最新高中數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練選修45不等式選講

1、選修45不等式選講a第1講不等式、含有絕對值的不等式最新考綱1理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法.知 識 梳 理1絕對值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab| |a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立；(2)性質(zhì)：|a|b|a±b|a|b|；(3)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，則|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解法不等式a>0a0a<0|

2、x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a，或x<ax|xr，且x0r(2)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想診 斷 自 測1不等式1|x1|3的解集為_解析數(shù)軸上的點(diǎn)到1的距離大于1且小于3的全體實(shí)數(shù)為所求解

3、集答案(4，2)(0,2)2設(shè)ab0，下面四個不等式中，正確命題的序號是_|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|.解析ab0，a，b同號，|ab|a|b|，和正確答案3不等式|x8|x4|2的解集為_解析令：f(x)|x8|x4|當(dāng)x4時，f(x)42；當(dāng)4x8時，f(x)2x122，得x5，4x5；當(dāng)x8時，f(x)42不成立故原不等式的解集為：x|x5答案x|x54(2012·山東卷)若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k_.解析|kx2|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案25已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無解，則實(shí)數(shù)

4、k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k1時，不等式|x1|x|k無解，故k1.答案(，1)考點(diǎn)一含絕對值不等式的解法【例1】 解不等式|x1|x2|5.解法一如圖，設(shè)數(shù)軸上與2,1對應(yīng)的點(diǎn)分別是a，b，則不等式的解就是數(shù)軸上到a、b兩點(diǎn)的距離之和不小于5的點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)數(shù)顯然，區(qū)間2,1不是不等式的解集把a(bǔ)向左移動一個單位到點(diǎn)a1，此時a1aa1b145.把點(diǎn)b向右移動一個單位到點(diǎn)b1，此時b1ab1b5，故原不等式的解集為(，32，)法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集為(，32，)法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，則f(x

5、)作出函數(shù)的圖象，如圖所示由圖象可知，當(dāng)x(，32，)時，y0，原不等式的解集為(，32，)規(guī)律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(，a，(a，b，(b，)(此處設(shè)ab)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集(2)幾何法：利用|xa|xb|c(c0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1a和x2b的距離之和大于c的全體，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1|xa|xb|和y2c的圖象，結(jié)合圖象求解【訓(xùn)練1】 解不等式|x3|2x1|1.解當(dāng)x3時，

6、原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當(dāng)3x時，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x，3x.當(dāng)x時，原不等式化為(x3)(2x1)1，解得x2，x2.綜上可知，原不等式的解集為.考點(diǎn)二含參數(shù)的絕對值不等式問題【例2】 已知不等式|x1|x3|a.分別求出下列情形中a的取值范圍(1)不等式有解；(2)不等式的解集為r；(3)不等式的解集為.解法一因?yàn)閨x1|x3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)p(x)與兩定點(diǎn)a(1)，b(3)距離的差，即|x1|x3|papb.由絕對值的幾何意義知，papb的最大值為ab4，最小值為ab4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大

7、值小即可，故a4.(2)若不等式的解集為r，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值還小，即a4.(3)若不等式的解集為，a只要不小于|x1|x3|的最大值即可，即a4.法二由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，則a4；(2)若不等式的解集為r，則a4；(3)若不等式解集為，則a4.規(guī)律方法 本題中(1)是含參數(shù)的不等式存在性問題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式的解集為r是指不等式的恒成立問題，而不等式的解集的對立面(如f(x)m的解集是空集，則f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最

8、值問題，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.【訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a>0.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值解(1)當(dāng)a1時，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3，或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為.由題設(shè)可得1，故a2.考點(diǎn)三含絕對值的不等式的應(yīng)用【例3】 (2013·新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1

9、)當(dāng)a2時，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設(shè)a>1，且當(dāng)x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化為1ax3，所以xa2對x都成立，應(yīng)有a2，則a，從而實(shí)數(shù)a的取值范圍是.規(guī)律方法 含有多個絕對值的不等式，可以分別令各絕對值里的式子為零，并求出相應(yīng)的根把這些根從小到大排序，以這些根為分界點(diǎn)，將實(shí)數(shù)分成若干小區(qū)間按每個小區(qū)間來去掉絕對值

10、符號，解不等式，最后取每個小區(qū)間上相應(yīng)解的并集【訓(xùn)練3】 (2012·新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時，f(x)當(dāng)x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2<x<3時，f(x)3無解；當(dāng)x3時，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集為x|x1，或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍是3,0.絕對

11、值三角不等式的應(yīng)用【典例】 (2013·福建卷)設(shè)不等式|x2|a(an*)的解集為a，且a，a.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值審題視點(diǎn)(1)利用條件a，a，建立不等式，求a的值；(2)利用絕對值三角不等式進(jìn)行放縮求解解(1)a，a.a，且a，因此a，又an*，從而a1.(2)由(1)知，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時等號成立故f(x)的最小值為3.反思感悟本題難以想到利用絕對值三角不等式進(jìn)行放縮是失分的主要原因；對于需求最值的情況，可利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：|a|b|a±

12、;b|a|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)來放縮求解【自主體驗(yàn)】1若不等式|x1|x3|a對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)a0時，顯然成立；當(dāng)a0時，|x1|x3|的最小值為4，a4.a2.綜上可知a的取值范圍是(，0)2答案(，0)22(2012·陜西卷)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案2,4一、填空題1不等式|2x1|3的解集為_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2不等式|2x1|x2|0的解集為_解析法一原不等式即為|2x

13、1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.原不等式解集為x|1<x<1|法二原不等式等價于不等式組或或不等式組無解，由得x1，由得1x.綜上得1x1，所以原不等式的解集為x|1x1答案x|1x13(2012·廣東卷)不等式|x2|x|1的解集為_解析當(dāng)x2時，原不等式可化為x2x1，該不等式恒成立當(dāng)2x0時，原不等式可化為x2x1，2x1，x，2x.當(dāng)x0時，原不等式可化為x2x1，不成立綜上，原不等式的解集為.答案4若不等式|3xb|4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_解析由|3xb|4得43xb4，即x，不等式|3xb|4的解集中的整數(shù)有

14、且僅有1,2,3，則5b7.答案(5,7)5(2013·江西卷)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1(xr)的解集是_解析由|x2|1|1，得1|x2|11，即0|x2|2，2x22，0x4.答案x|0x46不等式|x1|x2|k的解集為r，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析法一根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1,2在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為p、a、b，則原不等式等價于papbk恒成立ab3，即|x1|x2|3.故當(dāng)k3時，原不等式恒成立法二令y|x1|x2|，則y要使|x1|x2|k恒成立，從圖象中可以看出，只要k3即可故k3滿足題意答案(，3)7若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)

15、數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即a3或a3.答案(，33，)8若關(guān)于x的不等式x|x1|a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析法一當(dāng)x1時，不等式化為xx1a，即x.此時不等式有解當(dāng)且僅當(dāng)1，即a1.當(dāng)x1時，不等式化為x1xa，即1a.此時不等式有解當(dāng)且僅當(dāng)a1.綜上所述，若關(guān)于x的不等式x|x1|a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)法二設(shè)f(x)x|x1|，則f(x)f(x)的最小值為1.因?yàn)閤|x1|a有解，即f(x)a有解，所以a1.答案1，)9已知h0，a，br，命題甲：|ab|2h；命題乙：|a1|h且|b1|h，則甲是乙的

16、_條件解析|ab|a11b|a1|b1|2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分條件答案必要不充分二、解答題10設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函數(shù)yf(x)的最小值解(1)法一令2x10，x40分別得x，x4.原不等式可化為：或或原不等式的解集為.法二f(x)|2x1|x4|畫出f(x)的圖象求y2與f(x)圖象的交點(diǎn)為(7,2)，.由圖象知f(x)2的解集為.(2)由(1)的法二知：f(x)min.11(2012·遼寧卷)已知f(x)|ax1|(ar)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒

17、成立，求k的取值范圍解(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時，不合題意當(dāng)a>0時，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.故k的取值范圍是1，)12設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xr，f(x)2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函數(shù)f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式f(x)3的解集為.(2)若a1，f(x)2|x1|，不滿足題設(shè)條件；若a1，f(x)f(x)的最小值為1a；若a1，f(x)f(x)的最

18、小值為a1.對于xr，f(x)2的充要條件是|a1|2，a的取值范圍是(，13，)第2講不等式的證明最新考綱了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能用它們證明一些簡單不等式知 識 梳 理1基本不等式定理1：設(shè)a，br，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1、a2、an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立2柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)

19、且僅當(dāng)adbc時等號成立(2)若ai，bi(in*)為實(shí)數(shù)，則()()(ibi)2，當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)ai0時，約定bi0，i1,2，n)時等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)，共線時等號成立3不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等診 斷 自 測1已知a、b、m均為正數(shù)，且ab，m，n，則m、n的大小關(guān)系是_解析mn0，即mn.答案mn2設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為_解析分子有理化得a，b，c，abc.答案abc3若0ab1，則ab,2，a2b2,2ab中最大的一個是_解析ab2，a2b22ab.又

20、(a2b2)(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.答案ab4已知x，yr，且xy1，則的最小值為_解析24.答案45若a，b，c(0，)，且abc1，則的最大值為_解析()2(1×1×1×)2(121212)(abc)3.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立()23.故的最大值為.答案考點(diǎn)一分析法證明不等式【例1】 設(shè)a，b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc.(2) ()證明(1)要證abc ，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c2

21、2(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立)證得原不等式成立(2).由于(1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明 .即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca.原不等式成立規(guī)律方法 分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆【訓(xùn)練1】 已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)

22、(1c)證明a、b、cr，且abc1，要證原不等式成立，即證(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是證(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ca)(ab)2 0，(ab)(bc)2 0.(bc)(ca)2 0，三式相乘得式成立，故原不等式得證考點(diǎn)二用綜合法證明不等式【例2】 已知a0，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明(1)ab1，a0，b0，22244 48.8.(2)1，由(1)知8.9.規(guī)律方法 利用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用好已知條件和已經(jīng)證明過的重要不等式【訓(xùn)練2】 已知a，b，cr，且互不相

23、等，且abc1，求證：.證明法一a，b，cr，且互不相等，且abc1，.法二22；22；22.以上三式相加，得 .又a，b，c互不相等，.法三a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，bccaab.考點(diǎn)三利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(2013·湖北卷)設(shè)x，y，zr，且滿足：x2y2z21，x2y3z，則xyz_.(2)已知x、y、zr，且xyz1，則：的最小值為_解析(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，(x2y3z)214，則x2y3z，又x2y3z，x，因此x，y，z，于是xyz.(2)法一利用柯西不等式由于(xyz)236.所以36.當(dāng)且僅當(dāng)

24、x2y2z2，即x，y，z時，等號成立法二(xyz)(xyz)(xyz)1414461236.當(dāng)且僅當(dāng)y2x，z3x，即x，y，z時，等號成立答案(1)(2)36規(guī)律方法 根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用柯西不等式對有關(guān)不等式進(jìn)行證明，證明時，需要對不等式變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)，從而應(yīng)用柯西不等式【訓(xùn)練3】 (2013·湖南卷)已知a，b，cr，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_解析法一(xyz)2x2y2z22xy2yz2zx3(x2y2z2)，a24b29c2(a2b3c)212.a24b29c2的最小值為12.法二由柯西不等式，得(a24b29c2)

25、3;(121212)(a·12b·13c·1)236，故a24b29c212，從而a24b29c2的最小值為12.答案12利用算術(shù)幾何平均不等式求最值【典例】 已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c226，并確定a，b，c為何值時，等號成立審題視點(diǎn)(1)a2b2c2，分別用算術(shù)幾何平均不等式；(2)相加后又構(gòu)成用算術(shù)幾何平均不等式的條件解因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式得a2b2c23(abc)3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時，式和式等號成立當(dāng)

26、且僅當(dāng)3(abc)9(abc)時，式等號成立即當(dāng)且僅當(dāng)abc3時，原式等號成立反思感悟(1)利用算術(shù)幾何平均不等式證明不等式或求最值問題，是不等式問題中的一個重要類型，重點(diǎn)要抓住算術(shù)幾何平均不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和使用條件(2)在解答本題時有兩點(diǎn)容易造成失分：一是多次運(yùn)用算術(shù)幾何平均不等式后化簡錯誤；二是求解等號成立的a，b，c的值時計算出錯【自主體驗(yàn)】設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：abc2.證明因?yàn)閍，b，c是正實(shí)數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式可得3，即.所以abcabc.而abc22，當(dāng)且僅當(dāng)abc且abc時，取等號所以abc2.一、填空題1(2013·江蘇卷改編)已知ab0，m2a3b3，n

27、2ab2a2b，則m、n的大小關(guān)系為_解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案mn2已知xy1，那么2x23y2的最小值是_解析由柯西不等式(2x23y2)·2(xy)21，2x23y2，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y，即x，y時，等號成立答案3若直線3x4y2，則x2y2的最小值為_，最小值點(diǎn)為_解析由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，為求最小值點(diǎn)，需解方程組因此，當(dāng)x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為.答案4若a，b均為正實(shí)數(shù)，且ab，m，n，則m、n的大小關(guān)系為_解析ab，2，2，22，.即mn.答案m n5設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，且abc9，則的最小值為_解析(abc)()2()2()2218.2.的最小值為2.答案26已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2b3c9，則的最大值為_解析 ，故最大值為.答案7(2013·陜西卷)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_解析由柯西不等式(a2