2020版第8章第7節(jié)拋物線

1、第七節(jié)拋物線考綱傳真1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) （范 圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率）2理解數(shù)形結(jié)合思想 3了解拋物線的實(shí)際背景及拋 物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1. 拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線1（1不經(jīng)過(guò)點(diǎn)f）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫 做拋物線.點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線i叫做拋物線的準(zhǔn)線.2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2 = 2px(p>0)y2= 2px(p>0)x2= 2py(p>0)x2= 2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)f到準(zhǔn)線i的距離圖 形頂占 八、坐標(biāo)0(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸隹 八、 占 八、 坐標(biāo)f p, 0f

2、-p, 0f 0,號(hào)f 0, p離心率e= 1準(zhǔn)線方程x= px= pypy-p范圍x>0, y rx< 0, y ry>0, x ry<0, x r開(kāi)口 方 向向右向左向上向下常用結(jié)論與拋物線有關(guān)的結(jié)論拋物線y2 = 2px(p>0)上一點(diǎn)p(xo, yo)到焦點(diǎn)卩號(hào)，0的距離|pf匸xo+p 也稱(chēng)為拋物線的焦半徑.aa(2) y2= ax(a 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為4，0 ,準(zhǔn)線方程為x= 4.(3) 設(shè)ab是過(guò)拋物線/ = 2px(p>0)焦點(diǎn)f的弦，p22若 a(xi, yi), b(x2, y2)，貝u xix2 = , yiy2= p . 弦長(zhǎng)ab|

3、= xi + x2+ p = sina為弦ab的傾斜角). 以弦ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. 通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.基礎(chǔ)自測(cè)1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“v”，錯(cuò)誤的打“x” )(1) 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線i的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.()(2) 方程y= ax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是a，°,準(zhǔn)線方程是xa()(3) 拋物線既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.()(4) 若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切.()答案(1)x (2)x (3)x x2 .拋物線y=

4、jx2的準(zhǔn)線方程是()a. y= 1b. y= 2c. x= 1d . x= 21ay=4x2, x2= 4y, 準(zhǔn)線方程為 y= 1.3. (教材改編)若拋物線y=4x2上的一點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)m的縱 坐標(biāo)是()17o 15j小門(mén)a.屁b帀c.8d . 0一 1b m到準(zhǔn)線的距離等于 m到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y=花,設(shè)m(x,115y),則 y+屁=1, y=存4. (教材改編)過(guò)拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于p(x1, y1), q(x2, y2)兩點(diǎn)，如果x1 + x2= 6,則|pq|等于()a. 9b. 8c . 7 d . 6b 拋物線=4x的焦點(diǎn)為f(1

5、,0)，準(zhǔn)線方程為x= 1.根據(jù)題意可得，|pq|=|pf|+ |qf| = x1 + 1 + x2+ 1 = x1 + x2 + 2 = 8.5 .(教材改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(2, 4),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .y2 = 8x 或 x2= y 設(shè)拋物線方程為 y2 = 2px(pm0)或 x2 = 2py(p0).將p( 2, 4)代入，分別得方程為y2= 8x或x2= y.拋物線的定義與應(yīng)用【例1】 設(shè)p是拋物線y2= 4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若b(3,2),則|pb|+ |pf|的最 小值為.4 如圖，過(guò)點(diǎn)b作bq垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)q，交拋物線于點(diǎn)pi,則|p

6、iq|=|pif|.則有 |pb|+ |pf|> |pib|+ |piq|=|bq|= 4,即 |pb| + |pf|的最小值為 4.拓展探究i (i)若將本例中的b點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4),試求|pb|+ |pf|的最小值.(2)若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為 y2 = 4x,直線l的方程為x y+ 5 = 0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為di,到直線i的距離為d2,求 di+ d2的最小值.解由題意可知點(diǎn)b(3,4)在拋物線的外部.|pb|+ |pf|的最小值即為b, f兩點(diǎn)間的距離，f(1,0),|pb|+ |pf|> |bf|= '42+ 22= 2 5,

7、即|pb|+ |pf|的最小值為2 5.(2)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0).點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離di = |pf| 1,所以 di + d2= d2 + |pf| 1.易知d2 + |pf|的最小值為點(diǎn)f到直線i的距離，|1+ 5|廠故d2 + |pf|的最小值為 =3 2,寸12+ 1 2所以d1 + d2的最小值為3 2 1.規(guī)律方法與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有 關(guān)“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān) 問(wèn)題的重要途徑.已知p是拋物線y2= 4x上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，q是圓(x 3)2 + (y 1)2= 1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，n(1,0)是一個(gè)

8、定點(diǎn)，貝pq| + |pn|的最小值為( )a. 3b . 4c. 5d. 2+ 1(2)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線x二一1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為(1)a (2)y2= 4x 由拋物線方程 / = 4x,可得拋物線的焦點(diǎn) f(1,0),又n(1,0)，所以n與f重合.過(guò)圓(x 3)2+ (y 1)2= 1的圓心m作拋物線準(zhǔn)線的垂線mh，交圓于q,交拋物線于p,則|pq|+ |pn|的最小值等于|mh| 1 = 3.(2)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x, y),則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x= 1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為/= 4x.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

9、【例2】點(diǎn)m(5,3)到拋物線y= ax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()丄36yc x2=-36yd . x2= 12y 或 x2= 36y(2) (2016全國(guó)卷i )以拋物線c的頂點(diǎn)為圓心的圓交 c于a, b兩點(diǎn)，交c 的準(zhǔn)線于d, e兩點(diǎn).已知|ab| = 4.2, |de|= 2 5,則c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a. 2b. 4c. 6 d. 8(3) 如圖所示，過(guò)拋物線 / = 2px(p>0)的焦點(diǎn)f的直線交拋物線于點(diǎn) a, b,交其準(zhǔn)線i于點(diǎn)c,若|bc|= 2|bf|, 且 |af匸3,則此拋物線的方程為()b . y2= 9xa. y2 = fx2 2 1

10、 1(1) d b (3)d 將y= ax2化為 宀y當(dāng) a>0時(shí)，準(zhǔn)線y= 石，則311 111 +鬲=6,二a= 12當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y=亦，則3+石=6,：a= 麗拋物線方程為x2= 12y或x2= 36y.(2) 設(shè)拋物線的方程為y2= 2px(p>0)，圓的方程為x2+ y2 = r2.- ab匸 4,2, |deu 2 5，拋物線的準(zhǔn)線方程為x= p，不妨設(shè) a 4，2 2，d p，5 .p厶點(diǎn) a 4，2 2，d 2， .5 在圓 x2 + y2= r2上,16 2p6 + * r，p!4+ 5=r2 p+ 8= 4 + 5, p = 4(負(fù)值舍去).又 aa1

11、匸 af匸 3,所以 ac|= 2|aa1|= 6,所以|cf| = ac| af匸6-3 = 3,所以f為線段ac的中點(diǎn).13故點(diǎn)f到準(zhǔn)線的距離為p=尹人1匸3,故拋物線的方程為y2 = 3x.規(guī)律方法1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1) 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條件確定p值即可.(2) 因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再2.確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧(1) 利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方 程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.(2) 要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解直線與拋物線的位置關(guān)系?考法1直線與拋

12、物線的交點(diǎn)問(wèn)題x2【例3】(2017全國(guó)卷i )設(shè)a, b為曲線c: y=4上兩點(diǎn)，a與b的橫坐 標(biāo)之和為4.(1)求直線ab的斜率；設(shè)m為曲線c上一點(diǎn)，c在m處的切線與直線 ab平行，且am丄bm , 求直線ab的方程.解(1)設(shè) a(xi, yi), b(x2, y2),則xi工x2,yi=x2,x2y2= 4,xi + x2 = 4,yi y2 xi + x2于是直線ab的斜率k= = i.xi x24x2x(2)由 y= 4，得 y'二 2.x3 設(shè)m(x3, y3)，由題設(shè)知=i,解得x3 = 2,于是m(2,i).設(shè)直線ab的方程為y= x+ m,故線段ab的中點(diǎn)為n(2,

13、2+ m), |mn匸|m+ i|.x22將 y= x+ m 代入 y= 得 x2 4x 4m= 0.當(dāng)= i6(m+ i)>0, 即卩 m> i 時(shí)，xi,2= 2 ± '' m+ i.從而 ab|= . 2|xi x2|= 4 2 m+ i .由題設(shè)知 ab匸2|mn|,即 4 ：2m+ i = 2(m+ i),解得 m= 7.所以直線ab的方程為y=x+ 7.?考法2與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題【例4】已知拋物線c: x2= 2py(p>0),過(guò)焦點(diǎn)f的直線交c于a, b兩點(diǎn)，d是拋物線的準(zhǔn)線i與y軸的交點(diǎn).(1) 若 ab/i，且 abd的面

14、積為1,求拋物線的方程；(2) 設(shè)m為ab的中點(diǎn)，過(guò)m作i的垂線，垂足為n.證明：直線an與拋物 線相切.解：ab/i, |fd|= p, ab匸2p.saabd= p2, i p= 1,故拋物線c的方程為x2 = 2y.(2)設(shè)直線ab的方程為y= kx+ p,y = kx+ 2,由2x = 2py其中ax1, 2p2x2,b x2, 2p 二 m kp,p- 2+n kp, p .得x2 2kpx p2 = 0, xi + x2 = 2kp, xix2= p2.xi kpx2 xlx22pxixi x2 px1px1 + p+p 十 2_ 2pxi + x2xi x2xi xxi又x22p

15、y, y' = -. 拋物線x2= 2py在點(diǎn)a處的切線斜率k=-p.pp直線an與拋物線相切.規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的常用方法i直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般 要用到根與系數(shù)的關(guān)系2有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò) 拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式 ab|=xi|+ |x2| + p,若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般 弦長(zhǎng)公式3涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān) 系采用“設(shè)而不求” “整體代入”等解法已知拋物線 c: y2= 2px(p>0)的 焦點(diǎn)為f,拋物線c與直線li： y= x的

16、一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1) 求拋物線c的方程；(2) 不過(guò)原點(diǎn)的直線12與li垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn) a，b,若線段 ab的中點(diǎn)為p,且op|=|pb|，求 fab的面積.解易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8, 8),' ( 8)2 = 2px 8,二 2p = 8,拋物線方程為y2= 8x.(2)直線12與li垂直，故可設(shè)直線12： x= y+ m, a(xi, yi), b(x2, y2),且直線12與x軸的交點(diǎn)為m.y2=8x,/ 2由得 y 8y 8m= 0, = 64+ 32m>0,二 m> 2.x= y+ m,yi + y2= 8, yiy2= 8m,y

17、2y2-xix2= 64 =m2.由題意可知 oa丄ob, 即卩 xix2 + yiy2= m2 8m= 0,m= 8 或 m= 0(舍),二直線 12： x= y+ 8, m(8,0).故 s fab =s fmb + sfma =12 |fm | - y2|3 ' yi + y2 y= 3 x+2 ,2x= 1 ,x=4,得x 5x+ 4= 0,解得x= 1或x = 4,所以或 y2= 4x,y =2y=4,不妨設(shè) m(1,2), n(4,4)，易知 f(1,0),所以 fm = (0,2), fn = (3,4)，所以fm fn =8.故選d. 4yiy2 = 24 5.2 21

18、. (2018全國(guó)卷i )設(shè)拋物線c: y2 = 4x的焦點(diǎn)為f，過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為-的直線與c交于m， n兩點(diǎn)，則fm fn =()a. 5b . 6c. 7d . 82 22 y= 3 x+ 2，y2 = 4x,d 法一：過(guò)點(diǎn)(一2,0)且斜率為3的直線的方程為y = 3(x + 2),由 所以 fm fn = (xi 1)(x2 1) + yiy2 = xix2 (xi + xz)+ 1 + 4 xix2= 4 5+ 1 + 8= 8.故選d.k2. (2016全國(guó)卷u)設(shè)f為拋物線c: y2 = 4x的焦點(diǎn)，曲線y=(k>0)與c入交于點(diǎn)p,pf丄x軸,則 k=()13aqb

19、.1%d. 2d -y2=4x, /f(1,0).k又曲線 y=x(k>0)與 c 交于點(diǎn) p, pf丄x 軸， p(1,2).k將點(diǎn)p(1,2)的坐標(biāo)代入y=x(k>0)得k= 2.故選d.入3. (2018全國(guó)卷川)已知點(diǎn)m( 1,1)和拋物線c: y2= 4x,過(guò)c的焦點(diǎn)且斜 率為k的直線與c交于a, b兩點(diǎn).若/ amb= 90°則k=.2 法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，則過(guò)c的焦點(diǎn)且斜率為k的直線y= k x 1 ,方程為 y= k(x 1)(km 0),由 2消去 y 得 k2(x1)2= 4x,即 fx2 (2k2y = 4x2k2+ 4y= kx

20、 1 ,+ 4)x+ k2 = 0.設(shè) a(x1, y1), b(x2, y2),貝u x1 + x2=2 , x1x2= 1.由k2 ay = 4x212 44消去 x 得 y2=4 y+1，即 y2 ky4=0,貝u y1 + y2=© yy2= 4.由/amb= 90° 得ma mb = (x1 + 1, y1 1)(x2+ 1, y2 1) = x1x2 + x1 + x2 + 1 + y1y2 (y1 + y2)2k2 + 44+ 1 = 0, 將 x1 + x2 =, x1x2= 1 與 y1 + y2= q y1y2= 4 代入，得 k= 2.y2 = 4x1 法二：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f, a(x1, y1), b(x2, y2),貝u2y2= 4x2,yi y24所以 yi -y2= 4(xi x2),則 k=.取 ab 的中點(diǎn) m ' (xo, yo),分xi x2 yi + y2別過(guò)點(diǎn)a, b作準(zhǔn)線x= 1的垂線，垂足