圓的一般方程

1、圓圓的的一一般般方方程程Ar xyO022FEyDxyx(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2圓心為圓心為A(a,b),半徑長為半徑長為r的的圓的標準方程為什么圓的標準方程為什么?一、回一、回 顧顧注意：這是一條關于注意：這是一條關于x,y的的二元二次方程二元二次方程，那么關，那么關于于x,y的的二元二次方程二元二次方程是否都表示是否都表示圓圓呢？呢？222)()(),(rbyaxrba為為半徑的圓的標準方程為圓心，以02222222rbabyaxyx將方程展開得式程都可以寫成下面的形可見，任何一個圓的方022FEyDxyx) 1 ()2(44)2()2112222FEDEyDx）的左邊

2、配方，得（將（圓？）的方程的曲線是不是反過來，形如（)2,2() 1 (042220EDFED表示一個點時，方程當為半徑的圓為圓心，表示以時，方程當24)2,2() 1 (04122220FEDEDFED不表示任何圖形時，方程當) 1 (043220FED的一般方程）叫做圓）表示一個圓，方程（時，方程（因此，當110422FED問題問題:圓的一般方程有什么特征圓的一般方程有什么特征?（2 2）兩個變量最高次數的系數相同，一般都是）兩個變量最高次數的系數相同，一般都是1 1 ；（1）有兩個變量）有兩個變量x,y，它們的最高次數都為，它們的最高次數都為2； 230yDxEyF2若方程x表示一個圓，

3、那么它的圓心坐標為多少？半徑呢？22DE（，）2242DEFr圓的一般方程的定義：圓的一般方程的定義：圓的一般方程的特點，與圓的標準方程的異圓的一般方程的特點，與圓的標準方程的異同同 【問題】【問題】圓的一般方程與圓的標準方程各有千秋：圓的一般方程與圓的標準方程各有千秋： （1）圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和）圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和 半徑一目了然半徑一目了然 （2）圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，）圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，更適合方程理論的運用更適合方程理論的運用 圓的一般方程的特點圓的一般方程的特點 ：（1 1） 和和 的系數相同，都不為

4、的系數相同，都不為0 （2 2）沒有形如）沒有形如 的二次項的二次項 2x2yxy1、A C 0 圓的一般方程：圓的一般方程：二元二次方程：二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0的關系的關系:x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2、B=03、 D2E24AF0 二元二次方程二元二次方程表示圓的一般方程表示圓的一般方程(1)若圓心在若圓心在x軸上軸上,則則D,E,F滿足什么條件滿足什么條件?(2)若圓心在若圓心在y軸上軸上,則則D,E,F滿足什么條件滿足什么條件?(3)若圓過原點若圓過原點,則則D,E,F滿足什么條件滿足什么條件?C Cx xo o

5、y yC Cx xo oy yC Cx xo oy yD=0D=0E=0E=0F=0F=0220 xyDxEyF0332230642201. 12222222aayaxyxyxyxyx）（）（）（形？下列各圖各表示什么圖11)2() 1(22yx2222)(bayax033223022061. 22222222ayaxyxbyyxxyx）（）（）（心坐標：求下列各圓的半徑和圓9)3(22yx222)(bbyx222)3()(aayax(1)圓的一般方程與圓的標準方程的聯系:一般方程配方展開標準方程小結一:FEDED421),2,2(22半徑圓心 例例1 1 求過點 的圓的方程，并求出這個圓的半

6、徑和圓心坐標.)2 , 4(),1 , 1 (),0 , 0(NMO解解 設所求圓的方程為022FEyDxyx其中 待定.FED,由題意得,02024020FEDFEDF解得.068FED于是所求圓的方程為. 06822yxyx將這個方程配方，得.25)3()4(22yx所以所求圓的圓心坐標是 半徑為 ),3, 4( . 5練習練習：求經過三點 的圓的方程.)0 , 4(),2, 2(),0 , 0(, 0, 6, 8FED. 534, 5421, 32, 4222），半徑為，即圓心坐標（ FEDED 若已知三點求圓的方程若已知三點求圓的方程,我們常采用圓的我們常采用圓的 一般方程用待定系數法

7、求解一般方程用待定系數法求解. 若已知條件涉及圓心和半徑若已知條件涉及圓心和半徑, 我們一般采用圓的標準方程較簡單我們一般采用圓的標準方程較簡單.1.步驟步驟：(1)依題意設出待定系數方程依題意設出待定系數方程 (2)列出關于待定系數的方程（組）列出關于待定系數的方程（組） （3）解方程（組）得出系數，寫出所求方程解方程（組）得出系數，寫出所求方程小結二:注意:求圓的方程時,要學會根據題目條件,恰當選擇圓的方程形式:若知道或涉及圓心和半徑若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用我們一般采用 圓的標準方程圓的標準方程較簡單較簡單.若已知三點求圓的方程若已知三點求圓的方程,我們常常采用我們常常采用 圓

8、的一般方程圓的一般方程用待定系數法求解用待定系數法求解. ( (特殊情況時特殊情況時, ,可借助圖象求解更簡單可借助圖象求解更簡單) )如果軌跡動點如果軌跡動點P(x,y)依賴于依賴于另一動點另一動點Q(a,b),而而Q(a,b)又又在某已知曲線上在某已知曲線上,則可先列出則可先列出關于關于x,y,a,b的方程組的方程組,利用利用x,y表示出表示出a,b,把把a,b代入已知代入已知曲線方程便得動點曲線方程便得動點P的軌跡的軌跡方程方程.022FEyDxyx 課堂小結若知道或涉及圓心和半徑若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標準方程較簡單我們一般采用圓的標準方程較簡單.(1)本節(jié)課的主要內容

9、是圓的一般方程,其表達式為(用配方法求解)(3)給出圓的一般方程,如何求圓心和半徑?0422022FEDFEyDxyx 配方展開(2)圓的一般方程與圓的標準方程的聯系一般方程標準方程(圓心,半徑)(4)要學會根據題目條件,恰當選擇圓方程形式:若已知三點求圓的方程若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數我們常常采用圓的一般方程用待定系數法求解法求解. 例例2 2 已知一曲線是與兩個定點 距離的比為 的點的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線.)0 , 3(),0 , 0(AO21.21AMOM由兩點間距離公式，上式可用坐標表示為.21)3(2222yxyx兩邊平方并化簡，得曲線方程

10、為03222xyx將方程配方，得 4) 1(22yx所以所求曲線是以 為圓心，半徑為 的圓.)0 , 1(C2 解解 在給定的坐標系中，設 是曲線上的任意一點，點 在曲線上當且僅當),(yxMM212212)()(yyxxABCMA3yxO問題1：等腰三角形的頂點A的坐標是（4，2），底邊一個端點B的坐標是（3，5），求另一個端點C的軌跡方程，并說明它是什么圖形。求軌跡方程的一般步驟求軌跡方程的一般步驟:1.建系建系,設點設點;2.列式列式,代入代入;3.簡化簡化,檢驗檢驗.CBAxyO問題問題2:長為長為2a的線段的線段AB的兩個端點分別在相互垂直的兩個端點分別在相互垂直的兩條直線上滑動，則

11、線段的兩條直線上滑動，則線段AB的中點軌跡為的中點軌跡為BAM222xya2.定義法定義法;軌跡的常用求法軌跡的常用求法:1.直接法直接法;xy問題3:已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半，求：（1）動點M的軌跡方程；軌跡的常用求法軌跡的常用求法:2216xy(2)若四邊形AMPB是平行四邊形,試求點P的軌跡方程.3.相關點法相關點法;22616(xy去掉(2,0),(10,0)兩點。如果軌跡動點如果軌跡動點P(x,y)依賴于另一動依賴于另一動點點Q(a,b),而而Q(a,b)又在某已知曲線又在某已知曲線上上,則可先列出關于則可先列出關于x,y,a,b的方程組的方程

12、組,利用利用x,y表示出表示出a,b,把把a,b代入已知曲代入已知曲線方程便得動點線方程便得動點P的軌跡方程的軌跡方程.PxMBAOy問題4:點A(0,2)是圓x2+y2=16內的定點，點B,C是這個圓上的兩個動點，若BACA,求BC中點M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲線。Byx A C OM例4 求經過P(-2,4),Q(3,-1)兩點,且在x軸上截得的弦長等于6的圓的方程.解:設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0,由韋達定理得x1+x2=-D,x1.x2=F,又D2-4F=36(1)圓過P(-2,4),Q(3,-1)(-2)2+42+(-2)D+4

13、E+F=0,即:2D-4E-F=0(2)32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3)由(1),(2),(3)聯立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=064)(2122121xxxxxx例例5. 自點自點A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求反射光線所在直線的方程求反射光線所在直線的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 例題

14、選講例題選講 1. 自點自點A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光線求光線l 所在直線的方程所在直線的方程.題意分析題意分析 B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) (1)入射光線及反射光線與入射光線及反射光線與 x軸軸夾角夾角相等相等.(2)點點P關于關于x軸的軸的對稱點對稱點Q在在 反射光線所在的直線反射光線所在的直線l 上上.(3)圓心圓心C到到l 的距離等于的距離等于 圓的半徑圓的半徑.答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4

15、y-3=0【思考題】【思考題】過點過點M（-6，0）作圓作圓 C： 的的割線，交圓割線，交圓C于于A，B兩點兩點.求線段求線段AB的中點的中點P的軌跡的軌跡.094622yxyx解：圓的方程可化為解：圓的方程可化為(x-3) +(y-2) =422其圓心為其圓心為C（3，2）半徑為半徑為2設設P（x，y）是軌跡上任意一點是軌跡上任意一點MPCP 16321xyxykkMPCP即：化簡得：化簡得：0182322yxyx所以所求軌跡為圓所以所求軌跡為圓 0182322yxyx-6o3y yx xcA AB B。P P在已知圓內的一段?。ú缓它c）在已知圓內的一段?。ú缓它c）.2(補充補充). 已

16、知一圓與已知一圓與y 相切，在直線相切，在直線y=x上截得的弦長為上截得的弦長為 2 ，圓心在直線圓心在直線x-3y=0上，求此圓的方程上，求此圓的方程.分析分析 (1)本題選用圓的方程標本題選用圓的方程標 準形式較好準形式較好 7AB 3. 圓圓C過點過點A(1，2)，B(3，4)，且在且在x軸上截得的弦長為軸上截得的弦長為6 ， 求圓求圓C的方程的方程.(2)圓的圓的半徑半徑、半弦長半弦長、邊心距邊心距 組成直角三角形組成直角三角形本題選用圓的方程一般形式較好本題選用圓的方程一般形式較好 分析：分析：rd lC 思考題：22010,C xymxyP QOOPOQm已知圓 :與直線相交于兩點，為坐標原點，若求 的值。解：方法一201 0 xymxy 2OPQ121212112122 12112122(1)mmxxmmyy和OPOQ12120 (2)x xy y1122(,) , (,)P xyQ xy設 將（1）代入（2）式可得:m=122010,C xymxyP QOOPOQm已知圓 :與直線相交于兩點，為坐標原點，若求 的值。解：方法二201 0 xymxy 2OPQ1122(,) , (,)P xyQ xy設 思考題：OPOQ12120 (2)x xy y222(1) 0 xxm 1212mxx12