第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布

1、第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布61試證明，在體積V內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 D() d =證明：由式子（6-2-13），在體積V=L3內(nèi)，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的動(dòng)量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為-（1）用動(dòng)量空間的球坐標(biāo)描述自由粒子的動(dòng)量，并對(duì)動(dòng)量方向積分，的得在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在P到P+dP范圍內(nèi)，三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為-（2）上式可以理解為將相空間（m空間）體積元4pVP2dP（體積V，動(dòng)量球殼4pP2dP）除以相格大小h3而得到的狀態(tài)數(shù)。自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為因此 ， 將上式代入（2）式，即得到在體積V內(nèi)，在

2、到+d的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 D() d =-（3）62試證明，對(duì)于一維自由粒子，在長(zhǎng)度L內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 D() d =證明：對(duì)于一維自由粒子，有 由于p的取值有正、負(fù)兩種可能，故動(dòng)量絕對(duì)值在 再由 所以 ， 證畢63試證明，對(duì)于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 D() d =證明：對(duì)于二維自由粒子，有 所以，在面積L2內(nèi)，在內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 換為極坐標(biāo)，則動(dòng)量大小在內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 對(duì)從0至2積分，并利用則可得在到+d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 D() d =，證畢64在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為e=CP，試求在體積V內(nèi)

3、，到+d的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 D() d =證明：在體積V=L3內(nèi)，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的動(dòng)量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為-（1）用動(dòng)量空間的球坐標(biāo)描述自由粒子的動(dòng)量，并對(duì)動(dòng)量方向積分，的得在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在P到P+dP范圍內(nèi)，三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為-（2）在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為e=CP，代入，可得在體積V內(nèi)，到+d的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 D() d =-（3）66同6.5題，如果粒子是玻色子或費(fèi)米子，結(jié)果如何?解：兩種粒子的分布必須滿足： ，其中E為系統(tǒng)總能量。又上面各式可得： （1） （2） （3）對(duì)于波色子：分布的微觀狀態(tài)數(shù)分別為： 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 在平衡狀態(tài)下兩種粒子的最概然分布是在限制條件（1）、（2）、（3）下使極大的分布，此時(shí)必有而 當(dāng) 時(shí) 則由 得 （4）用拉氏乘子、分別乘（1）（2）（3）式并從（4）式中減去，得根據(jù)拉氏乘子法原理，上式中每一個(gè)及的系數(shù)都必須為零，即 00 所以，平衡狀態(tài)下兩種玻色子的最概然分布分別為 al= ， al´=´ 對(duì)于費(fèi)米子 當(dāng)時(shí) 用與前面相同的方法，可得平衡狀態(tài)下的兩種費(fèi)米子的最概然分布分別為al= ， al´=´以