391227一元二次方程根的判別式及根與系數的關系—知識講解(提高)

1、一元二次方程根的判別式及根與系數的關系一知識講解(提高)【學習目標】1. 會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數的取值范 圍；2. 掌握一元二次方程的根與系數的關系以及在各類問題中的運用【要點梳理】要點一、一元二次方程根的判別式1. 一元二次方程根的判別式_ 2 2 2一元二次方程ax bx c = 0(a = 0)中，b -4ac叫做一元二次方程ax bx 0(a = 0)的根的判別式，通常用“厶”來表示，即厶二b2_4ac(1 )當厶0 時，一元二次方程有 2 個不相等的實數根；(2) 當厶=0 時，一元二次方程有 2 個相等的實數根；(3) 當厶

2、0；(2) 方程有兩個相等的實數根b2-4ac=0；(3) 方程沒有實數根=b2-4ac 0.要點二、一元二次方程的根與系數的關系1一元二次方程的根與系數的關系如果一元二次方程ax2 bx c = 0(a = 0)的兩個實數根是x1?x2,cx1x2.a注意它的使用條件為a豐0,A 0.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系 數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商2. 一元二次方程的根與系數的關系的應用(1)驗根不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知

3、系數；(3)不解方程，可以利用根與系數的關系求關于xi、X2 的對稱式的值此時，常常涉及代數式的一些重要變形；如：X12x；= (x1x2)2 _2皿2；X|X22X2X = X1x2(x1x2)；X1x2% x2(X1X2)2=(X1X2)24X1X2；2化k)(x2k)二x1x2k(x1x?) k；|X1-X2F (X1-X2)2=, (X1X2)2-4x1X2；11x2x|- + -=-22 2 2X1X2X1x2(x1X2)2X1X2(g29M -X2二(X1-X2)2(X1X2)2-4X1X2；10|X1| |X2；(| X1| |X2I)2二, x；x；+2I X1LIX2If(X

4、1X2)2- 2X1X22|x Ux2|(4) 已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數打 匕為根的一元二次方程是；二 j : . II .(5) 已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值或取值范圍;(6)利用一元二次方程根與系數的關系可以進一步討論根的符號_2那么x1- x2X1X2x1x2X1Lx2 X22X12X12X22(x1x2) -2x1x2當 0 且X1X20,X2 0時，兩根同為正數;設一元二次方程ax bx c =0( 0)的兩根為x1、x2，則當 0 且x1x20時，兩根同號.當 0 且X1X20,XiX2: 0時，兩根同為負數.當 0 且X1X2：0

5、時，兩根異號.當厶 0 且X1X2：0,XiX20時，兩根異號且正根的絕對值較大；當厶 0 且x1x2: 0，x1X2: 0時，兩根異號且負根的絕對值較大.要點詮釋：(1)利用根與系數的關系求出一元二次方程中待定系數后，一定要驗證方程的厶一些考試中, 往往利用這一點設置陷阱；(2)若有理系數一元二次方程有一根 a 亠，則必有一根 a b ( a , b為有理數).【典型例題】類型一、一元二次方程根的判別式的應用21( 2015?梅州)已知關于 X 的方程X+2x+a - 2=0.(1) 若該方程有兩個不相等的實數根，求實數 a 的取值范圍；(2) 當該方程的一個根為 1 時，求 a 的值及方程

6、的另一根.【思路點撥】2(1 已知方程有兩個不相等的實數根，即判別式=b - 4ac 0.即可得到關于 a 的不等式，從而求得a 的范圍.(2)設方程的另一根為 X1,根據根與系數的關系列出方程組，求出a 的值和方程的另一根.【答案與解析】解：(1)vb2- 4ac= (- 2)2- 4X1X(a- 2) =12 - 4a 0,解得：av3. a 的取值范圍是 av3;(2)設方程的另一根為 X1，由根與系數的關系得：1“嚴-2則 a 的值是-1，該方程的另一根為-3.【總結升華】 熟練掌握一元二次方程根的判別式與根之間的對應關系.舉一反三：【高清 ID 號：388522 關聯(lián)的位置名稱(播放

7、點名稱)：判別含字母系數的方程根的情況 -例 2 (2)】【變式】(2015?張家界)若關于 X 的一元二次方程 kx2-4x+3=0 有實數根，則 k 的非負整數值是()A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3當 0 且X1X20,X2 0時，兩根同為正數;【答案】A.提示：根據題意得：=16 - 12k 為，且 k 老，解得：k ,且 kz0.則 k 的非負整數值為 1.Wz.已知關于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+1 = 0有實數根，則 m 的取值范圍是 _5【答案】m 且 nz145【解析】 因為方程（m-1）x2 x 1 =0有實數根，所以 二12-4（m-1）

8、 =-4m 5 _ 0,解得m,4同時要特別注意一元二次方程的二次項系數不為0，即（m -1） = 0,5m 的取值范圍是 m 且 1.4【總結升華】 注意一元二次方程的二次項系數不為0,即（m -1） = 0, mz1.舉一反三:【高清 ID 號：388522關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：利用根的判別式求字母范圍-例 4（ 1）】【答案】2 2 2(1)X1X2；(2)(X1-X2)；【思路點撥】由一元二次方程根與系數的關系，易得xx2,X|Lx2=- 1，要求xfx|,（XX2）2,【變式】2k已知：關于 x 的方程kx （k 1）x 40有兩個不相等的實數根，求 k 的取值范圍.類型二、

9、元二次方程的根與系數的關系的應用設x1、x2是方程2x - 6x -1=0的兩根,不解方程，求下列各式的值:X2丿YX2r 1(1 X1 + X2 +_1X2丿1X1丿【答案與解析】22的值，關鍵是把它們化成含有x-i x2、捲L x2的式子.由一元二次方程根與系數的關系知1，所以2(1)2Xix| =( X-Ix2)2X| X?,xX2 =2(2)(Xi-X2)22(Q=(捲+x2) -4X1X2= !2-4-1I 2丿(3)i i )xx2十一=%x2+2 +、X2AXi-i 2【總結升華】2ax舉一反三：【高清 ID 號:%x2-i2一2二一解此類問題關鍵是把它們化成含有Xi LX2的式

10、子.若一兀二次方程bx c = 0(a = 0)的兩個實數根是Xi,X2，那么Xix -b388522關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）:根與系數的關系c%x2:a【變式】不解方程，求方程22x 3x -4 = 0的兩個根的（i）平方和;（2）倒數和.i3【答案】（i）;（2）44. 求作一個【答案與解析】元二次方程，使它的兩根分別是方程5x22x-3=0各根的負倒數.設方程5x22x - = 0的兩根分別為xi、X2,元二次方程根與系數的關系,得xix2設所求方程為y2亠py亠q = 0,由一元二次方程根與系數的關系得iiyi：y2:XiX2它的兩根為yi、從而p =-(yiy2)Xi丿、L2XiX2 5XiX2_35