.05.（1）分

31、別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率 P甲，Pg（2）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如表所示，且該廠有工人32名，可用資金55萬元.設(shè)x, y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在 （1）的條件下，求x, y為何值解：（1）依題意得P甲一P乙=0.25 ,1 P甲=P乙一0.05 ,解得用=0.65,P乙=0.4 ,時，z = xP甲+yP乙最大，最大值是多少?產(chǎn)獷工人（名）資金（方兀）甲420乙85故甲產(chǎn)品為一等品的概率P甲= 0.65,乙產(chǎn)品為一等品的概率P乙=0.4.4x + 8y&32,(2)依題意得x, y應(yīng)滿足的約束條彳為 20x+5y&55,x>0, y>0,且 z= 0.65 x+ 0.4 y.作出以上不等式組所表