六年級合集 小學 數(shù)學

1、 第一講 數(shù)論綜合（一）【專題知識點概述】在近幾年的北京重點中學小升初分班考試中，數(shù)論題目的分值大都超過了行程問題，占據(jù)了考試內容最顯著的地位！數(shù)論題目靈活多變，能較充分考察你思維的開拓性、方法技巧的綜合運用能力、創(chuàng)新及細心程度，易于分開學生層次。數(shù)論問題按知識體系大體可分為：整除問題、余數(shù)問題、奇偶問題、質數(shù)合數(shù)、約數(shù)倍數(shù)，這幾大板塊我們在之前的學習中已經(jīng)都接觸過了，但它們并不是數(shù)論的全部，細心的你會發(fā)現(xiàn)在數(shù)論這個大家族中還有一些“特別身影”，它們也是幫你解決數(shù)論問題的法寶。比如最大最小問題、關于取整運算、尾數(shù)問題、二進制應用、一些特殊變形問題等?！臼谡n批注】涉及知識點多、解題過程比較復雜的

2、整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題【習題精講】【例1】（難度等級 ）從1開始由小到大按順序取自然數(shù)，第一次取一個數(shù)，第二次取兩個數(shù)，第三次取三個數(shù)，以后繼續(xù)按照每次取一個、兩個、三個的方式重復進行，第（ ）次取的數(shù)之和為573。 【分析與解】573/3=191 所以三個數(shù)分別是190、191、192因為3次是取6個數(shù)，我們用192÷6=32那么也就是說，192是32個3次，就是取到192是96次?！纠?】（難度等級 ）小明寫自然數(shù)從1到n，所寫下的數(shù)字之和是28035，則n=？【分析與解】解法一000 001 002 003 004 005 006 007 008 0

3、09010 011 012 013 014 015 016 017 018 019.990 991 992 993 994 995 996 997 998 999共有1000個數(shù)字.個位的1有100個個位的2有100個個位的3有100個.個位珠9有100個同理.十位的1、2、3、9分別有100百位的1、2、3、9有100所以1至999各位數(shù)的和是（1+2+3+9）*100*3=135001000到1999的個位、十位、百位數(shù)的和也是（1+2+3+9）*100*3=13500千位有1000個1，他們的和是1000。還有2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位數(shù)字的

4、和是35全部相加是13500+13500+1000+35=28035解法二:（0、1999），（1、1998），（3，1997）（999，1000）。這樣配共1000對。每對的和都有1+9+9+9=28另外2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位數(shù)字的和是35所以(1+9+9+9)*1000+35=28035【例3】（難度等級 ）從1到1001的所有自然數(shù)按格式排列，用一個正方形框子框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)的和等于（1）1995，（2）2529，（3）1998問能否辦到？若能辦到，請你寫出正方形框里的最大數(shù)和最小數(shù)?！痉治雠c解】用一個正方形框子框出的9個數(shù)的和必

5、定是框子中間的數(shù)的9倍。(1)因為1995不是9的倍數(shù)，所以9個數(shù)的和為1995不可能。(2)2529÷9=281又281÷7=40余1即281在所有數(shù)的排列中，它排在左邊第一列上，所以不可能以它為中心構成一個9個數(shù)的正方形框。(3)1998÷9=222 222÷7=31余5框中最大數(shù)是222+1+7=230框中最小數(shù)是222-1-7=214【例4】（難度等級 ） 如果四個兩位質數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析與解】兩位的質數(shù)有11，13，17，19，

6、23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168【例5】（難度等級 ） 如果某整數(shù)同時具備如下3條性質： 這個數(shù)與1的差是質數(shù)； 這個數(shù)除以2所得的商也是質數(shù)； 這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5 那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)求出所有的兩位幸運數(shù)【分析與解】 條件也就是這個數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個數(shù)滿足條件其中86與50不

7、符合，32與68不符合，三個條件都符合的只有14所以兩位幸運數(shù)只有14【例6】（難度等級 ）圖中兩個圓只有一個公共點a，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米兩只甲蟲同時從a出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠?【分析與解】圓內的任意兩點，以直徑兩端點得距離最遠如果沿小圓爬行的甲蟲爬到a點，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到b點，兩甲蟲的距離便最遠小圓周長為×30=307r，大圓周長為48 ，一半便是24 ，30與24的最小公倍數(shù)時120 120÷30=4120÷24=5所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個圓周長，即爬到了過a的直徑另一

8、點b這時兩只甲蟲相距最遠【例7】（難度等級 ）有8個盒子，各盒內分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216從216減去5的倍數(shù)，所得差的個位數(shù)字只能是1或6觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個位數(shù)字是6的，只有一個個位數(shù)字是1的數(shù)31因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖【例8】（難度等級 ）用a，b，c，d，e分別代表五進制中五個互不相

9、同的數(shù)字，如果(ade)，(adc)，(aad)是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么(cde)所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是多少?【分析與解】 注意(adc)+(1)=(aab)，第二位改變了，也就是說求和過程個位有進位，則b=0，而c=(10)(1)=(4)，則c=4而(ade)+(1)=(adc)，所以e+1=c，則e=3又d+1=口，所以d=1，a=2那么，(cde)為(413)=4×5+1×5+3=108即(cde)所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是108【例9】（難度等級 ）將自然數(shù)按從小到大的順序排列成螺旋形，2處拐一個彎，在3處拐第二個彎，在5處拐第三個彎，問拐第20

10、個彎的地方是哪個數(shù)?！痉治雠c解】 拐彎的序數(shù)01234567拐彎處的數(shù)12357101317下面一列數(shù)中，相鄰兩數(shù)的差是 1、1、2、2、3、3、4、4、第20個拐彎處的數(shù)是1+2×(1+2+10)=111【例10】（難度等級 ） 把連續(xù)奇數(shù)1、3、5、7，按右邊的方法排列。問：數(shù)1995在哪條射線上？是這射線的第幾個數(shù)？【分析與解】1995是第(1995+1)÷2=998個奇數(shù)，因為周期數(shù)是8，998÷8=1246，所以數(shù)1995在射線c上，且是第124×2+2=250個數(shù)。【例11】（難度等級 ）一個正整數(shù)，如果用進制表示為，如果用進制表示為，請用1

11、0進制表示這個數(shù).【分析與解】解：由題意知：0a,c4,0b4,設這個正整數(shù)為n,則na×72b×7c, n=c×52b×5a49a7bc25c5ba48a2b24c0 b12(c2a)12b,又0b4b0, c2a當a1,c2時，n51當a2,c4時，n102【例12】（難度等級 ）甲、乙兩個三位數(shù)的乘積是一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的后四位是1031。如果甲數(shù)的數(shù)字和是10，乙數(shù)的數(shù)字和是8，那么甲、乙兩數(shù)和是多少？【分析與解】方法一：很顯然，這道題的突破口是在個位數(shù)上乘積的尾數(shù)是1，只有1×1，3×7或者9×9兩種可能，如果

12、是1×1，根據(jù)1031判斷，甲數(shù)和乙數(shù)的十位為0和3，1和2，4和9，5和8，6和7.很容易試出這些均不成立。根據(jù)乙的數(shù)字和是8，判斷只有3×7這種可能假設乙的個位數(shù)是7，則只能是107。根據(jù)乘積的尾數(shù)判斷，甲的十位數(shù)應該是3。（因為這個數(shù)乘以7的乘積加上個位數(shù)進位2，得3）所以甲就是433433×10746331 不合題意。所以乙的個位數(shù)只能是3，甲的個位數(shù)只能是7。所以甲有以下情況，127 217 307三種情況根據(jù)上述方法很容易判斷出甲是217，乙是143方法二：根據(jù)棄九法得知，乘積是3031=31×7×11×13，適當組合可得

13、知兩數(shù)為31×7=217，11×13=143，和為360.【例13】（難度等級 ）有43位同學，他們身上帶的錢數(shù)從8分到5角，錢數(shù)各不相同，每個同學都把身上全部的錢各自買了畫片。畫邊有兩種：3分錢一張的，和5非錢一張的。每人盡可能多賣5分錢一張的畫片。問，他們能買的3分錢畫片的總數(shù)是多少張？【分析與解】43人的錢從8分到5角各不相同,說明這些人身上的錢分別是:8分,9分,.,49分,50分.下面分情況討論: 8=3*1+5*1 (意思是3分錢一張,5分前一張) 9=3*3+5*010=3*0+5*211=3*2+5*112=3*4+5*013=8+5=3*1+5*2.50=

14、3*0+5*10.說明:當錢除以5余1的時候,可以買2張3分的;有8個人.當錢除以5余2的時候,可以買4張3分的;有8個人.當錢除以5余3的時候,可以買1張3分的;有9個人.當錢除以5余4的時候,可以買3張3分的;有9個人.當錢除以5整除的時候,可以買0張3分的.有9個人.所以一共買了2*8+4*8+1*9+3*9=84張3分的. 【例14】（難度等級 ）對于由15組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進行如下的一次置換操作：記首位數(shù)字為k，則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對換例如，24513可以進行兩次置換：245134251312543可以進行4次置換的五位數(shù)有多少個？【分析

15、與解】經(jīng)過4次置換后最后結果必為12345，所以可進行4次置換的五位數(shù)可由12345進行4次首位與其他位的調換得到，規(guī)則為從首位上調換出的數(shù)不能再與首位調換，那么這樣的調換方法共有4×3×2×124種，即可進行4次置換的五位數(shù)有24個。【例15】（難度等級 ）有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)。將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均數(shù)是多少？【分析與解】如果是4個非0數(shù)字則應該能組成4×3×2×1=24個不同的4位數(shù)，而實際只能組成18個不同的4位數(shù)，

16、則4個數(shù)字中必然有0。因為完全平方數(shù)的個位數(shù)只能為1，4，5，6，9（0必須成對出現(xiàn)），所以剩下的3個數(shù)字必有兩個是這5個中的2個，若最小的數(shù)字是4，5，6的話，只有9604和4096為完全平方數(shù)，但4096并不是這4個數(shù)字所組成的最小的四位數(shù)，不滿足題意，所以最小數(shù)字為1，此時1089和9801這兩個四位數(shù)滿足題意。因此這4個數(shù)字為0、1、8、9，所能組成的四位數(shù)千位為1、8、9的均有6個，所以這18個四位數(shù)千位上之和為1×6+8×6+9×6=108,同理，個位百位十位上的數(shù)字之和均為72，所以這18個四位數(shù)之和為108×1000+72×10

17、0+72×10+72=115992，其平均數(shù)為6444【例16】（難度等級 ）有些三位數(shù)，如果它本身增加3，那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來三位數(shù)的求所有這樣的三位數(shù)【分析與解】設這個三位數(shù)為，數(shù)字和為a+b+c，如果沒有進位，那么，顯然數(shù)字和增加了3，不滿足，所以一定有進位，則+3=，數(shù)字和為0+(b+1)+(c+310)= ，則a+b+c=9，而c+3必須有進位，所以c只能為7，8，9 一一驗，如下表：c的值789a+b的值210a的值211-b的值010-的值207117108-驗證當十位進位及十位、個位均進位時不滿足所以，原來的三位數(shù)為207，117或108【例17】

18、（難度等級 ）有1、a、b、c四個整數(shù)，滿足abc2001，而且1abc。這四個整數(shù)兩兩求和得到六個和，把這六個數(shù)按從大到小排列起來，恰好構成一個等差數(shù)列。請問：a、b、c分別是多少？【分析與解】滿足條件的情況有兩種：；先看：，所以有，又，所以，得，；再看，所以有，又，所以，得，不符合題意；所以，?！纠?8】（難度等級 ）在一個國家里，國王要建n個城市，在城市之間建n-1條道路，使得從每個城市都能到達另一個城市(每條道路連接兩個城市，道路不相交，不穿過其它城市)且一個城市到另一個城市最短路線分別為1,2,3,，。若(1) n6；(2) n2006； 國王的要求能否辦到? 【分析與解】（1）n=

19、6時，可以按如下的方法設計道路。設a,b,c,d,e,f為六個城市，從c引出三條道路，分別通向a,b,d，長度分別為1，2，5。從再引出兩條道路，分別通向e,f，長度分別為4，8。此時即可滿足要求，所以n=6時，國王的要求可以辦到。（2）根據(jù)在n個城市之間建n-1條道路可知，從一個城市到另一個城市只有唯一的路線。把城市染成紅色，若城市與之間的路程為偶數(shù)，則也染上紅色，否則染上黃色，這樣可以把所有城市均染成紅色或黃色，并且兩城市同色時，它們之間的路程為偶數(shù)，否則它們之間的路程為奇數(shù)。設有個城市染成紅色，y個城市染成黃色，則由一個紅色城市與一個黃色城市配對可配成xy對，所以在所有的路程中有xy個奇

20、數(shù)。若是偶數(shù)，則1,2,3，中有一半是奇數(shù)，所以有xy=n(n-1)。又因為x+y=n，則n=n-4xy=(x+y)-4xy=(x-y)。若是奇數(shù)，則1,2,3，中有n(n-1)+1個奇數(shù)，所以有 xy=n(n-1)+1=n(n-1)+。又因為x+y=n，則n=n-4xy+2=(x+y)-4xy=(x-y)+2，即n-2=(x-y)。因此，如果題目中的要求可以實現(xiàn)，則n或n-2是完全平方數(shù)，由于2006和2004都不是完全平方數(shù)，所以國王的要求不能辦到?！纠?9】（難度等級 ）有13個不同自然數(shù)，它們的和是100問其中偶數(shù)最多有多少個?最少有多少個?【分析與解】13個整數(shù)的和為100，即偶數(shù)，

21、那么奇數(shù)個數(shù)一定為偶數(shù)個，則奇數(shù)最少為2個，最多為12個；對應的偶數(shù)最多有11個，最少有1個但是我們必須驗證看是否有實例符合當有11個不同的偶數(shù)，2個不同的奇數(shù)時，11個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22132，而2個不同的奇數(shù)和最小為1+34，它們的和最小為132+4136，顯然不滿足；當有9個不同的偶數(shù)，4個不同的奇數(shù)時，9個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+1890，而4個不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+716，還是大于100，仍然不滿足；當有7個不同的偶數(shù)，6個不同的奇數(shù)時，7個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+

22、1456，6個不同的奇數(shù)和為1+3+5+7+9+1136，滿足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即為100類似的可知，最少有5個不同的偶數(shù)，8個不同的奇數(shù)，有2，4，8，10，16，1，3，5，7，9，11，13，15滿足所以，滿足題意的13個數(shù)中，偶數(shù)最多有7個，最少有5個【例20】（難度等級 ）圖中，第1行將1到100的自然數(shù)依從小到大排列；第2行有99個自然數(shù)，第1個是第1行第1個自然數(shù)和第2個自然數(shù)的和，, 第k個是第1行第k個自然數(shù)和第k+1個自然數(shù)的和， ； 從第2行起，根據(jù)第2行的規(guī)律排列，一直到第100行. 請問：圖中一共有多少個自然數(shù)能被77整

23、除. 第1行 1 2 3 4 5.96 97 98 99 100 第2行 3 5 7 9. 193 195 197 199第3行 8 12 16. 388 392 396 第4行 .第5行 .第6行 . . .第100行 第100行 【分析與解】規(guī)律是：第3、5、7、99行的整數(shù)是第1行某個整數(shù)的4k倍，第2、4、100行的整數(shù)是第2行某個整數(shù)的4k倍?！咀鳂I(yè)】1設a共有9個不同的約數(shù)，b共有6個不同的約數(shù)，c共有8個不同的約數(shù)，這三個數(shù)中的任何兩個都不整除，則這三個數(shù)之積的最小值是多少？【答案】172802有一列數(shù)，第一個數(shù)是100，第二個數(shù)是76，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前面兩個數(shù)的平均數(shù)

24、，那么第2009個數(shù)的整數(shù)部分是 ?！敬鸢浮?4.3若自然數(shù)n使得豎式加法n（n1）（n2）不產生進位現(xiàn)象，便稱n為“躍進數(shù)”。例如12是“躍進數(shù)”，因為121314做豎式加法不產生進位現(xiàn)象；而13不是“躍進數(shù)”。那么不超過1000的“躍進數(shù)”共有 個?！敬鸢浮?94講1到101寫在黑板上，得到12345678910111213100101，先刪去這個數(shù)中從左到右數(shù)所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，再刪去所得的數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，.，依次類推，那么最后刪去的數(shù)字是_【答案】65有一路公共汽車，包括起點和終點站在內，共有15個車站。如果有一輛車，除終點站外，每一站上車的乘客中，恰好各有一位乘客從這

25、一站到以后的每一站。為了使每位乘客都有座位，問這輛公共汽車至少要有多少個座位？【答案】56挑戰(zhàn)自己 （難度等級 ）一位老師告訴、五位學生一個三位數(shù)之后，有以下的對話出現(xiàn)：學生：這個數(shù)可以被27整除；學生：這個數(shù)可以被12整除；學生：這個三位數(shù)的所有數(shù)字和為15；學生：這個數(shù)是一個完全平方數(shù)；學生：這個數(shù)可以整除648 000上述五個句子中，只有三句是真的。試求?！敬鸢浮?24，108，216，432，864，540，900，144，576 第二講 數(shù)論綜合（二）【專題知識點概述】在整個數(shù)學領域，數(shù)論被當之無愧的譽為“數(shù)學皇后”。翻開任何一本數(shù)學輔導書，數(shù)論的題型都占據(jù)了顯著的位置。在小學各類數(shù)

26、學競賽和小升初考試中，我們系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)，直接運用數(shù)論知識解題的題目分值大概占據(jù)整張試卷總分的30%左右，而在競賽的決賽試題和小升初一類中學的分班測試題中，這一分值比例還將更高。【授課批注】具有相當難度，需要靈活運用各種整數(shù)知識，或與其他方面內容相綜合的數(shù)論同題【習題精講】【例1】（難度等級 ）一臺計算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“7”和“0”以及加法鍵“+”尚能使用，因此可以輸入77，707這樣只含數(shù)字7和0的數(shù)，并且進行加法運算為了顯示出222222，最少要按“7”鍵多少次?【分析與解】222222÷731746，即22222270000×3+7000×1+700

27、×7+70×4+7×6，而70000，7000，700，70，7均只用按一次7，所以222222最少只用按3+1+7+4+621次“7”鍵即可顯示【例2】（難度等級 ）有一批圖書總數(shù)在1000本以內，若按24本書包成一捆，則最后一捆差2本；若按28本書包成一捆，最后一捆還是差2本書；若按32本包一捆，則最后一捆是30本那么這批圖書共有本【分析與解】經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，原書的本書如果多2本，那么原來書的數(shù)目就會同時是24，28，32的倍數(shù)，而，24,28,32=672，且原書的本書不超過1000本，所以原來的書有672-2=670(本)【例3】（難度等級 ）一個五位數(shù)恰好等

28、于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個五位數(shù)是 .【分析與解】這個五位數(shù)等于各位數(shù)字之和乘以2007，2007是3，3，223，三個數(shù)字之積，所以這個五位數(shù)是9的倍數(shù)，各位數(shù)字之和也是9的倍數(shù)（一個數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的各位數(shù)字之和也是9的倍數(shù)，）所以這個五位數(shù)可能是2007×9，2007×18，2007×27，2007×36容易得出：2007×18和2007×27符合題目.【例4】（難度等級 ）在紙上寫著一列自然數(shù)1，2，98，99.一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個數(shù)劃去，然后把這三個數(shù)的和寫在數(shù)列的最后面.例如一次操作后得到4，5，

29、98，99，6；而兩次操作后得到7，8，98，99，6，15.這樣不斷進行下去，最后將只剩下一個數(shù)，則最后剩下的數(shù)是 .【分析與解】觀察規(guī)律發(fā)現(xiàn)，最后一個數(shù)字即為1到99的和，為4950.【例5】（難度等級 ）有兩種規(guī)格的9箱鋼珠，每箱300個，甲種鋼珠每個10克，乙種鋼珠每個11克，將這9箱鋼珠編為19號，然后依次從19號箱中取出20，21，22，23，24，25，26，27，28，個鋼珠，這些鋼珠共重5555克。問：哪幾箱是甲種鋼珠？【分析與解】 本題很明顯地表明在考察二進制的相關知識點同時對于這種出現(xiàn)兩種規(guī)格要求和的問題，可以采用假設法假設全為甲種規(guī)格的鋼珠，則每箱各取20，21，22，

30、23，24，25，26，27，28，一共取出29-1=511個，則應重10×511=5110克，比實際的少了5555-5110 =445克，此重量應該來自乙種鋼球，由于乙種鋼球每個比甲種重1克，以二進制表示445為(110111101)2，也就是說445=28+27+25+24+23+22+20，則只有2號箱與7號箱是甲種鋼珠【例6】（難度等級 ）把除1外的所有奇數(shù)依次按一項，二項，三項，四項循環(huán)的方式進行分組：(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，3l，33)，(35，37，39，41)，(43)，那么，第1994個括

31、號內的各數(shù)之和是多少?【分析與解】 我們把每4個括號組成一個周期，1994÷44982，在前498個周期內有奇數(shù)(1+2+3+4)×4984980個，而第1993個括號內有2個奇數(shù)，即第4980+1+14982個奇數(shù)，第4982+14983個奇數(shù)而4982×2+19965，4983×2+19967，9965+996719932即第1994個括號內的各數(shù)之和是19932【例7】（難度等級 ）2001個球平均分給若干人，恰好分完。若有一人不參加分球，則每人可以多分2個，而且球還有剩余，若每人多分3個，則球的個數(shù)不足。問原來每人平均分到多少個球?【分析與解】

32、 設2001個球平均分給n個人，每人分得x個球，則nx20013×23×29。若n3×23，那么每個人分得球數(shù)不多于29個，如果一人不參加分球，則多余的球(不多于29個)被其余的人分，每人不足1個，不合題意；若n23，那么每個人分得的球數(shù)不少于3×2987個，如果一人不參加分球，則多余的球(不少于87個)每人至少可以分3個，也不合題意；若n29，那么每個人分得的球數(shù)是3×2369個，如果一人不參加分球，則多余的球(69個)每人可以多分2個，還有剩余，符合題意。答：原來每人分到69個球。    精析:因20

33、01個球平均分給若干人，正好分完，說明這時分球的人數(shù)和每人分的球數(shù)都是2001的約數(shù)?？蓪?001分解質因數(shù)，再探討其各種分法的可能性?！纠?】（難度等級 ）一堆球，如果球的總數(shù)是10的倍數(shù)，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的總數(shù)不是10的倍數(shù)，就添加不多于9個球，使球數(shù)成為10的倍數(shù)，再平均分成10堆并拿走9堆這個過程稱為一次“均分”若球僅為一個，則不做“均分”如果最初有球123419961997個，問經(jīng)過多少次“均分”和添加多少個球后，這堆球便僅余下一個球?【分析與解】 設最初有n個球，nak-110k-1+ak-210k-2+a110+a0，a00，ak-10第一次添加(10a0)個，

34、分成10堆，拿走9堆后留下的球數(shù)是：ak-110k-2+ak-210k-3+a210+a1+1若a19，不必添加，就可以分成10堆若a19，則添加10(a1+1)個，再分成10堆無論a19還是a19，兩次“均分”，共需要添加(10a0)+(9a1)個球，余下小堆的球數(shù)是：ak-110k-3+ak-210k-4+a310+a2+1同樣道理，第三次“均分”，需添加10(a2+1)個球，連同第一、二次“均分”時添加的球共添加了(10a0)+(9a9)+(9a2)個球并且，“均分”一次，k位數(shù)n就少一位經(jīng)過k-1次均分，余下ak-1+11個球所以，經(jīng)過k次“均分”后，就余下1個球總共添加的球數(shù)是：10

35、+9(k-1)(a0+a1+ak-2+ak-1)個當n123419961997時，n的位數(shù)k1×9+2×90+3×900+4×(1997999)9+180+2700+400086881n的數(shù)字和也就是1，2，3，1996，1997中所有數(shù)字的和如果在后面再添加上1998，1999，那么1在千位出現(xiàn)1000次；0，1，2，9在百位，十位，個位都各出現(xiàn)200次，所以n的數(shù)字和為：1×1000+3×200×(1+2+3+9)(1+9+9+8+1+9+9+9)27945因此所加的球數(shù)時10+9×68802794533985

36、個所以“均分”6881次，添加了33985個球【例9】（難度等級 ）在一根長木棍上，有三種刻度線第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段? 【分析與解】 10，12，15的最小公倍數(shù)10，12，15=60，把這根木棍的作為一個長度單位，這樣，木棍10等份的每一等份長6個單位；12等份的每等份長5個單位；15等份的每等份長4單位 不計木棍的兩個端點，木棍的內部等分點數(shù)分別是9，11，14(相應于10，12，15等份)，共計34個 由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點在30單位處相重，

37、必須從34中減1 又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2 同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等份的等分點在12，24，36，48單位處相重，必須再減去4 由于這些相重點各不相同，所以從34個內分點中減去1，再減去2，再減去4，得27個刻度點沿這些刻度點把木棍鋸成28段【例10】（難度等級 ）有一位奧運會志愿者，向看臺上的一百名觀眾按順序發(fā)放編號1，2，3，100，同時還向每位觀眾贈送一個單色喇叭他希望如果兩位觀眾的編號之差是質數(shù)，那么他們拿到的喇叭就是不同顏色的為了實現(xiàn)他自己的愿望，他最少要準備 種顏色的喇叭【分析與解】

38、1-100的數(shù)中，只有1、3、6、8這4個數(shù)中每兩兩數(shù)差勻為質數(shù)，因此實現(xiàn)他自己的愿望，只需要4種顏色的喇叭?！纠?1】（難度等級 ）200名同學編為1至200號面向南站成一排第1次全體同學向右轉（轉后所有的同學面朝西）；第2次編號為2 的倍數(shù)的同學向右轉；第3次編號為3的倍數(shù)的同學向右轉；第200次編號為200的倍數(shù)的同學向右轉；這時，面向東的同學有 名【分析與解】因為開始所有人面向南，最后的結果是面向東，所以轉3、7、11次的人即為所求。根據(jù)題意，編號有幾個約數(shù)就向右轉幾次，那么最后面向東面的數(shù)必是奇數(shù)個數(shù)的倍數(shù)，即這個數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個，且個數(shù)為4n+3。哪些數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個呢？由于是奇數(shù)

39、個約數(shù)，這些數(shù)一定是平方數(shù)。如：4的約數(shù)有1、2、4三個；9的約數(shù)有1、3、9三個；25的約數(shù)有1、5、25三個，64的約數(shù)有1、2、4、8、16、32、64七個但是：如平方數(shù)16既是1、4、16的倍數(shù)，還是2、8的倍數(shù)，即16的約數(shù)有5個，不符合個數(shù)為4n+3這一要求。所以要刪除。以下這些數(shù)是最后面向東面的同學：4、9、25、49、64、121、144、169。共8位同學?！纠?2】（難度等級 ）設a與b是兩個不相等的非零自然數(shù)(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值?(2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值?【分析與解】(1)

40、a與b的最小公倍數(shù)72=2×2×2×3×3，有12個約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨設ab第一種情況: 當a=72時，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b72+1=73；第二種情況: 當a=36時，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值；第三種情況：當a=24時，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值；第四種情況：當a=18時，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值；第五種情況：當a=12時，b無解；第六種情況：當a=9時，b必須取8，a+b=17，不

41、同于第一、二、三、四情況中的值 總之，a+b可以有l(wèi)l+2+2+1+1=17種不同的值(2)60=2×2×3×5，有12個約數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b為60的約數(shù)，不妨設ab第一種情況:當a=60時，b可取60外的任何一個數(shù)，即可取11個值，于是ab可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；第二種情況: 當a=30時，b可取4，12，20，于是ab可取26，18，10；第三種情況：當a=20時，b可取3，6，12，15，所以ab可取17，14，8，5；第四種情況：當a=15時，b

42、可取4，12，所以ab可取11，3；第五種情況：當a=12時，b可取5，10，所以ab可取7，2總之，ab可以有11+3+4+2+2=22種不同的值【例13】（難度等級 ）將自然數(shù)n接寫在任意一個自然數(shù)的右面，如果得到的新數(shù)都能被n整除，那么n稱為“魔術數(shù)”問小于1996的自然數(shù)中有多少個“魔術數(shù)”?【分析與解】當這個“魔術數(shù)”為一位數(shù)時，設為，則將寫到任意一個自然數(shù)a的右邊得到的新的自然數(shù)為10a+，要求10a+能被整除，只用10a能被整除，而a是任意選擇的，所以應是10的約數(shù)，有可以為5，2，1類似的分析知，兩位數(shù)的魔術數(shù)應是100的約數(shù)，即可以為50，25，2010三位的魔術數(shù)應是100

43、0的約數(shù)，即可以為500，250，200，125，100四位的魔術數(shù)應是10000的約數(shù)，即可以為5000，2500，2000，12501000于是小于1996的魔術數(shù)有1，2，5，10，20，25，50，100，125，200，250，500, 1000, 1250這14個數(shù)【例14】（難度等級 ）圓周上放有n枚棋子，如圖28-2所示，b點的那枚棋子緊鄰a點的棋子小洪首先拿走b點處的1枚棋子，然后沿順時針方向每隔1枚拿走2枚棋子，這樣連續(xù)轉了10周，9次越過a當將要第10次越過a處棋子取走其他棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子若n是14的倍數(shù)，請精確算出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子?【分析與

44、解】設圓周上余a枚棋子，從第9次越過a處拿走2枚棋子到第10次將要越過a處棋子時，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次將要越過a處棋子時，圓周上有3a枚棋子 依次類推，在第8次將要越過a處棋子時，圓周上有32a枚棋子，在第1次將要越過a處棋子時，圓周上有3a枚棋子，在第1次將要越過a處棋子之間，小洪拿走了2(3a-1)+枚棋子，所以n=2(3a-1)+1+3a=310a-1 n=310a-1=59049a-l是14的倍數(shù)，n是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；又n=(7×8435+4) a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必須是7的倍數(shù)當a=21，25，27，29時，

45、4a-1不是7的倍數(shù)，當a=23時，4a-1=91=7×13,是7的倍數(shù)所以圓周上還有23枚棋子【例15】（難度等級 ）老師在黑板上依次寫了三個數(shù)21、7、8，現(xiàn)在進行如下的操作，每次將這三個數(shù)中的某些數(shù)加上2，其他數(shù)減去1，試問能否經(jīng)過若干次這樣的操作后，使得：(1)三個數(shù)都變成12？ (2)三個數(shù)變成23、15、19？【分析與解】如果兩個數(shù)都加上2，那么它們的差不變；如果兩個數(shù)都減去1，那么它們的差也不變；如果一個數(shù)加上2，一個數(shù)減去1，那么它們的差增大或減小3所以，不管怎樣，它們的差增大或減小3的倍數(shù)也就是說，不管怎么操作，這兩個數(shù)的差除以3的余數(shù)是不變的21與7的差除以3的余

46、數(shù)為2；21與8的差除以3的余數(shù)為1；7與8的差除以3的余數(shù)為1（1)三個數(shù)都變成12，那么它們的差除以3的余數(shù)都是0，顯然與開始給出的三個數(shù)之間差的余數(shù)有變化，所以不滿足；(2)三個數(shù)變成23、15、19，它們之間差除以3的余數(shù)依次為：23與15的差除以3的余數(shù)為2；23與19的差除以3的余數(shù)為1；15與19的差除以3的余數(shù)為1也就是說與開始給出的三個數(shù)之間差的余數(shù)沒變化，所以滿足【例16】（難度等級 ）大于0的自然數(shù)n小于100，并且滿足等式，其中表示不超過x的最大整數(shù)，這樣的自然數(shù)n有多少個？【分析與解】定義新運算。首先理解好新的定義，翻譯成數(shù)學語言即為 x x，且為整數(shù)。范圍大的題目，

47、觀察已知條件，尋找切入點。題目中算式為同學熟悉的變形， ，結合x x，則可知2|n， 3|n， 6|n，即n是6的倍數(shù)，總共有16個?！纠?7】（難度等級 ）在11張卡片上各寫有一個不超過5的數(shù)字，將這些卡片排成一行，得到一個11位數(shù)；再將它們按另一種順序排成一行，又得到一個11位數(shù).請證明這兩個11位數(shù)的和的十進制表達式中至少有一位數(shù)字是偶數(shù)。【分析與解】如果在求和時發(fā)生進位現(xiàn)象，那么這只有在兩個11位數(shù)的同一位數(shù)字都是5時才有可能成立，而在出現(xiàn)進位的最右面的位置上，和數(shù)的該位數(shù)字一定為0。如果在求和時不發(fā)生進位現(xiàn)象，那么只有在卡片上奇數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)相同時，和數(shù)的各位數(shù)字才為奇數(shù)，所以不可

48、能出現(xiàn)這種情況，所以和數(shù)中至少有一位數(shù)字是偶數(shù)?！纠?8】（難度等級 ）對于兩個不同的整數(shù)，如果它們的積能被和整除，就稱為一對“好數(shù)”，例如70與30。那么在1，2，16這16個整數(shù)中，有好數(shù)多少對？【分析與解】由題意不難發(fā)現(xiàn)，符合要求的兩個數(shù)必定要有公約數(shù)。 于是，設兩數(shù)分別為mk、nk，則：mk×nk÷(m+n)k=m×n×k÷(m+n)， 由此可知，要整除，k必須等于m+n，或者nk等于m+n。 這樣，可以得到：1×3、2×3為一組，即3、6； 1×4、3×4為一組，即4、12； 2×5、

49、3×5為一組，即10、15； 2×3、4×3為一組，即6、12。 所以，在1，2，.，16這16個整數(shù)中，有好數(shù)4對?！纠?9】（難度等級 ）a1998×1998×1998×1998(1998個1998)，a的各位數(shù)字之和是b，b的各位數(shù)字之和是c，c的各位數(shù)字之和是d，求d?！痉治雠c解】先估算a的位數(shù)，因為199810000，而50個10000連乘，共有4×501201（位），所以a的位數(shù)不會超過201位，且每位上的數(shù)字不會超過9，于是9×2011809.由于b1809，則b最多是4位數(shù)，且首位不超過1，從而c不

50、超過199928.因此推知：它最多是三位數(shù)，且首位不超過2，則d2911.又a是9的倍數(shù)，所以b、c、d是9的倍數(shù)，且d不等于0，所以d為9.【例20】（難度等級 ）將1，2，3，49，50任意分成10組，每組5個數(shù)在每一組中，數(shù)值居中的那個數(shù)稱為“中位數(shù)”求這10個中位數(shù)之和的最大值與最小值【分析與解】設10個“居中數(shù)”從小到大是a1，a2，a3，a9，a10，它們所代表得那一組數(shù)分別為第一組，第二組，第三組，第九組，第十組a1比第一組中兩個數(shù)大，所以a13，a2比第二組中兩個數(shù)大，又比第一組得前3個數(shù)大，所以a26，依次類推，a10比第十組中兩個數(shù)大，又比前九組中，每組得前3個數(shù)大，所以a

51、1030因此，居中和s3+6+30165 另一方面，a10比第十組中兩個數(shù)小，所以a1050248a9比第九組中兩個數(shù)小，又比第十組得后3個數(shù)小，所以a950545依次類推，a1比第一組中兩個數(shù)小，又比后九組中，每一組得后3個數(shù)小，所以a1509×3221因此，居中和s48+45+21345 、中的等號都可以成立，例如分組：(1，2，3，49，50)，(4，5，6，47，48)，(7，8，9，45，46)，(10，11，12，43，44)，(13，14，15，41，42)，(16，17，18，39，40)，(19，20，21，37，38)，(22，23，24，35，36)，(25，2

52、6，27，33，34)，(28，29，30，31，32) 居中數(shù)的和為3+6+9+12+15+27+30165，這是最小的居中和；又如分組：(50，49，48，1，2) ，(47，46，45，3，4)，(44，43，42，5，6)，(41，40，39，7，8)，(38，37，36，9，10)，(35，34，33，11，12)，(32，31，30，13，14)，(29，28，27，15，16)，(26，25，24，17，18)，(23，22，21，19，20)居中數(shù)的和為21+24+27+30+33+45+48345，這是最大的居中和所以，最大的居中和為345，最小的居中和為165【作業(yè)】1.如

53、果一個五位數(shù)，它的各位數(shù)字乘積恰好是它的各位數(shù)字和的25倍那么，這個五位數(shù)的最大值是 【答案】755312.在算式(ab)(cd)中，,代表的是三個互不相同的四則運算符號（即加、減、乘、除），a,b,c,d是4個互不相同的非零阿拉伯數(shù)字如果無論,具體代表的是哪三個互不相同的四則運算符號，(ab)(cd)的計算結果都是整數(shù)那么，四位數(shù)是 【答案】93213.給你一架天平和兩個砝碼，這兩個砝碼分別重50克和100克，如果再添上3個砝碼，則這5個砝碼能稱出的重量種類最多是 種.（天平的左右兩盤均可放砝碼）【答案】944a，b是兩個自然數(shù)，對它們的描述有這樣的四句話：（1）a+1能被b整除；（2）a=2b+5；（3）a+b能被3整除；（4）a+7b是質數(shù)。不過這四句話中恰有三句話是正確的，恰有一句話是錯誤的，那么a的所有可能的值是_【答案】9，175電子跳蚤游戲盤（如下圖）為abc，ab=8，ac=9，bc=10，如果電子跳蚤開始時在bc邊上p0點，bp0=4。第一步跳蚤跳到ac邊上的p1點，且cp1=cp0；第二步跳蚤從p1跳到ab邊上的p2點，且ap2=ap1；第三步跳蚤從p2跳回到ac邊上的p3點，且bp3=bp2；跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落點為p2001，請計算p0與p2001之間的距離?！敬鸢浮?挑戰(zhàn)自己 （難度等級 ）用若干個l×6和l&