中學數(shù)學解題障礙

1、中學生數(shù)學思維障礙的成因及對策上海市新陸職校 丁忠維【內(nèi)容提要】本文依據(jù)新課程與新教材的教學理念與教學目標，提出中學生數(shù)學思維障礙形成的原因，其中表現(xiàn)較為突出有數(shù)學思維的膚淺性、數(shù)學思維的差異性、數(shù)學思維定勢的消極性三個方面。結(jié)合中學生學習數(shù)學的實際，從培養(yǎng)學生學習數(shù)學興趣、指導(dǎo)學生提高數(shù)學意識、消除思維定勢的消極作用等三個方面進行了探索和研究，從而為解除中學生數(shù)學思維障礙的對策拓寬了渠道，為中學數(shù)學教學積累了經(jīng)驗?！娟P(guān)鍵詞】 數(shù)學思維障礙 成因 對策 一、問題的提出在學習數(shù)學過程中，我們經(jīng)常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手；有時，在課堂上老

2、師把某一問題分析完時，常常看到學生拍腦袋：“唉，我怎么會想不到呢？”事實上，有不少問題的解答，同學發(fā)生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學生的數(shù)學思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來自于我們教學中的疏漏，而更多的則來自于學生自身，來自于學生中存在的非科學的知識結(jié)構(gòu)和思維模式。因此，研究中學生的數(shù)學思維障礙對于增強中學生數(shù)學教學的針對性和時效性有著十分重要的意義。二、數(shù)學思維及思維障礙的形成原因1、思維與數(shù)學思維。思維是人腦對客觀現(xiàn)實的概括和間接地反映，反映的是事物的本質(zhì)及內(nèi)部的規(guī)律性。中學生數(shù)學思維，是指中學

3、生在對數(shù)學知識感性認識的基礎(chǔ)上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握數(shù)學學習內(nèi)容而且能對具體的數(shù)學問題進行推論與判斷，從而獲得對數(shù)學知識本質(zhì)和規(guī)律的認識能力。中學生數(shù)學思維的形成是建立在對數(shù)學基本概念、定理、公式理解的基礎(chǔ)上的；發(fā)展中學生數(shù)學思維最有效的方法是通過解決問題來實現(xiàn)的。2、中學生數(shù)學思維障礙形成原因。學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體的學習總是要通過已知的內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)，對“從外到內(nèi)”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學生能從原有的知識結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭

4、腦中發(fā)生積極地相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學過程中，教師不顧學生的實際情況（即基礎(chǔ)）或不能覺察到學生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從。另一方面，當新的知識與學生原有的知識結(jié)構(gòu)不相符時或者新舊知識中缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經(jīng)“校正”后吸收。因此，如果教師的教學脫離學生的實際，學生學習數(shù)學過程中，其新舊教學知識不能順利“交接”，那么這就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就

5、會產(chǎn)生思維障礙，影響學生解題能力的提高。三、教學思維障礙的具體表現(xiàn)由于數(shù)學思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學生思維習慣、方法也都有所區(qū)別，所以，數(shù)學思維障礙的表現(xiàn)各異，具體的可以概括為：1、數(shù)學思維的膚淺性。由于學生在學習數(shù)學過程中，對一些數(shù)學概念或數(shù)學原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻的去理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質(zhì)。由此而產(chǎn)生的后果是：（1）學生在分析和解決數(shù)學問題時，往往只順著事物的發(fā)展過程去思考問題，注重由因到果的思維習慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。例如

6、：在課堂上我曾要求學生證明：| a |1，| b |1，則ab+1。讓學生思考片刻后提問，有相當一部分的同學是通過三角代換來證明的（設(shè)a=cos，b=sin），理由是| a |1，| b |1（事后統(tǒng)計這樣的學生占到近20%）。這恰好反映了學生在思維上的膚淺，把兩個毫不相干的量（a，b）建立了具體的聯(lián)系。（2）缺乏足夠的抽象思維能力，學生往往善于處理一些直觀的或熟悉的問題，而對那些不具體的、抽象的數(shù)學問題常常不能抓住其本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學模型或過程去分析解決。例如：已知實數(shù)x、y滿足=| x+y+1 |，則點p（x，y）所對應(yīng)的軌跡為（ ）（a）圓 (b)橢圓 （c）雙曲線 （d）拋物線。在

7、復(fù)習圓錐曲線時，我拿出這個問題后，學生一著手就簡化方程，簡化了半天還看不出結(jié)果就再找自己運算中的錯誤（懷疑自己算錯），而不去仔細研究此式的結(jié)構(gòu)=| x+y+1 | 進而可以看出點p到點（1，3）及直線x+y+1=0的距離相等，從而其軌跡為拋物線。2、數(shù)學思維的差異性。由于每個學生的數(shù)學基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數(shù)學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導(dǎo)致學生對數(shù)學知識理解的偏頗。這樣，學生在解決數(shù)學問題時，將會出現(xiàn)以下方面的問題。（1）不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。例如：非負實數(shù)x，y滿足x+2y=1，求x2+y2的

8、最大、最小值。在解決這個問題時，如果對x、y的范圍沒有足夠的認識（0x1，0y1/2），那么就容易產(chǎn)生錯誤。（2）學生不知道用所學的數(shù)學概念、方法為依據(jù)進行分析推理，對一些問題中的結(jié)論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調(diào)控，從而造成障礙。例如：函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）對任意實數(shù)x都成立，證明函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱，對于這個問題，一些基礎(chǔ)好的同學都不大會做（主要反映寫不清楚），我就動員學生看書，在函數(shù)這一章節(jié)中找相關(guān)的內(nèi)容看，待看完奇、偶函數(shù)、反函數(shù)與原函數(shù)的圖像對稱性之后，學生也就能較順利的解決這一問題了。3、數(shù)學思維定勢的消極性。由于中學生已

9、經(jīng)有相當豐富的解題經(jīng)驗，因此，有些學生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗，思維陷入僵化狀態(tài)，不能根據(jù)新的問題的特點做出靈活的反映，常常壓抑更合理有效地思維甚至造成歪曲的認識。例如：z，則復(fù)數(shù)方程|z-2i|+|z+2i|=4所表示的軌跡是什么？可能會有不少學生不假思索的回答是橢圓，理由是根據(jù)橢圓的定義。又例如：剛學立體幾何時，一提到兩直線垂直，學生馬上意識到這兩直線必相交，從而造成錯誤的認識。由此可見，學生數(shù)學思維障礙的形成，不僅不利于學生數(shù)學思維的進一步發(fā)展，而且也不利于學生解決數(shù)學問題能力的提高。所以，在平時的數(shù)學教學中注重突破學生的數(shù)學思維障礙就顯得尤為重要。四

10、、中學生數(shù)學思維障礙的突破1、培養(yǎng)學習興趣，激發(fā)學習熱情。在中學數(shù)學教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調(diào)學生的主體意識，發(fā)展學生的主動精神，培養(yǎng)學生良好的意志品質(zhì)；同時要培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。學生對數(shù)學學習有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學思維的興奮點，也就能更大程度地預(yù)防學生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到的桃”的感覺，從而提高學生學好數(shù)學的激情。例如：職高一年級或高中一年級學生學習函數(shù)

11、知識時，一般我們都要復(fù)習一下初中二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎(chǔ)差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計如下：（1）求出下列函數(shù)在x0，3時的最大、最小值：a、y=，b、y=，c、y=。（2）求函數(shù)y=0，3時的最小值。（3）求函數(shù)y=t，t+1的最小值。上述設(shè)計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調(diào)動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。2、重視數(shù)學思想方法的教學，指導(dǎo)學生提高數(shù)學意識。數(shù)學意識是學生在

12、解決數(shù)學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用，也不是對應(yīng)用能力的評價，數(shù)學意識是指學生在面對數(shù)學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數(shù)學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數(shù)學意識落后的表現(xiàn)。數(shù)學教學中，在強調(diào)基礎(chǔ)知識的準確性、規(guī)范性、熟練程度的同時，我們應(yīng)該加強數(shù)學意識教學，指導(dǎo)學生以意識帶動雙基，將數(shù)學意識滲透到具體問題中。例如：設(shè)的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路，的取值范圍不大容易求，但適當對進行變形：轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形

13、容易求得u6，6，這里對u的適當變形實際上是數(shù)學的轉(zhuǎn)換意識在起作用。因此，在數(shù)學教學中只有加強數(shù)學意識的教學，如“因果轉(zhuǎn)化意識”“類比轉(zhuǎn)化意識”等的教學，才能使學生面對教學問題得心應(yīng)手、從容作答。所以，提高學生的數(shù)學意識是突破學生教學思維障礙的一個重要環(huán)節(jié)。3、誘導(dǎo)學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在中學數(shù)學教學中，我們不僅僅是傳授數(shù)學知識，培養(yǎng)學生的思維能力也應(yīng)是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導(dǎo)學生暴露其原有的思維框架，包括結(jié)論、例證、推論等對于突破學生的數(shù)學思維障礙會起到極其重要的作用。例如：在學習了“函數(shù)的奇偶性”后，學生在判斷函數(shù)的奇偶性時常忽視定義域問題，為此

14、我們可設(shè)計如下問題：判斷函數(shù)f（x）=2在區(qū)間上的奇偶性。不少學生由f（x）=f（x）立即得到f（x）為奇函數(shù)。教師設(shè)問：區(qū)間有什么意義？y=x一定是偶函數(shù)嗎？通過對這兩個問題的思考學生意識到函數(shù)f（x）=2只有在a=2或a=1即定義域關(guān)于原點對稱時才是奇函數(shù)。再例如：教師通過談話法，事先了解學生可能產(chǎn)生的錯誤想法，用精心設(shè)計的診斷性題目，運用延遲評價的原則，即待所有學生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底。有時也可以設(shè)置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學生討論，從錯誤中引出正確的結(jié)論，這樣學生的印象特別深刻。而且通過暴露學生的思維過程，能消除消極的思維定勢在解題中的影響。當然，為了消除學生在思維活動中