分類討論的思想方法---高考題選講

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載分類討論的思想方法(2)- 高考題選講在解題時(shí)， 我們常常會(huì)遇到這樣一種情況，解到某一步之后， 不能再以統(tǒng)一的方法，統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了， 因?yàn)檫@時(shí)被研究的問題包含了多種情況， 這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)， 正確劃分若干個(gè)子區(qū)域， 然后分別在多個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題， 這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分 ，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究方向基本是 “分 ”，但分類解決問題之后，還必須把它們總合在一起， 這種 “合分合 ”的解決問題的過程，就是分類討論的思想方法 .分類討論的思想是以概念的劃分、集合的分類為基礎(chǔ)的思想方法，高考對(duì)分類討論的思想的考查，有以下幾個(gè)方面:

2、一是考查有沒有分類意識(shí)，遇到應(yīng)該分類的情況，是否想到要分類，什么樣的問題需要分類？例如（）有些概念就是分類定義的，如絕對(duì)值的概念，又如整數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，把三角形分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形等等；（）有的運(yùn)算法則和定理，公式是分類給出的，例如等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和 q1兩種情況；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為 a>1， a<1 兩種情況；求一元二次不等式的解又分為 a>0， a<0，及 >， =0， <共六種情況；直線方程分為斜率存在與不存在等等；（）圖形位置的相對(duì)變化也會(huì)引起分類，例如兩點(diǎn)在同一平面的同側(cè)，異側(cè)，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸相對(duì)于定義域

3、的不同位置等；（）對(duì)于一些題目如排列組合的計(jì)數(shù)問題，概率問題又要按題目的特殊要求，分成若干情況研究；（）整數(shù)的同余類，如把整數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)等.二是如何分類，即要會(huì)科學(xué)地分類，分類要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；三是分類之后如何研究；四是如何整合.下面就高考中出現(xiàn)的一些相關(guān)題進(jìn)行點(diǎn)評(píng)例 1 解關(guān)于 x 的不等式： a(x-1) 1（ a 1） x-2(a-1)x-(a-2)a-2解析 ：原不等式等價(jià)于：x-2 0，即 (a1)(x a-1 )(x 2) 0a-2若 a>1，則等價(jià)于 (x a-1 )(x 2) 0.又 2 a-2 1 10， a-2 2a-1a-1a-1原不等式的解集為；a-2(，

4、a-1 )（ 2,）；a-2a-2a若 a<1 時(shí)，則等價(jià)于(x a-1 )(x 2) 0.由于 2 a-1 a-1，學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) 0<a<1 時(shí)， a-2a-2a-1 >2，原不等式的解集為(2，a-1 ).a-2a-2， 2).當(dāng) a<0 時(shí)，a-1 <2，原不等式的解集為 (a-1當(dāng) a 0 時(shí)，原不等式為 (x 2)2 0，解集為 .綜上所述：當(dāng) a<0 時(shí)，原不等式的解集為；(a-2， 2)；a-1當(dāng) a 0 時(shí)，原不等式的解集為；a-2當(dāng) 0<a<1 時(shí) ,原不等式的解集為(2， a-1 )當(dāng) a>1 時(shí)，原不等式的

5、解集為；(， a-2a-1 )（ 2,） .【點(diǎn)撥 】：本題需要兩級(jí)分類，第一級(jí)，按開口方向分類分a 1 和 a 1，在 a<1 時(shí)，a-2又需要討論兩個(gè)根 2 與 a-1 的大小，又分為三類，即a 0，a=0 和 0 a 1.例 2 在等比數(shù)列 an 中， Sn = a1+a2+a3+ +an，T n= a1a2 a3 an，Pn= 1+ 1+ 1+1 ，a1a2a3ann2求證： (Sn) =Tn .Pn解析 ：由所要證明的等式，知須分別求出Sn、T n、 Pn，因此要用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，根據(jù)公式的要求必須對(duì)公比q 進(jìn)行分類討論 .(1)當(dāng) q=1 時(shí)， Sn=na1,T n

6、= a1n， Pn=n ， (Sn)n=n a1na1Pn na1nn(n-1)(2) 當(dāng) q 1 時(shí)， Sn=a1(1-q )， Tn= a1n· q2， Pn=1-q=a12n， T n2= a12n， ( Sn )n=Tn2； Pn11a1 (1- qn)qn+1-q=n，1a1q (q-1 )Sn2 n-1， (Snn2nn(n-1)22nn(n-1)， (Sn n2Pn= a1 qPn) =a1 q， Tn = a1q) =T n .Pn【點(diǎn)撥】：扎實(shí)的基礎(chǔ)和嚴(yán)密的推理是進(jìn)行合理有效的分類討論的前提，課本中的公式比較多， 必須對(duì)每一個(gè)公式都要有透徹的理解，對(duì)在應(yīng)用公式解題時(shí)

7、是否需要對(duì)公式進(jìn)行分類討論才能做到心中有數(shù)，使解答過程具有完整性.例 3 解關(guān)于 x 的不等式3log ax-2 2 logax-1(a 0,a 1)解析 ；轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組，注意對(duì)于log x 的底數(shù)的 a 進(jìn)行討論 .a3log ax- 2 0原不等式等價(jià)于3log x-2<(2 logx-1 )2aa2log ax-1>0學(xué)習(xí)必備歡迎下載由得 log x2，由得 log x<3或 log x>1 ，由得 log x>1，2 logx<3或 log x>1，a3a 4aa23a4a23當(dāng) a>1 時(shí)，所求不等式的解集為34或 x>a

8、；x|a x< a32當(dāng) 0<a<1 時(shí)，所求不等式的解集為 x| a 4<x a3或 0<x<a .【點(diǎn)撥 】：本題是一道等價(jià)轉(zhuǎn)化與分類討論的典型題，解此類根式、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，要注意等價(jià)性、 不要忽略不等式兩邊函數(shù)的定義域，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)， 對(duì) a 進(jìn)行分類討論 .例 4 如圖， 已知一條線段 AB，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直二面角P- l -Q 的兩個(gè)平面內(nèi)移動(dòng),若 AB和平面 P、 Q所成的角分別為、 ，試討論 + 的范圍 .解析 ： (1) 當(dāng) AB l 時(shí)， +=90 .(2)AB 與 l 不垂直時(shí)，在平面P 內(nèi)作 AC l ，C 為垂足，連結(jié) BC

9、，平面 P平面 Q， AC平面 Q， ABC是 AB與平面 Q所成的角，即 ABC= ，在平面 Q內(nèi)作 BD l ，垂足為 D，連結(jié) AD，同理 BAD= ，BDBC sin BAC,在 Rt BDA和 Rt ACB中， BD BC， , 即 sinABAB 和 BAC均為銳角， BAC，而 BAC+ =90 ， + 90 .(3) 若 AB與 l 重合，則+ =0.綜上討論可知 0 +90 .【點(diǎn)撥 】：在幾何問題中， 研究各元素間的位置關(guān)系時(shí)，要注意每一個(gè)位置關(guān)系都不可遺漏，對(duì)于多種可能的情況，必須分開來(lái)進(jìn)行研究.例 5 四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列， 男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著，并且站在

10、這個(gè)男孩前面的女孩個(gè)數(shù)必少于站在他后面的男孩個(gè)數(shù)的站法共有多少種？解析 ：現(xiàn)在按男孩甲前面的男、女孩數(shù)來(lái)分類.24第一類，甲前面有 2 個(gè)女孩，其它男孩和另一女孩必須站在甲后面，有A3A4( 種)；1124第二類，甲前面有一個(gè)女孩和一個(gè)男孩，有：C3C3A2A4( 種 ) ；第三，甲前面僅有一個(gè)女孩，有：A13 A55 ( 種) ；24112415滿足條件的站法為：A3A4+C3 C3A2A4+A3A5=936( 種).【點(diǎn)撥 】：相當(dāng)一部分排列組合應(yīng)用問題需要分類求解，而排列組合應(yīng)用題中的分類，與其它章節(jié)問題中的分類不同，它不是就某個(gè)字母的取值范圍不同或圖形的形狀、位置不同等進(jìn)行的分類，而是

11、就處理問題的不同方法去分類.sinx|cosx|tanx|cotx|例 6 函數(shù) y=|sinx| cosx |tanx| cotx的值域是 ()A.-2,4B.-2 ， 0,4C.-2 ， 0，2， 4D.-4 ，-2 ， 0,4解析 ：須根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，因此必須對(duì)角x 所在的象限進(jìn)行討論 .k由題意可知 x (k Z),2學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)當(dāng) x 在第一象限時(shí)，y=1+1+1+1=4；(2)當(dāng) x 在第二象限時(shí)，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；(3) 當(dāng) x 在第三象限時(shí)， y=-1+(-1)+1+1=0 ；(4) 當(dāng) x 在第四象限時(shí)， y=-1+1+(-

12、1)+(-1)=-2.故值域?yàn)?-2,0,4,應(yīng)選 B.【點(diǎn)撥 】：由于三角函數(shù)在各象限內(nèi)符號(hào)不同，依此特點(diǎn)，從不同的象限入手分類討論是解此類題的常見方法 .例 7 已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2，0) 和圓 C：x2 +y2=1，動(dòng)點(diǎn) M到圓 C 的切線長(zhǎng)與 |MQ|的比等于常數(shù) ( 0). 求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.解析 ：如圖，設(shè)MN切圓于 N，則由動(dòng)點(diǎn) M組成的集合是：P=M|MN|= |MQ|， 0. ONMN， |ON|=1， |MN| 2=|MO| 2-1.設(shè)動(dòng)點(diǎn) M的坐標(biāo)為(x,y) ，則 x2+y2 1=2 (x-2)2+y2 ，整理，得 ( 2-1)(x2 +y

13、2)-4 2x+(4 2+1)=0.故 M的軌跡方程是 ( 2-1)(x 2+y2)-4 2x+(4 2+1)=0.(1)5軸于點(diǎn) (5當(dāng) =1 時(shí)，方程化為 x=，且交 x， 0) 的直線；44(2)當(dāng) 時(shí)，方程化為 (x 2 2) 2+y2=1+3 22，它是以點(diǎn) (2 2，0) 為圓心，1+3 22222-1| -1( -1) -1| 為半徑的圓 .【點(diǎn)撥 】：點(diǎn) M的軌跡方程由已知條件很容易得出，本題考查的重點(diǎn)是曲線的類型，因此，對(duì)于含有 x2+y 2 項(xiàng)系數(shù) 2-1是否等于零進(jìn)行了討論 .例8.設(shè) 0<x<1， a>0 且 a 1，比較 |loga (1 x)|與|

14、loga(1 x)|的大小。數(shù)【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a 分兩類情況進(jìn)行討論?！窘狻?0<x<1 0<1 x<1 ,1 x>1a 有關(guān)，所以對(duì)底 當(dāng)0<a<1 時(shí)， loga (1 x)>0 ， loga (1 x)<0 ，所以|loga (1 x)| |loga (1 x)| loga (1 x) loga (1 x) loga (1 x 2 )>0; 當(dāng)a>1 時(shí)， loga (1 x)<0，loga (1 x)>0 ，所以|loga(1 x)| |loga(1 x)|loga(

15、1 x) loga(1 x)loga(1x 2 )>0 ；由、可知，|loga (1 x)|>|loga (1 x)|?！军c(diǎn)撥 】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y loga x的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1 時(shí)其是增函數(shù)， 當(dāng) 0<a<1 時(shí)其是減函數(shù)。 去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。用到了函數(shù)的單學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 9. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12個(gè)元素， A B 含有 4 個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合 C 的個(gè)數(shù)： . CAB且 C中含有 3 個(gè)元素；. C A。【分析】 由已知并結(jié)合集合的概念，C 中的

16、元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A而屬于 B 的元素。并由含 A 中元素的個(gè)數(shù)1、 2、3, 而將取法分三種?！窘狻?C 121 · C82 C122 · C18 C123·C80 1084【點(diǎn)撥 】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類， 達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即C320 C38 1084。例10.設(shè) an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S n是 前n項(xiàng) 和 。 .證 明 ：lg Sn lg Sn2<lgS n 1 ； . 是否存在常數(shù)c>0

17、，使得lg(Snc)lg( Sn2c)22 lg（S n 1 c）成立？并證明結(jié)論。(95 年全國(guó)理 )【分析】要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q1 和 q1 兩種情況?！窘狻?設(shè) a n 的公比 q，則 a 1 >0， q>0當(dāng) q 1時(shí)， Sn na 1 ，從而 S n Sn 2 S n 12 na 1 (n 2)a 1 (n 1)2 a 12 a 12 <0；a1 (1 qn )當(dāng) q 1 時(shí)， S n 1，從而qSS S2a12 (1qn )(1 q n2 )a12 (1qn 1 )

18、22qn<0；n1 a1n n 2(1q)2(1q) 2由上可得 SnSn 2<S2，所以 lg(SnSn 2)<lg(S2 ) ，即 lg Snlg Sn 2<lgSn 1。n 1n 12. 要使lg( Snc)lg( Sn2 c)n 2 c) 2 lg （ S n 1 c）成立，則必有 (S n c)(S(S n 1 c) 2 ,分兩種情況討論如下：當(dāng) q 1 時(shí)， Sn na1 ，則學(xué)習(xí)必備歡迎下載(Sn c)(Sn2 c) (Sn1 c) 2 (na1 c)(n 2)a1 c (n 1)a1 c2 a2<01a1(1 qn ) c)(S n2 c) (S

19、n 1 c)2a1(1 q n )當(dāng) q 1 時(shí)， S n 1q，則 (S n 1 qca1 (1 q n 2 )c a1 (1 qn 1 )2 aq n a c(1 q) c111q1q aq n 0 a c(1 q) 0 即 ca1111q而 Sn c S na1a1qn對(duì)數(shù)式無(wú)意義1<01 qq由上綜述，不存在常數(shù)c>0,lg( Snc) lg(Sn2c)使得2 lg （S n 1 c）成立?！军c(diǎn)撥 】 本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問題為：證明log0 .5 Snlog 0.5Sn 2 >log 0 .5 S n1 ，和理科第一問類似，只是所利

20、用的是底數(shù)是0.5時(shí)，2對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例 11.設(shè)函數(shù) f(x) ax 2 2x 2，對(duì)于滿足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。【分析】含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。14x【解】當(dāng) a>0 時(shí)， f(x) a（ x12 21）aa11114a1 4 xa或11()0f 1a 2 2 0f ( ) 2aa或1 4af() 16a 82041 a 1 或21<a<1 或 即 a>；2學(xué)習(xí)必備歡迎下

21、載f (1) a22 0當(dāng) a<0 時(shí)，解得 ；f (4) 16a82 0當(dāng) a 0 時(shí)， f(x) 2x 2, f(1) 0， f(4) 6， 不合題意由上而得，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是a>1。2【點(diǎn)撥 】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù) a 分 a>0、 a<0、a 0 三種情況， 再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像， 在 a>0 時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種， 即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。例 12. 解不等式 (x 4a)( x 6a) >0 (a 為常數(shù)， a 1

22、)2a12【分析】含參數(shù)的不等式，參數(shù)a 決定了 2a1 的符號(hào)和兩根4a、 6a 的大小，故對(duì)1<a<0、 a<1參數(shù) a 分四種情況 a>0、 a 0、分別加以討論。221【解】 2a 1>0 時(shí)， a>； 4a<6a 時(shí)， a>0 。所以分以下四種情況討論：2當(dāng) a>0 時(shí)， (x 4a)(x 6a)>0 ，解得： x< 4a 或 x>6a；當(dāng) a 0 時(shí)， x 2 >0，解得： x 0；1當(dāng)<a<0 時(shí)， (x 4a)(x 6a)>0 ，解得 : x<6a或 x> 4a；21當(dāng)

23、a> 時(shí)， (x 4a)(x 6a)<0 ，解得： 6a<x< 4a 。21綜上所述，當(dāng)a>0 時(shí)， x<4a 或 x>6a；當(dāng) a 0 時(shí)， x 0；當(dāng)<a<0 時(shí)， x<6a 或 x>21 4a；當(dāng) a> 時(shí)， 6a<x< 4a 。2【點(diǎn)撥 】 本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a 分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。例13.設(shè) a0, 在復(fù)數(shù)集C 中，解方程：z 2 2|z| a?！痉治觥坑梢阎獄 2 2|z|a 和 |

24、z| R 可以得到z 2 R，即對(duì)z 分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求解。學(xué)習(xí)必備歡迎下載【解】 |z| R，由 z2 2|z| a 得： z 2 R； z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)當(dāng) z R 時(shí)， |z|2 2|z|a, 解得： |z|1 1a z ± ( 1 1a ) ；當(dāng) z 為純虛數(shù)時(shí)，設(shè) z± y (y>0)， y 2 2y a解得：y 1± 1a （ 0a 1）由上可得，z±( 1 a)或±(1±1a )1【點(diǎn)撥 】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè)zx y再代入原式得到一個(gè)方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對(duì)z 分兩類討論則簡(jiǎn)化了數(shù)