圖形中的趣題

1、圖形中的趣題活動方案一、活動目的人們普遍把數(shù)學(xué)教學(xué)視為“思維的體操”，這自然是有道理的。但在實際上又常常僅側(cè)重于邏輯思維，這就偏狹了。針對我國數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)，特別強調(diào)在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、創(chuàng)造思維上進行教學(xué)設(shè)計是適當(dāng)?shù)?。根?jù)現(xiàn)實的需要，我們必須適當(dāng)拓展中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題的觀念，構(gòu)建基礎(chǔ)性訓(xùn)練與探索性訓(xùn)練相結(jié)合的習(xí)題體系，通過設(shè)計數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性、創(chuàng)造性思維，有效改進學(xué)生的學(xué)習(xí)。下面是一個探索性課題。二、活動內(nèi)容一個三角形兩邊中點的連線叫做這個三角形的中位線。我們可以看到圖1中三角形的三條中位線把這個三角形分成了4個小的三角形，而且這些小的三角形都是全等的。圖1 圖2 圖3把三條邊

2、都分成三等分，再按圖2將分點連起來，可以看到整個三角形被分成了9個小的三角形，而且這些小的三角形也都是全等的。我們還可以把三條邊都分成四等分如圖3，再似圖1、圖2那樣將分點連起來，可以看到整個三角形被分成了一個個更小的全等三角形?，F(xiàn)在請你和你的同學(xué)起參與如下的探索活動：（一）、收集數(shù)據(jù):1 數(shù)一數(shù)圖1、圖2中的點、線段和全等三角形的個數(shù)，用一張表記錄下來；2 再把三條邊都分成四等分，似圖1、圖2、圖3那樣將分點連起來，數(shù)一數(shù)這時的點、線段和全等三角形的個數(shù)，也記錄在相應(yīng)的表格中；三角形的邊的等分數(shù)k點的個數(shù)線段的個數(shù)全等三角形的個數(shù)234（二）、數(shù)據(jù)分析3 仔細分析所得到的一些數(shù)據(jù)，相互交流討

3、論，想一想其中有什么關(guān)系；三角形的邊的等分數(shù)k點的個數(shù) 線段的個數(shù)全等三角形的個數(shù)26943101894153016猜想1：全等三角形的個數(shù)等于等分數(shù)的平方。即， 。猜想2：線段的條數(shù)都是3的倍數(shù)。猜想3：點的個數(shù)，猜想4：線段的條數(shù)和點的個數(shù)的關(guān)系：，猜想5：線段的條數(shù)，猜想6：，猜想7：繼續(xù)把三條邊都分成五、六等分、似圖1、圖2那樣將分點連起來，數(shù)一數(shù)這時的點、線段和全等三角形的個數(shù)，看看與你的猜想是否符合；三角形的邊的等分數(shù)k點的個數(shù)線段的個數(shù)全等三角形的個數(shù)2694310189415301652145256286336n通過對當(dāng)k2,3,4,5,6時，的值的觀察，探究它們之間的關(guān)系，下

4、面我們研究的求和：不妨設(shè)，那么對這一組數(shù)進行倒序即。把兩個數(shù)組對齊上下逐逐項累加，得所以，（三）、結(jié)構(gòu)分析以上我們對它們從代數(shù)方面進行考慮，通過找數(shù)據(jù)的規(guī)律得出了點、線段、小三角形個數(shù)與邊的等分數(shù)k之間的關(guān)系。那么由它們的幾何結(jié)構(gòu)我們能否得到相應(yīng)的結(jié)論呢？1. 如果我們僅看圖形中的點不難發(fā)現(xiàn)每一層都比上一層多一點，那么等分成k份就有了k+1層的點，這就解釋了為什么所以 2. 如果我們把圖形中的線段也用分層的方法來看，每三條線段看成是一個三角形的三條邊，不難發(fā)現(xiàn)每一層都比上一層多一個三角形。那么等分成k份就有了k層三角形，所以即3. 對于圖中三角形的個數(shù)就比較容易一些，把兩個相同的圖形拼成一個平

5、行四邊形，按照三角形的等分方法可以看出平行四邊形被等分成個小平行四邊形，每一個小平行四邊形由兩個小全等三角形構(gòu)成。所以一共有個小全等三角形。即，。（四）、歸納總結(jié)問題解決思路：一、是通過觀察圖形搜集數(shù)據(jù)；二、是運用數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)事實并進行猜想；三、是通過數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)分析進行嚴(yán)格證明；四、是基于直覺和圖形的幾何結(jié)構(gòu)創(chuàng)造性地理解事實。通過數(shù)形的結(jié)合，最后給出問題的解答。活動總結(jié)和反思要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，這是個較好的例子，可供學(xué)生在自我監(jiān)控的思路下，找到不同的解題思路，提出不同的猜想，從不同方面去解決問題。于是，可以對它隱含的知識和能力標(biāo)準(zhǔn)作出如下分析：(1)幾何和測量概念(觀察平面圖形，想象小三角形遞增序列的幾何模型)；(2)函數(shù)和代數(shù)概念(用公式對給出的情境構(gòu)建模型，運用和處理變量表達式，運用函數(shù)作