金融工程作業(yè)一二三

1、作業(yè)一1、 一只股票現(xiàn)在價格是100元。有連續(xù)兩個時間步，每個步長6個月，每個單步二叉樹預(yù)期上漲10%，或下跌10%，無風(fēng)險利率8%（連續(xù)復(fù)利），運(yùn)用無套利原則求執(zhí)行價格為100元的看漲期權(quán)的價值。2、 假設(shè)市場上股票價格s=20元，執(zhí)行價格x=18元，r=10%,t=1年。如果市場報價歐式看漲期權(quán)的價格是3元，試問存在無風(fēng)險的套利機(jī)會嗎？如果有，如何套利？3、 股票當(dāng)前的價格是100元，以該價格作為執(zhí)行價格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格分別是3元和7元。如果買入看漲期權(quán)、賣出看跌期權(quán)，再購入到期日價值為100 的無風(fēng)險債券，則我們就復(fù)制了該股票的價值特征（可以叫做合成股票）。試問無風(fēng)險債券的投資

2、成本是多少？如果偏離了這個價格，市場會發(fā)生怎樣的套利行為？作業(yè)解答：1、按照本章的符號，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=( e0.08×0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。這里p是風(fēng)險中性概率。期權(quán)的價值是：(0. 70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。2、本題中看漲期權(quán)的價值應(yīng)該是s-xe-rt=20-18e-0.1=3.71。顯然題中的期權(quán)價格小于此數(shù)，會引發(fā)套利活動。套利者可以購買看漲期權(quán)并賣空股票，現(xiàn)金流是20-3=17。17以10%投

3、資一年，成為17 e0.1=18.79。到期后如果股票價格高于18，套利者以18元的價格執(zhí)行期權(quán)，并將股票的空頭平倉，則可獲利18.79-18=0.79元。若股票價格低于18元（比如17元），套利者可以購買股票并將股票空頭平倉，盈利是18.79-17=1.79元。3、無風(fēng)險證券的投資成本因該是100-7+3=96元，否則，市場就會出現(xiàn)以下套利活動。第一，若投資成本低于96元（比如是93元），則合成股票的成本只有97元（7-3+93），相對于股票投資少了3元。套利者以97元買入合成股票，以100元賣空標(biāo)的股票，獲得無風(fēng)險收益3元。第二，若投資成本高于96元（比如是98元），則合成股票的成本是10

4、2元，高于股票投資成本2元。套利者可以買入股票同時賣出合成股票，可以帶來2元的無風(fēng)險利潤。作業(yè)二：1.a公司和b公司如果要在金融市場上借入5年期本金為2000萬美元的貸款，需支付的年利率分別為：固定利率浮動利率a公司12.0libor+0.1%b公司13.4libor+0.6%a公司需要的是浮動利率貸款，b公司需要的是固定利率貸款。請設(shè)計一個利率互換，其中銀行作為中介獲得的報酬是0.1的利差，而且要求互換對雙方具有同樣的吸引力。2.x公司希望以固定利率借入美元，而y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期匯率計算價值很接近。市場對這兩個公司的報價如下：日元美元x公司5.09.6%y公司6.5

5、10.0%請設(shè)計一個貨幣互換，銀行作為中介獲得的報酬是50個基點，而且要求互換對雙方具有同樣的吸引力，匯率風(fēng)險由銀行承擔(dān)。3. 一份本金為10億美元的利率互換還有10月的期限。這筆互換規(guī)定以6個月的libor利率交換12的年利率（每半年計一次復(fù)利）。市場上對交換6個月的libor利率的所有期限的利率的平均報價為10（連續(xù)復(fù)利）。兩個月前6個月的libor利率為9.6。請問上述互換對支付浮動利率的那一方價值為多少？對支付固定利率的那一方價值為多少？作業(yè)答案：1. a公司在固定利率貸款市場上有明顯的比較優(yōu)勢，但a公司想借的是浮動利率貸款。而b公司在浮動利率貸款市場上有明顯的比較優(yōu)勢，但a公司想借的

6、是固定利率貸款。這為互換交易發(fā)揮作用提供了基礎(chǔ)。兩個公司在固定利率貸款上的年利差是1.4%，在浮動利率貸款上的年利差是0.5。如果雙方合作，互換交易每年的總收益將是1.4%0.5%=0.9%。因為銀行要獲得0.1%的報酬，所以a公司和b公司每人將獲得0.4%的收益。這意味著a公司和b公司將分別以libor0.3%和13%的利率借入貸款。合適的協(xié)議安排如圖所示。 12.3% 12.4% 12% a 金融中介 b libor+0.6% libor libor2. x公司在日元市場上有比較優(yōu)勢但想借入美元，y公司在美元市場上有比較優(yōu)勢但想借入日元。這為互換交易發(fā)揮作用提供了基礎(chǔ)。兩個公司在日元貸款上

7、的利差為1.5%，在美元貸款上的利差為0.4%，因此雙方在互換合作中的年總收益為1.5%0.4%=1.1%。因為銀行要求收取0.5%的中介費(fèi)，這樣x公司和y公司將分別獲得0.3%的合作收益?；Q后x公司實際上以9.6%0.3%=9.3%的利率借入美元，而y實際上以6.5%0.3%=6.2%借入日元。合適的協(xié)議安排如圖所示。所有的匯率風(fēng)險由銀行承擔(dān)。 日元5% 日元6.2% 日元5% a 金融中介 b 美元10% 美元9.3% 美元10%3. 根據(jù)題目提供的條件可知，libor的收益率曲線的期限結(jié)構(gòu)是平的，都是10%（半年計一次復(fù)利）?；Q合約中隱含的固定利率債券的價值為百萬美元互換合約中隱含的

8、浮動利率債券的價值為百萬美元因此，互換對支付浮動利率的一方的價值為百萬美元，對支付固定利率的一方的價值為1.97百萬美元。 加元5% 加元6.25% 加元5% a 金融中介 b 美元libor+1% 美元libor+0.25% 美元libor+1%本金的支付方向在互換開始時與箭頭指示相反，在互換終止時與箭頭指示相同。金融中介在此期間承擔(dān)了外匯風(fēng)險，但可以用外匯遠(yuǎn)期合約抵補(bǔ)。作業(yè)三：1假設(shè)某不付紅利股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動，其預(yù)期年收益率16%，年波動率30%，該股票當(dāng)天收盤價為50元，求：第二天收盤時的預(yù)期價格，第二天收盤時股價的標(biāo)準(zhǔn)差，在量信度為95%情況下，該股票第二天收盤時的價格范圍。2

9、某股票市價為70元，年波動率為32%，該股票預(yù)計3個月和6個月后將分別支付1元股息，市場無風(fēng)險利率為10%?，F(xiàn)考慮該股票的美式看漲期權(quán)，其協(xié)議價格為65元，有效期8個月。請證明在上述兩個除息日提前執(zhí)行該期權(quán)都不是最優(yōu)的，并請計算該期權(quán)價格。3某股票目前價格為40元，假設(shè)該股票1個月后的價格要么為42元、要么38元。連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險年利率為8%。請問1個月期的協(xié)議價格等于39元?dú)W式看漲期權(quán)價格等于多少？習(xí)題答案：1、 由于在本題中，s50，m0.16,s=0.30,dt=1/365=0.00274.因此，ds/50f(0.16´0.00274,0.3´0.002740.5)=f

10、(0.0004,0.0157)dsf(0.022,0.785)因此，第二天預(yù)期股價為50.022元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.785元，在95的置信水平上第2天股價會落在50.022-1.96´0.785至50.022+1.96´0.785,即48.48元至51.56元之間。2、 d1=d2=1,t1=0.25,t=0.6667,r=0.1,x=65 可見， 顯然，該美式期權(quán)是不應(yīng)提早執(zhí)行的。 紅利的現(xiàn)值為： 該期權(quán)可以用歐式期權(quán)定價公式定價：s701.926568.0735，x65，t=0.6667,r=0.1,0.32 n(d1)=0.7131,n(d2)=0.6184 因此，看漲期權(quán)價格為： 3、 構(gòu)造一個組合，由一份該看漲期權(quán)空頭和股股票構(gòu)成。如果股票價格升到42元，該組合價值就是42-3。如果股票價格跌到38元，該組合價值就等于38。令：42-3=38 得：