水平集圖像處理入門

1、水平集圖像處理入門 (a tutorial of level set for image processing) 馮向軍(feng xiangjun) 05/29/2006 內容提要:本文簡明扼要地闡明了水平集技術的基本概念、基本思想、基本方法和基本技術。通過展示水平集去噪的機理和實效，使讀者不難對水平集技術實用于圖像處理有個真切的體會。本文可供圖像處理專業(yè)的大學生、研究生參考。附錄給出了水平集技術的關鍵細節(jié)：曲率和梯度計算的一個matlab程序。abstract -in this report, the basic concepts, basic thought, basic methodo

2、logy and basic technology of level set technology for image processing were briefly introduced. undergraduate students and graduate students related with image processing may take this report as a reference. 一、水平集的定義 1與實數c對應的可微函數的水平集是實點集 (x1, x2, .,xn) | f(x1, x2,.,xn) = c 稱可微函數f為水平集函數。 舉例 函數 對應于常數c

3、的水平集是 以(0，0，0)為球心，sqrt(c) 為半徑的球面。 當 n=2, 稱水平集為水平曲線(level curve)。 當 n=3, 稱水平集為水平曲面(level surface)。 二、水平集圖像處理的核心思想 水平集圖像處理的核心思想是把n維描述視為高一維(n+1)維的水平集,或者說是把n維描述視為有n維變量的水平集函數f的水平集.這樣一來就把求解n維描述的演化過程轉化為求解關于有n維變量的水平集函數f的演化所導致的水平集的演化過程。其要害是通過這種轉化，引入了變中的相對不變：水平集函數f的水平c不變。我們把這種變中的相對不變叫做泛對稱。引入了泛對稱，就引入了規(guī)律，而引入了規(guī)律

4、就能推演出水平集在此規(guī)律下依各種具體條件而演化的具體演化方程。也即是說，引進了泛對稱這一規(guī)律，我們就有了從一般到特殊的演繹過程的出發(fā)點和依據。這種思想方法的實質是以關系來決定對象。 三、水平集圖像處理的奠基性工作 水平集圖像處理的奠基性工作包含在下列論文之中 osher & sethian ('fronts propogating with curvature-dependent speed:algorithms based on hamilton-jacobi formulations', journal of computational physics 79, 12

5、-49, 1988) 以下是開創(chuàng)人之一stanley osher的樣子 4四、水平集圖像處理的基本方程 考慮零水平集x(t)所對應的水平集函數 ，則有 (4-1) 對方程(4-1)兩邊求關于時間的偏導數,有 (4-2) 假設f為外法向方向的速度，那么 這其中 因此，我們便得到基本方程式 (4-3) 除此基本方程式以外，還有其它一些方程式，它們都能從方程(4-1)推導出來。 基本方程式式(4-3)是水平集函數及相應的水平集在法向力f的推動下的演化方程。 國內外有很多人介紹水平集圖像處理的思想時一般都太偏向技術層面，沒有看到這思想的實質：以極為普遍的關系:泛對稱來決定對象。通過上述簡單推導，讀者諸

6、君不難看出這水平集圖像處理的精神實質。 五、一般性算法 水平集圖像處理的這種思想方法直接形成了一種一般性算法 (1)設定水平集函數的初態(tài)； (2)確定動力f的形式； (3)按基本方程推演水平集函數的各狀態(tài)； (4)對于每一水平集函數的狀態(tài)求解零水平集。 盡管具體技術細節(jié)千變萬化，水平集圖像處理的算法萬變不離其宗，都是圍繞上述 一般性算法而展開的。 六、水平集技術去噪的機理2 所謂水平集技術，就是利用水平集的概念和將求解n維描述的演化轉化為求解由于具有n個實變量的水平集函數的演化而導致的水平集的演化這么一種思想方法來達到某種實用目的的技術。水平集技術可用于圖像去噪。其機理如下 圖6.1 簡單曲線

7、 圖6.2 不太簡單的曲線 圖6.3 不簡單的曲線 圖6.1-6.3給出了曲線的三種類型：簡單曲線、不太簡單的曲線，不簡單的曲線。 我們所感興趣的是簡單曲線。通俗地說，所謂簡單曲線即是無交叉點的曲線。 簡單曲線在曲率力的驅動下演化具有一種非常特殊的數學性質。所謂曲率力就是絕 對值與曲線的曲率成比例，而符號與曲率的符號相反的力 f= -bk (6-1) 這其中 k為曲率，而b為比例系數。 三維曲面的曲率可分為平均曲率和高斯曲率。位于p點的曲面之法截面其曲率叫做法曲率。法曲率的最大值k1和最小值k2叫做主曲率。高斯曲率kg是兩種主曲率的乘積，而平均曲率km是兩種主曲率的算術平均值。 高斯曲率 kg

8、 = (k1)(k2) (6-2) 平均曲率km = (k1+k2)/2 (6-3) 二維由隱函數 g(x,y) = 0 所決定的曲率則可表達為5 曲率有正有負，于是在法向曲率力的推動下，曲線的運動方向之間有所不同： 有些部分朝外擴展，而有些部分則朝內運動。這種情形如下圖所示。圖中藍色箭頭處的曲率為負，而綠色箭頭處的曲率為正。 簡單曲線在曲率力的驅動下演化所具有的一種非常特殊的數學性質是： 一切簡單曲線，無論被扭曲得多么嚴重，只要還是一種簡單曲線，那么在曲率力的 推動下最終將退化成一個圓，然后消逝。這是微分幾何中的一個著名定理。正是因為有這種奇特的數學性質，才使得水平集技術用于去噪有了堅實的科

9、學基礎。 大家可以看看下面的關于這一數學性質的演示錄像。2/sethian/movies/moviecurvcollapse.mpeg 七、我對水平集去噪機理的matlab仿真 我對水平集去噪機理用matlab進行了一系列仿真。 7.1 假設水平集函數為 對于y > 0; 對于y <= 0. 我對該水平集函數在平均曲率驅動下的零水平集的演化進行了仿真，其結果如下圖所示。從圖中可見，在曲率力的驅動下，半圓逐漸變形、變小，最終歸于消逝。7.2 三維啞鈴零水平集在平均曲率驅動下的演化過程 從圖中可見，在平均曲率力的驅動下，作為零水平曲面的三維啞鈴逐漸形變、變小，最終歸于消逝。7.3 三維啞鈴零水平集在高斯曲率驅動下的演化過程 從圖中可見，由圖中可見，在高斯曲率力的驅動下，作為零水平曲面的三維啞鈴也逐漸形變、變小，最終歸于消逝。但是其變化過程似乎要慢一些。八、用水平集技術去噪的一個實例 將圖像本身的灰度信息作為水平集函數。讓此水平集函數在曲率力作用下運動，即可實現去噪。下圖是我用matlab仿真的結果。這個結果還可以進一步改進。 九、結語本文是一個關于用于圖像處理的水平集技術的入門講座。文中注重水平集技術的來龍去脈、基本概念、基本思想、基本方法和基本技術。參考文獻1