初中數(shù)學(xué)證明題常見輔助線作法規(guī)律

1、初中數(shù)學(xué)證明題常見輔助線作法記憶歌訣及幾何規(guī)律匯編人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。初中幾何常見輔助線作法歌訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三

2、角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不

3、要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。線、角、相交線、平行線規(guī)律1.如果平面上有n(n2)個點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每兩點(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出n(n1)條.規(guī)律2.平面上的n條直線最多可把平面分成n(n+1)+1個部分.規(guī)律3.如果一條直線上有n個點(diǎn)，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為n

4、(n1)條.規(guī)律4.線段（或延長線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長的一半.例：如圖，B在線段AC上，M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).求證：MN =AC證明：M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)AM = BM = AB ,BN = CN = BCMN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)MN =AC練習(xí)：1.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，M是線段BC的中點(diǎn).求證：AM = (AB + BC) 2.如圖，點(diǎn)B在線段AC上，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn).求證：MN = BC 3.如圖，點(diǎn)B在線段AC上，N是AC的中點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn).求證：MN = AB 規(guī)

5、律5.有公共端點(diǎn)的n條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個數(shù)一共有n(n1)個.規(guī)律6.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n（n1）個.規(guī)律7. 如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n（n1）對對頂角.規(guī)律8.平面上若有n（n3）個點(diǎn)，任意三個點(diǎn)不在同一直線上，過任意三點(diǎn)作三角形一共可作出n(n1)(n2）個.規(guī)律9.互為鄰補(bǔ)角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90o.規(guī)律10.平面上有n條直線相交，最多交點(diǎn)的個數(shù)為n(n1)個.規(guī)律11.互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個互為補(bǔ)角的角的差的一半.規(guī)律12.當(dāng)兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的

6、角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請同學(xué)們自己證明.規(guī)律13.已知ABDE,如圖,規(guī)律如下：規(guī)律14.成“8”字形的兩個三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個內(nèi)角和的一半.例：已知，BE、DE分別平分ABC和ADC，若A = 45o,C = 55o,求E的度數(shù).解：AABE =EADE CCDE =ECBE 得AABECCDE =EADEECBEBE平分ABC、DE平分ADC，ABE =CBE，CDE =ADE2E =ACE = (AC)A =45o,C =55o,E =50o 三角形部分規(guī)律15在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)造三角

7、形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.例：如圖，已知D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證：ABACBDDECE. 證法（一）：將DE向兩邊延長，分別交AB、AC于M、N 在AMN中， AM ANMDDENE 在BDM中，MBMDBD 在CEN中，CNNECE 得AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDECE證法（二）延長BD交AC于F，延長CE交BF于G,在ABF和GFC和GDE中有，ABAFBDDGGFGFFCGECEDGGEDE有ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDECE注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時，常

8、通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.練習(xí)：已知：如圖P為ABC內(nèi)任一點(diǎn)， 求證：(ABBCAC)PAPBPCABBCAC規(guī)律16三角形的一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內(nèi)角的一半.例：如圖，已知BD為ABC的角平分線，CD為ABC 的外角ACE的平分線，它與BD的延長線交于D.求證：A = 2D證明：BD、CD分別是ABC、ACE的平分線 ACE =21, ABC =22A = ACE ABCA = 2122又D =12A =2D規(guī)律17. 三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個內(nèi)角的一半.例：如圖，BD、

9、CD分別平分ABC、ACB， 求證：BDC = 90oA證明：BD、CD分別平分ABC、ACB A2122 = 180o 2(12)= 180oA BDC = 180o(12) (12) = 180oBDC 把式代入式得 2(180oBDC)= 180oA 即：360o2BDC =180oA 2BDC = 180oA BDC = 90oA規(guī)律18. 三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個內(nèi)角的一半.例：如圖，BD、CD分別平分EBC、FCB， 求證：BDC = 90oA證明：BD、CD分別平分EBC、FCBEBC = 21、FCB = 2221 =AACB 22 =AABC

10、得2（12）= AABCACBA2（12）= 180oA（12）= 90oABDC = 180o(12)BDC = 180o(90oA)BDC = 90oA規(guī)律19. 從三角形的一個頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差（的絕對值）的一半.例：已知，如圖，在ABC中，CB， ADBC于D， AE平分BAC.求證：EAD = (CB)證明：AE平分BACBAE =CAE =BACBAC =180o(BC)EAC = 180o(BC)ADBCDAC = 90o CEAD = EACDACEAD = 180o(BC)(90oC) = 90o(BC)90oC = (CB)如果把AD平

11、移可以得到如下兩圖，F(xiàn)DBC其它條件不變，結(jié)論為EFD = (CB).注意：同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.規(guī)律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：BDCBAC證法（一）：延長BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長交BC于FBDF是ABD的外

12、角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC規(guī)律21.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形. 例：已知，如圖，AD為ABC的中線且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF，則DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可證：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF規(guī)律22. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：延長ED到M，

13、使DM = DE，連結(jié)CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBECFEF（此題也可加倍FD，證法同上）規(guī)律23. 在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD證明：延長AD至E，使DE = AD，連結(jié)BEAD為ABC的中線BD = CD在ACD和EB

14、D中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD規(guī)律24.截長補(bǔ)短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：aba±b = ca±b = c±d例：已知，如圖，在ABC中，ABAC，1 = 2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：ABACPBPC證明：截長法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有

15、PBPCBNPBPCABAC補(bǔ)短法：延長AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC練習(xí)：1.已知，在ABC中，B = 60o,AD、CE是ABC的角平分線,并且它們交于點(diǎn)O求證：AC = AECD2.已知，如圖，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求證：BC = ABCD 規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.如果沒有相等的線段代換

16、，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F，B = C，1 = 2，求證：DF = EF 證明：ADF =B3 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF和AEF中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEFDF = EF規(guī)律26.在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例：已知，如圖RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，過A作任一條直線AN，作BDAN于D，CEAN于E，求證：DE = BDCE證明：BAC = 90o, BDAN12 = 90o 13 = 90o2 = 3BDAN CE

17、ANBDA =AEC = 90o在ABD和CAE中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE且AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE規(guī)律27.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為ABC的中線，且CFAD于F，BEAD的延長線于E求證：BE = CF 證明：（略）規(guī)律28.條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求證：AD = BC證明：分別延長DA、CB交于點(diǎn)EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED =

18、EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC規(guī)律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，ABCD，ADBC 求證：AB = CD 證明：連結(jié)AC（或BD）ABCD，ADBC1 = 2 在ABC和CDA中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDAAB = CD練習(xí)：已知，如圖，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求證：BE = DF規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延長線于E求證：BD

19、 = 2CE證明：分別延長BA、CE交于FBECFBEF =BEC = 90o在BEF和BEC中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE =CFBAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o 1BDA = 90o1BFC = 90oBDA = BFC在ABD和ACF中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE練習(xí)：已知，如圖，ACB = 3B，1 =2,CDAD于D，求證：ABAC = 2CD規(guī)律31.當(dāng)證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相

20、交于O，且AB = DC，AC = BD，求證：A = D證明：（連結(jié)BC，過程略）規(guī)律32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC，A = D 求證：ABC = DCB 證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M，連結(jié)NB、NM、NC（過程略）規(guī)律33.有角平分線時，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，1 = 2 ，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求證：BAPBCP = 180o證明：過P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP =

21、BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于M，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線2. 已知，如圖，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，若CBD = 20o，求CED的度數(shù)。規(guī)

22、律34.有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB = AC，BDAC于D，求證：BAC = 2DBC證明：（方法一）作BAC的平分線AE，交BC于E，則1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）過A作AEBC于E（過程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過程略）有底邊中點(diǎn)時，常作底邊中線例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點(diǎn)，BD = CD又AB =ACAD平分

23、BACDEAB，DFACDE = DF將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE = AF，求證：EFBC證明：延長BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：

24、已知，如圖，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過D作DNAE，交BC于N，則DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（證法二）過E作EMAB交BC延長線于M,則EMB =B（過程略）常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD = AE，連結(jié)DE求證：DEBC證明：（證法

25、一）過點(diǎn)E作EFBC交AB于F，則AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90o 即FED = 90o DEFE又EFBCDEBC（證法二）過點(diǎn)D作DNBC交CA的延長線于N，（過程略）（證法三）過點(diǎn)A作AMBC交DE于M，（過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE則BAE =ABE = 6

26、0oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABC

27、PBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oA

28、BP) = (180o40o)= 70o規(guī)律35.有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C，求證：ABBD = AC證明：延長AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE則BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C 在AED和ACD中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即ABBD = AC平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作BAC的平分線AE交BC于E，則BA

29、E = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作FBD =DBC,BF交AC于F（過程略）規(guī)律36.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來.例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF =FC證明：連結(jié)AF，則AF = BFB =FABAB = ACB

30、 =CBAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC =BACFAB = 120o30o =90o又C = 30oAF = FCBF =FC練習(xí)：已知，如圖，在ABC中，CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DMAB于M，DNAC延長線于N求證：BM = CN規(guī)律37. 有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，B =2C，ADBC于D求證：CD = ABBD證明：（一）在CD上截取DE = DB，連結(jié)AE，則AB = AEB =AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EACAE = CE又CD = D

31、ECECD = BDAB（二）延長CB到F，使DF = DC，連結(jié)AF則AF =AC（過程略）規(guī)律38.有中點(diǎn)時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD求證：ABC為直角三角形證明：過D作DEBC，交AC于E，連結(jié)BE，則BE = CE，C =EBCABC = 2CABE =EBCBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE和DBE中AB = BDABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即ABC為直角三角形規(guī)律39.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理

32、證題.例：已知，如圖，在ABC中，A = 90o，DE為BC的垂直平分線求證：BE2AE2 = AC2證明：連結(jié)CE，則BE = CEA = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2= BE2BE2AE2 = AC2練習(xí)：已知，如圖，在ABC中，BAC = 90o，AB = AC，P為BC上一點(diǎn)求證：PB2PC2= 2PA2規(guī)律40.條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在ABC中，B = 45o，C = 30o，AB =，求AC的長. 解：過A作ADBC于DBBAD = 90o，B = 45o，B = BAD = 45o，AD = BDAB2 = AD2BD2

33、，AB =AD = 1C = 30o，ADBCAC = 2AD = 2四邊形部分規(guī)律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例：已知,ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AOB的周長比BOC的周長多8cm，求這個四邊形各邊長.解：四邊形ABCD為平行四邊形AB = CD，AD = CB，AO = COABCDDACB = 60AOABOB(OBBCOC) = 8ABBC = 30，ABBC =8AB = CD = 19，BC = AD = 11答：這個四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19cm、11cm.規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個

34、三角形周長之差等于鄰邊之差.（例題如上）規(guī)律43.有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形例：已知，如圖，RtABC，ACB = 90o，CDAB于D，AE平分CAB交CD于F，過F作FHAB交BC于H求證：CE = BH證明：過F作FPBC交AB于P，則四邊形FPBH為平行四邊形B =FPA，BH = FPACB = 90o，CDAB5CAB = 45o，BCAB = 90o5 =B5 =FPA又1 =2，AF = AFCAFPAFCF = FP4 =15，3 =2B3 =4CF = CECE = BH練習(xí)：已知，如圖，ABEFGH，BE = GC求證：AB = EFGH規(guī)律44.有以平行四邊形一

35、邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時常延長此線段. 例：已知，如圖，在ABCD中，AB = 2BC，M為AB中點(diǎn)求證：CMDM證明：延長DM、CB交于N四邊形ABCD為平行四邊形AD = BC，ADBCA = NBA ADN =N又AM = BMAMDBMNAD = BNBN = BCAB = 2BC，AM = BMBM = BC = BN1 =2，3 =N123N = 180o，13 = 90oCMDM規(guī)律45.平行四邊形對角線的交點(diǎn)到一組對邊距離相等.如圖：OE = OF規(guī)律46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對邊的兩個端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半.如圖：SBE

36、C = SABCD規(guī)律47.平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半.如圖：SAOB SDOC = SBOCSAOD = SABCD規(guī)律48.任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等.如圖：AO2OC2 = BO2 DO2規(guī)律49.平行四邊形四個內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形.如圖：四邊形GHMN是矩形（規(guī)律45規(guī)律49請同學(xué)們自己證明）規(guī)律50.有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例：已知，如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且BE = ED，P為對角線BD上一點(diǎn)，PFBE于F，PGAD于G求證

37、：PFPG = AB證明：證法一：過P作PHAB于H，則四邊形AHPG為矩形AH = GP PHADADB =HPBBE = DEEBD = ADBHPB =EBD又PFB =BHP = 90oPFBBHPHB = FPAHHB = PGPF即AB = PGPF證法二：延長GP交BC于N，則四邊形ABNG為矩形，（證明略）規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高例：已知，如圖,若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對角線BD的垂線與BAD的平分線交于點(diǎn)E求證：AC = CE證明：過A作AFBD，垂足為F，則AFEGFAE = AEG四邊形ABCD為矩形BAD = 90o OA = ODBDA =C

38、ADAFBDABDADB = ABDBAF = 90oBAF =ADB =CADAE為BAD的平分線BAE =DAEBAEBAF =DAEDAC即FAE =CAECAE =AEGAC = EC作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時常作斜邊中線：有斜邊中點(diǎn)時例：已知，如圖，AD、BE是ABC的高， F是DE的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)求證：GFDE證明：連結(jié)GE、GDAD、BE是ABC的高，G是AB的中點(diǎn)GE = AB，GD = ABGE = GDF是DE的中點(diǎn)GFDE有和斜邊倍分關(guān)系的線段時例：已知，如圖，在ABC中，D是BC延長線上一點(diǎn)，且DABA于A，AC = BD求證：ACB = 2B證明：取BD中點(diǎn)E，

39、連結(jié)AE，則AE = BE = BD1 =BAC = BDAC = AEACB =2 2 =1B2 = 2BACB = 2B規(guī)律52.正方形一條對角線上一點(diǎn)到另一條對角線上的兩端距離相等.例：已知，如圖，過正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)P，作PEBC于E，作PFCD于F 求證：AP = EF 證明:連結(jié)AC 、PC四邊形ABCD為正方形BD垂直平分AC，BCD = 90oAP = CPPEBC，PFCD，BCD = 90o四邊形PECF為矩形PC = EFAP = EF規(guī)律53.有正方形一邊中點(diǎn)時常取另一邊中點(diǎn).例：已知,如圖，正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，MNMD，BN平分CBE并交MN

40、于N求證：MD = MN證明：取AD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，則DP = PA =AD四邊形ABCD為正方形AD = AB, A =ABC = 90o1AMD = 90o，又DMMN2AMD = 90o1 =2M為AB中點(diǎn)AM = MB = ABDP = MB AP = AMAPM =AMP = 45oDPM =135oBN平分CBECBN = 45oMBN =MBCCBN = 90o45o= 135o即DPM =MBNDPMMBNDM = MN注意：把M改為AB上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。練習(xí)：已知，Q為正方形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，P為CQ上一點(diǎn)，且AP = PCBC求證：BAP =

41、2QAD規(guī)律54.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法. 旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件. 旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，BAC = 90o，D為BC邊上任一點(diǎn)求證：2AD2 = BD2CD2證明：把ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得ACEBD = CE B = ACEBAC = 90oDAE = 90oDE2 = AD2AE2 = 2AD2BACB = 90oDCE = 90oCD2CE2 = DE

42、22AD2 = BD2CD2 注意：把ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90o 也可，方法同上。練習(xí)：已知，如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分CBE交CD于F求證：BE = CF AE規(guī)律55.有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形.例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)求證：AP = AB 證明：延長CF交BA的延長線于K四邊形ABCD為正方形BC = AB = CD = DA BCD =D =BAD = 90o E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)CE = CD DF = AF = ADCE = DFBCECDFCBE =DC

43、F BCFDCF = 90o BCFCBE = 90oBECF又D =DAK = 90o DF = AF 1 =2CDFKAFCD = KABA = KA又BECFAP = AB練習(xí)：如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CDCP求證：AQ平分DAP規(guī)律56.從梯形的一個頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD = 3，AB = 4，BC = 7求B的度數(shù)解：過A作AECD交BC于E，則四邊形AECD為平行四邊形AD = EC， CD = AEAB = CD = 4, AD = 3,

44、BC = 7 BE = AE = AB = 4ABE為等邊三角形B = 60o 規(guī)律57.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個三角形.例：已知，如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB = AC，BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O求證：CO = CD證明：過A、D分別作AEBC，DFBC，垂足分別為E、F則四邊形AEFD為矩形AE = DFAB = AC，AEBC，BAC = 90o，AE = BE = CE =BC，ACB = 45o BC = BDAE = DF = BD又DFBCDBC = 30oBD = BCBDC =BCD = (180o

45、DBC)= 75oDOC =DBCACB = 30o45o = 75oBDC =DOCCO = CD規(guī)律58.從梯形的一個頂點(diǎn)作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC = 10，DEBC于E求DE的長.解：過D作DFAC，交BC的延長線于F，則四邊形ACFD為平行四邊形AC = DF， AD = CF四邊形ABCD為等腰梯形AC = DBBD = FDDEBC BE = EF =BF=(BCCF) =(BCAD)=×10 = 5ACDF，BDACBDDFBE = FEDE = BE = EF = BF =

46、5答：DE的長為5.規(guī)律59.延長梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.例：已知，如圖，在四邊形ABCD中，有AB = DC，B =C，ADBC求證：四邊形ABCD等腰梯形證明：延長BA、CD，它們交于點(diǎn)EB =CEB = EC又AB = DCAE =DE EAD =EDAEEADEDA = 180o BCE = 180o EAD =BADBCADBC，B =C四邊形ABCD等腰梯形（此題還可以過一頂點(diǎn)作AB或CD的平行線；也可以過A、D作BC的垂線）規(guī)律60.有梯形一腰中點(diǎn)時，常過此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形.例：已知,如圖，梯形ABCD中，ADBC，E為CD中點(diǎn)，EFAB于F求證：S梯形ABCD = EF·AB證明：過E作MNAB，交AD的延長線于M，交BC于N，則四邊形ABNM為平行四邊形EFABSABNM = AB·EFADBCM =MNC 又