實(shí)變函數(shù)論考試試題及答案

1、實(shí)變函數(shù)論考試試題及答案證明題：60分1、證明 。證明：設(shè)，則，使一切，所以,則可知。設(shè)，則有,使，所以。 因此，=。2、若，對(duì)，存在開(kāi)集, 使得且滿足 ，證明是可測(cè)集。證明：對(duì)任何正整數(shù)， 由條件存在開(kāi)集，使得。令,則是可測(cè)集，又因，對(duì)一切正整數(shù)成立，因而=0，即是一零測(cè)度集，故可測(cè)。由知可測(cè)。證畢。3、設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幊闪ⅲ? 則有a.e.收斂于。證明 因?yàn)?，則存在，使在上a.e.收斂到。設(shè)是不收斂到的點(diǎn)集。，則。因此。在上，收斂到， 且是單調(diào)的。因此收斂到（單調(diào)序列的子列收斂，則序列本身收斂到同一極限）。即除去一個(gè)零集外，收斂于，就是 a.e. 收斂到。4、設(shè),是上有限的可測(cè)函數(shù)。證明

2、存在定義于上的一列連續(xù)函數(shù)，使得 于。證明： 因?yàn)樵谏峡蓽y(cè)，由魯津定理，對(duì)任何正整數(shù),存在的可測(cè)子集，使得，同時(shí)存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有=。 所以對(duì)任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 證畢5、設(shè)為a.e有限可測(cè)函數(shù)列，證明：的充要條件是。證明：若0，由于,則。又，,常函數(shù)1在上可積分，由勒貝格控制收斂定理得。反之，若（），而且，對(duì)，令,由于函數(shù),當(dāng)時(shí)是嚴(yán)格增加函數(shù)，因此。 所以，即6、設(shè)，a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列和，分別依測(cè)度收斂于和，證明 。證明：因?yàn)橛谑牵闪?，所以即填空題：10分2、設(shè)。求在內(nèi)的，。 解：， ， 。計(jì)算題：30分4、試構(gòu)造一個(gè)閉的疏朗的集合，。解：在中去掉一個(gè)長(zhǎng)度為的開(kāi)區(qū)間，接下來(lái)在剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別對(duì)稱挖掉長(zhǎng)度為的兩個(gè)開(kāi)區(qū)間，以此類推，一般進(jìn)行到第次時(shí)，一共去掉個(gè)各自長(zhǎng)度為的開(kāi)區(qū)間，剩下的個(gè)閉區(qū)間，如此重復(fù)下去，這樣就可以得到一個(gè)閉的疏朗集，去掉的部分的測(cè)度為。所以最后所得集合的測(cè)度為，即。8、試求 。解 令，則為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，從而非負(fù)可積。根據(jù)積分逐項(xiàng)積