大學(xué)物理 剛體2.

1、1第四章第四章 剛體的運(yùn)動規(guī)律剛體的運(yùn)動規(guī)律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 例例1 1；例；例2 2；例；例3 33 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律4剛體轉(zhuǎn)動中動能定理剛體轉(zhuǎn)動中動能定理4.1 力矩的功力矩的功4.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理例例1 1；例；例2 2；例；例3 3作業(yè)：作業(yè)：4-7，4-8，4-94.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能23 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律作用于剛體上的力對作用于剛體上的力對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)軸的力矩，實(shí)際就是，實(shí)際就是該力對原點(diǎn)力矩在該力對原點(diǎn)力矩在轉(zhuǎn)軸上的分量轉(zhuǎn)軸

2、上的分量。證明：。證明：外外外外外外iiiiiiiFRkzFrM )(zOiRir 外外iFimiz)()(/Z 外外外外iiiiiFFRkz iiiiiiiiiFRFRFkz)()()(/Z /外外外外外外外外/iF是第是第i個(gè)質(zhì)元所受外力在垂直于軸平面內(nèi)的分量個(gè)質(zhì)元所受外力在垂直于軸平面內(nèi)的分量3 iiiZFRkM)(/外外所以外力矩在轉(zhuǎn)軸上的分量（前兩項(xiàng)不在轉(zhuǎn)軸上）：所以外力矩在轉(zhuǎn)軸上的分量（前兩項(xiàng)不在轉(zhuǎn)軸上）：dtdIdtdLMZZZ ZI就是剛體繞定軸（就是剛體繞定軸（Z軸）的轉(zhuǎn)動慣量軸）的轉(zhuǎn)動慣量 iiizRmI2定定義義轉(zhuǎn)動慣量與剛體形狀、質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量與剛體形狀、質(zhì)量分布和與轉(zhuǎn)軸

3、位置有關(guān)。分布和與轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組角動量定理，得根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組角動量定理，得剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此與剛體在此合外力矩作用下所獲得的合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積角加速度的乘積。物理物理意義意義m反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性4例例1 1：一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m0半徑為半徑為的定滑的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛繩的

4、一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體m由靜止下落高度由靜止下落高度h時(shí)時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。的速度和此時(shí)滑輪的角速度。 滑滑輪輪：對對ITRMm 0解：解：該例中要計(jì)及滑輪的質(zhì)量該例中要計(jì)及滑輪的質(zhì)量R mTgm0gmT0mhN2021RmI滑滑輪輪 5 RamaTmgm :；對對20021RmIITRMm；：對對滑滑輪輪滑滑輪輪 gmmma20 v0242mmmghah 0241mmmghRR v TT 解方程得出：解方程得出：maRaRmRmg 2021 6LLLLddtMtLL12021剛體角動量定理的積

5、分形式剛體角動量定理的積分形式等式右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量等式右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量12IILI I不變時(shí)不變時(shí): :1122IILI I也改變時(shí)也改變時(shí): :角動量守恒定律角動量守恒定律0,0 ZZZZLMdtdLM則中，若在0,0LM則若剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律實(shí)質(zhì)是角動量定理的沿固實(shí)質(zhì)是角動量定理的沿固定軸方向的分量式的一種特殊形式。定軸方向的分量式的一種特殊形式。如例如例4.64.67 的原因，可能是的原因，可能是 或或 ，也可能是也可能是0M0F0rrF/在定軸轉(zhuǎn)動中還有可能是在定軸轉(zhuǎn)動中還有可能是 , 但它與軸平行，但它與軸平行，即即

6、對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，則剛體對此軸的對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。角動量依然守恒。0ZM0M相對質(zhì)心的角動量相對質(zhì)心的角動量內(nèi)部角動量內(nèi)部角動量相對相對L系的角動量系的角動量外部角動量外部角動量角動量角動量 定理在質(zhì)心系中也成立。定理在質(zhì)心系中也成立。而不論質(zhì)心系是否為慣性系。而不論質(zhì)心系是否為慣性系。CCCmrLLv dtLdMCC8例例2、一根長為一根長為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為M的均勻細(xì)直棒，其的均勻細(xì)直棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為一子彈質(zhì)量為m，以水平速度以水平速度 0射入棒的下端而不復(fù)射入

7、棒的下端而不復(fù)出。求子彈和棒開始一起運(yùn)動時(shí)出。求子彈和棒開始一起運(yùn)動時(shí)角速度。角速度。解：取棒和子彈為系統(tǒng)，碰撞過程時(shí)解：取棒和子彈為系統(tǒng)，碰撞過程時(shí)間極短，在此過程中棒的位置基本不間極短，在此過程中棒的位置基本不變，所以重力和軸上支持力對變，所以重力和軸上支持力對O點(diǎn)的點(diǎn)的力矩都為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒：力矩都為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒：20 31lMmlvmlv2 31lMI IL lvMmm033OMm0vvllv 碰撞過程中軸上碰撞過程中軸上有水平分力，所以有水平分力，所以動量不守恒動量不守恒9例例3：一根長為一根長為 l質(zhì)量為質(zhì)量為 m的棒，置于無摩擦的水平面的棒，置于無摩擦的水平

8、面上，在一很短的時(shí)間間隔上，在一很短的時(shí)間間隔 t內(nèi)，這棒受一力內(nèi)，這棒受一力F打擊而產(chǎn)打擊而產(chǎn)生一個(gè)沖量，這力作用在生一個(gè)沖量，這力作用在 p點(diǎn)上，點(diǎn)上， p至質(zhì)心的距離為至質(zhì)心的距離為a，試求試求: (1)質(zhì)心的速度？質(zhì)心的速度？(2)繞質(zhì)心的角速度繞質(zhì)心的角速度? cQpFab(4)證明若這力在證明若這力在Q處，則撞擊中心在處，則撞擊中心在p點(diǎn)。點(diǎn)。解解(1)mtFtvC)(FamC0)0(Cv質(zhì)心速度方向與質(zhì)心速度方向與 相同相同F(xiàn)FtvtvmCC)0()(3)確定一點(diǎn)確定一點(diǎn)Q，它在，它在L參照系中參照系中從最初就保持靜止，并證明從最初就保持靜止，并證明b=k2/a ，式中式中k是繞

9、質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑。點(diǎn)是繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑。點(diǎn)Q叫做撞擊中心。叫做撞擊中心。10(2) 在質(zhì)心參照系中：在質(zhì)心參照系中：dtdLaFCCCILIC為通過質(zhì)心垂直于棒軸的轉(zhuǎn)動慣量，已知：為通過質(zhì)心垂直于棒軸的轉(zhuǎn)動慣量，已知：2mkIC0)0(aFttmk)0()(2tmkaFt2)(11(3) 在在L系中若要系中若要0QvbvvCQ02btmkaFtmF012bkaakb2(4) 交換交換a、b可證明可證明p、Q互為共軛點(diǎn)互為共軛點(diǎn)bka212習(xí)題習(xí)題4-4 以垂直于盤面的力以垂直于盤面的力F 將一將一粗糙平面緊壓在一飛輪的盤面上，粗糙平面緊壓在一飛輪的盤面上，使其制動，如圖所示。飛輪可以看使其制動，

10、如圖所示。飛輪可以看作是質(zhì)量為作是質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)圓的勻質(zhì)圓盤，盤面與粗糙平面間的摩擦系數(shù)盤，盤面與粗糙平面間的摩擦系數(shù)為為，軸的粗細(xì)可略，飛輪的初始，軸的粗細(xì)可略，飛輪的初始角速度為角速度為 。(a)求摩擦力矩；求摩擦力矩；(b)經(jīng)過多長時(shí)間，飛輪才停止轉(zhuǎn)動？經(jīng)過多長時(shí)間，飛輪才停止轉(zhuǎn)動？0RrdrF 0解：解：dNrdM FRdMMR 320 rdrRFdN 22 13)21(2mRIM 又又 tIMdt000或或FmRMmRt 4321 002 FRdMMR 320 |0MIt t 00 144.14.1力矩的功力矩的功zOiRir 外外iFimiz/外外iFimiRO

11、d iiiirdFFdA )(/外外外外iiirdFdA 外外iiRdF /外外iiiRdFF )(/外外外外)0(iiRdF外 cos/dRFii 外外俯視圖俯視圖因?yàn)楦髻|(zhì)元在因?yàn)楦髻|(zhì)元在Z方向無位移。方向無位移。4 剛體轉(zhuǎn)動中動能定理剛體轉(zhuǎn)動中動能定理15 /外外iFimiRO d iiiirdFFdA )(/外外外外iiRdF /外外iiiRdFF )(/外外外外 cos/dRFii 外外 sin/dRFii 外外 dFRii|/外外 iiiiZFRkM)(/外外 dMdAiZi 力對轉(zhuǎn)動物體作的功等于該力對軸的力力對轉(zhuǎn)動物體作的功等于該力對軸的力矩和作用點(diǎn)繞該軸轉(zhuǎn)動的角位移的乘積。矩和

12、作用點(diǎn)繞該軸轉(zhuǎn)動的角位移的乘積。力矩力矩的功的功就是力矩在就是力矩在該軸上的分量該軸上的分量16剛體內(nèi)一對內(nèi)力對定軸力矩的功為零剛體內(nèi)一對內(nèi)力對定軸力矩的功為零jjiiijijrdFrdFdA zOiRir ijFimjmjiFjrjiijFF )(jiijijrdrdFdA 0 )()(jijirrdrdrd0 ijdA剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)。合外力對轉(zhuǎn)動物體作剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)。合外力對轉(zhuǎn)動物體作的功，等于該合外力對轉(zhuǎn)該軸的合力矩的功的功，等于該合外力對轉(zhuǎn)該軸的合力矩的功 iiiirdFFdA）（內(nèi)內(nèi)外外 dMdMdAZiZi合合外外外外 174.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能

13、iiiiiiKRmmE222121)(v 2222121 IRmiii )(2mdIIC 2221 )(mdIECk 222221212121 CCCCkImIrmE v)(2222121 CkIdmE 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能等于質(zhì)心動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能等于質(zhì)心動能(平動平動)與繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動動能之和。與繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動動能之和。適于剛體適于剛體的任一運(yùn)動的任一運(yùn)動Crood zdmziRc184.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理zOiRir ivimiz21222121 II 21 dIdtdtdI 21 ddtdI 21 21 dMZ剛體定軸轉(zhuǎn)動中動能變化的

14、原因剛體定軸轉(zhuǎn)動中動能變化的原因是力矩做功；將定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動是力矩做功；將定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律兩邊乘以定律兩邊乘以d d 再同時(shí)對再同時(shí)對 積分：積分：初初末末KKEEA 初初末末KKZEEdM 21 合外力矩對一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛合外力矩對一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量。體的轉(zhuǎn)動動能的增量。稱為定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。稱為定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。19 剛體的重力勢能剛體的重力勢能初初末末初初末末CCCpCpmghmghEE )(結(jié)論：結(jié)論：剛體的重力勢能相當(dāng)于它的全部剛體的重力勢能相當(dāng)于它的全部 質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能。質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能。機(jī)械能

15、守恒機(jī)械能守恒對于剛體對于剛體，若，若在運(yùn)動過程中只有保守外力（重在運(yùn)動過程中只有保守外力（重力）作功力）作功, , 則則包括包括地球的地球的系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒。將重力看成是剛體受到的外部保守力將重力看成是剛體受到的外部保守力, ,按質(zhì)心的按質(zhì)心的定義，重力作的功等于質(zhì)心勢能的變化。定義，重力作的功等于質(zhì)心勢能的變化。)(末末初初末末初初末末初初CpCpCOiiOiEErdgmrdgm 20例例1 1：一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m0半徑為半徑為的定滑輪的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量一端固定在滑輪邊上，另一端掛一

16、質(zhì)量為為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體物體m由靜止下落高度由靜止下落高度h時(shí)的速度。時(shí)的速度。RmTgm0gmT0mhN解：解：地球、滑輪、物體地球、滑輪、物體m組成的系統(tǒng)，組成的系統(tǒng)，外力對其作功為零，所以滑輪質(zhì)心動外力對其作功為零，所以滑輪質(zhì)心動能與物體能與物體m的動能的動能 、勢能之和是個(gè)守、勢能之和是個(gè)守恒量。恒量。0212122 mghmIv024mmmghR vv 可可解解出出 2021RmI 21例例2、一根長為一根長為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。一固定的光滑水

17、平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時(shí)的角速角時(shí)的角速度和角加速度。度和角加速度。解：取棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，解：取棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，棒下擺過程中軸對棒的支棒下擺過程中軸對棒的支持力不作功，只有重力作持力不作功，只有重力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取水平初始位置為勢能零點(diǎn)：水平初始位置為勢能零點(diǎn)：2210 ImghC Odmgdmxgmcx231mlI sinlhC21 lg sin3 Ch22重力對整個(gè)棒的合力矩與全部重力重力對整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。

18、coslxC21 cosmglM21 lgmlmglIM2331212 coscos CmgxM Cmxxdm Odmgdmxgmc231mlI x xdmggxdmM 外力矩為重力對外力矩為重力對O的力矩的力矩23習(xí)題習(xí)題4-14 質(zhì)量為質(zhì)量為m長為長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞端點(diǎn)可繞端點(diǎn)O的固定水平軸轉(zhuǎn)動，把桿抬的固定水平軸轉(zhuǎn)動，把桿抬平后無初速地釋放，當(dāng)桿擺至豎直位置平后無初速地釋放，當(dāng)桿擺至豎直位置時(shí)剛好和光滑水平桌面上的小球相碰。時(shí)剛好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球的轉(zhuǎn)動不計(jì)，它的質(zhì)量和桿相同，小球的轉(zhuǎn)動不計(jì)，它的質(zhì)量和桿相同，并且碰撞是完全彈性的，軸上摩擦也忽并且碰撞是完全彈性的，軸上摩擦也忽略不計(jì)，略不計(jì)，求碰后小球的速度求碰后小球的速度v。moml解：擺下（定軸轉(zhuǎn)動）解：擺下（定軸轉(zhuǎn)動）能量守恒能量守恒2231212)(mllmgmvlmlml