排列數(shù)組合數(shù)公式及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

1、排列數(shù)、組合數(shù)及二項(xiàng)式定理整理慈濟(jì)中學(xué)全椒 劉1、排列數(shù)公式 =.(，n*，且)2、排列恒等式 (1);(2);(3); (4);(5).(6) .3、組合數(shù)公式 =(n*，且).4、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)= ; (2) +=.5、排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .6、二項(xiàng)式定理：【注】：1基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù).項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng)，是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用表示。2注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng)。順序：注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排

2、列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。3常用的結(jié)論：令 令 4性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，···二項(xiàng)式系數(shù)和：令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用

3、待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。7、組合數(shù)公式的應(yīng)用:公式1 += 此公式可由下面方法推得從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)為先將其分為個(gè)元素中不含其中一個(gè)元素的和含元素的兩類而這兩類的組合數(shù)分別為與即得=+，依此再將組合數(shù)分為兩類可得=+，不斷將組合數(shù)上標(biāo)為的項(xiàng)進(jìn)行如此分類即得公式1。公式2 .+.+.+= 此公式可由下面方法推得。從放在一個(gè)盒中的m個(gè)不同黑球與n個(gè)不同白球中任取出k的球的方法種數(shù)為，將取出的k個(gè)球按所含白球數(shù)分類，分為含白球數(shù)為0個(gè)，1個(gè)，2個(gè).k個(gè)共k+1類，取法種數(shù)分別為.，.，.，即得公式2。下面舉例說明以上兩個(gè)公式在數(shù)列求和

4、方面的應(yīng)用。例1 =1×2+2×3+3×4+. +n×(n+1) 求解：1×2+2×3+3×4+. +n×(n+1)= 2(+)=2=例2 求=12+22+32+n2解：= 2=n2+n 2（+）=+2=+ 得=+整理得=例3求=13+23+33+n3解：= 6=n3+3n2+2n6（+）=+3+2 6=+3+2 解出并整理得= 用類似的方法可求出an=n4，an=n5，的和。例4 一盒內(nèi)有大小相同的黑球m個(gè)，白球n個(gè)，從中任取m個(gè)球（mm，mn），求含有白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解：由題意的所有可能取值為0，1，2，

5、.，m。分布列為：012m-1mpe=（+2+（m-1）+m） e=（+）e=（+）(=)e=（此為超幾何分布的數(shù)學(xué)期望）8、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：解：與已知的有一些差距， 練：解：設(shè)，則題型二：利用通項(xiàng)公式求的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為，求含有的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知，即，解得，由，由題意，則含有的項(xiàng)是第項(xiàng),系數(shù)為。練：求展開式中的系數(shù)？解：，令,則故的系數(shù)為。題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解：，令，得，所以練：求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解：，令，得，所以練：若的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則解：，令，得.題型四：利

6、用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng)？解：，令,()得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，求.解：設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為 ,則有，,則有 將-得： 有題意得，。練：若的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，求它的中間項(xiàng)。解：，解得 所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為，題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知，若展開式中第項(xiàng)，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，。練：在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？

7、解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，也就是第項(xiàng)。練：在的展開式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？解：只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則，即,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于例：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)()的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。例：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？解：由解出,假設(shè)項(xiàng)最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為,有例：在（的展開式中，系數(shù)絕對值最大項(xiàng)是 ；解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將“”型轉(zhuǎn)化為型來處理，故此答案為第4項(xiàng)，

8、和第5項(xiàng)。練：在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)項(xiàng)最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)，所以得一次項(xiàng)為它的系數(shù)為。解法： 故展開式中含的項(xiàng)為，故展開式中的系數(shù)為240.練：求式子的常數(shù)項(xiàng)？解：，設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，得, .題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：解： .練：解：.練：解：題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：解：題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為,若,則等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.練：若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為

9、，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？解：令，則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.例：解： 練：解：題型十一：整除性；例：（02濰坊模擬）求證：能被7整除。 證明： = = =49p+（） 又 =（7+1） = =7q（q） 能被7整除。例：證明：能被64整除證：由于各項(xiàng)均能被64整除題型十二：利用二項(xiàng)式定理求近似值 例15求的近似值，使誤差小于； 分析：因?yàn)?，故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。 解：= ， 且第3項(xiàng)以后的絕對值都小于， 從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。 = 小結(jié)：由，當(dāng)?shù)慕^對值與1相比很小且很大時(shí)，等項(xiàng)的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似

10、計(jì)算公式：，在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項(xiàng)的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。作業(yè)：1、求的展開式；解：原式= = =2、計(jì)算；解：原式=3、（03全國）展開式中的系數(shù)是 ；解：= 令則，從而可以得到的系數(shù)為： ，填4、（02全國）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是 ；解：在展開式中，的來源有： 第一個(gè)因式中取出，則第二個(gè)因式必出，其系數(shù)為； 第一個(gè)因式中取出1，則第二個(gè)因式中必出，其系數(shù)為的系數(shù)應(yīng)為：填。5、（04安徽改編）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ；解：上述式子展開后常數(shù)項(xiàng)只有一項(xiàng)，即6、（00京改編）求（的展開式的中間項(xiàng)；解：展開式的中間項(xiàng)為 即：。 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的展開式的中間項(xiàng)是和；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的展開式的中間項(xiàng)是。7、（00京改編）求的展開式中有理項(xiàng)共有 項(xiàng)；解：當(dāng)時(shí)，所對應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開式中有理項(xiàng)有4項(xiàng)。8、（00上海）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是 ；解：要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則必