第二型曲線積分、格林公式ppt課件

1、第七章第七章 向量值函數(shù)的積分向量值函數(shù)的積分第二型曲線積分第二型曲線積分 Green公式公式 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用xo2AiA1-iA1Ao oAA= =nAB= =iMzy一、第二型曲線積分一、第二型曲線積分1 1、 第二型曲線積分的概念與性質(zhì)第二型曲線積分的概念與性質(zhì)引例：變力沿曲線所作的功引例：變力沿曲線所作的功2第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用xo2AiA1-iA1Ao oAA= =nAB= =iMzyiT3第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用4第五章第五章 多元

2、函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用2、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分的定義5第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 = = = = niiiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10),(),(lim),(),( 引例中引例中力場力場所作所作 F的功的功可以表示為可以表示為 dszyxTzyxFWC),(),( = = 。 6第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用7第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 = = CCdyyxQdxyxPdsA),(),(。 8第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用3

3、、第二型曲線積分的性質(zhì)、第二型曲線積分的性質(zhì)首首尾尾相相接接. .與與 , ,其其中中2121CCCCC = =反反方方向向的的有有向向曲曲線線弧弧。是是與與其其中中 C C- -（線性性質(zhì)）（線性性質(zhì)）（方向性方向性）（對積分弧段的可加性）（對積分弧段的可加性）9第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用4、第二型曲線積分的計算第二型曲線積分的計算RdzQdyPdxdszyxACC = = ),(dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)()(),(),( )()(),(),()()(),(),( = = 10第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分

4、學(xué)及其應(yīng)用 公式公式中定積分的下限、上限分別為對應(yīng)于有向中定積分的下限、上限分別為對應(yīng)于有向曲線曲線 弧弧 C 的起點、終點的參數(shù)值，下限不一定小于上限。的起點、終點的參數(shù)值，下限不一定小于上限。 11第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用x2yx= =yo) 1, 1 ( -A) 1 , 1 (B.54d )d(1 0 0 1 = = - -= = xxxxxx12第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(Bxyo)0 , 1 (A) 1 , 0(BdyyxdxAByx)()( )1(- - tttttttd)cos

5、sin(cos)sin)(sin(cos20 - - - - = = . 1sin2cos220 - -= =- -= = dttt dyyxdxyxAOB)()( )2(- - dyyxdxyxdyyxdxyxOBAO)()( )()(- - - - = = . 12121)(1 0 0 1 - -= =- - -= =- - = = dyyxdx13第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 2dd(31)dx xyyzyz - dttttt31)2(1)33(12)2(1)(10 1 2 - - - - = = 3223)8306(20 1 - -= = = = dttt

6、14第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用5、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系15第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用二、二、格林公式格林公式1 1、單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域、單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域2區(qū)域區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線 C 的正向的正向DCD1C2C16第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用3定理定理3.1（Green 定理）定理）17第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用42R - -28ma 18第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用yoxRC.242d)(42

7、 0 0 4322RRddxdyyxRD - -= =- -= =- -= = - -= = 在這里，不能將曲線方程在這里，不能將曲線方程 代入被積函數(shù)代入被積函數(shù)。222Ryx= = -C19第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用解解：添加輔助線添加輔助線OA，則，則OAC 是一條正向封閉是一條正向封閉 曲線，設(shè)其圍成的區(qū)域曲線，設(shè)其圍成的區(qū)域為為 D。 yoxC)0 ,( aAD原式原式 - -= =OAOAC2 0 28008amdxama = = - -= =。 ,cos),(myeyxQx- -= =,cosmyeyPx- -= = ,cos yexQx= = =

8、 =Dmd 20第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用02 2 21第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用=-DdxdyyPxQ0)(。 公式GreenI解：229yxyP-=，229yxxQ=， xQyxxyyP=-=22222)9(9，0=-yPxQ（)0 , 0(),(yx） 。 yox)0 , 2(AC（1）2R當(dāng)時， 22第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用（2）2R當(dāng)時， 在 C 所圍成的區(qū)域內(nèi)作正向橢圓 2229:=yxC，則在-CC與所圍成的復(fù)連通區(qū)域 D 上，滿足公式 Green的條件，得 公公式式Greenyox

9、)0 , 2( ACC0)(=-=-=-dxdyyPxQCCDCC = =CC-=CyxydxxdyI229 -Cydxxdy21清清除除奇奇點點.3232222= =Ddxdy23第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用三、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件定義定義： 24第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用25第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用26第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 = = = =yyxxyxyxdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxu ),( ),( )

10、,(),( ),(),(),(ooooo),(ooyxA),(oyxM),(yxNo),(yxByox27第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用曲線積分中類似牛曲線積分中類似牛- -萊公式的結(jié)論：萊公式的結(jié)論：28第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用yox)0 ,2( A29第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用CD),(-A),(-Byox30第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用E = = - - - = =AEBCyxdyyxdxyxI22)()(dttttttt - - - - - = =452242co

11、s)sin(cos)sin)(sin(cos)2( .231)( 454 - -= =- -= = - -dtyox),(-A),(-B31第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用.arctanarctan00022xyxyyxxdyyy= = = = = )0 , 1 (A)0 ,(xB),(yxCyox32第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用)( - - = =- -Cdxeeexfdxxdx,212xxxxeCeCdxee- -= = - -= =- - - 33第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用34第五章第五章 多元函數(shù)微

12、分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用四、四、全微分方程全微分方程35第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 - - - - - = =),()0, 0(2222)2()2(),(yxdyyxyxdxyxyxyxu解解法法 1： （曲曲線線積積分分法法） 33)2(3223 0 22 0 2yxyyxxdyyxyxdxxyx- - - = =- - - = = 36第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用2222)(2yxyxyxyxyu- - -= = - -= = ， 解法解法2（偏積分法偏積分法） 37第五章第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用dyyxyxdxyxyx)2()2(2222- - - - - )2()2()3131(2233xydydxydyxxydxyxd - - - -= =)()()3131(2233xydyxdyxd- - - -= =)