高三專題簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、高三專題簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球【基礎(chǔ)知識(shí)】1. 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系： 2. 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 3. 球的表面積表面積s ；球的體積v 4.兩點(diǎn)間的球面距離：通過球面上a、b兩點(diǎn)的大圓劣弧的長(zhǎng)度。一、與球的截面相關(guān)的問題例1(1)一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4 cm，則該球的體積是（ ）a. cm3 b. cm3c. cm3d. cm3(2)兩個(gè)平行平面去截半徑為5的球，若截面面積分別為，則這兩個(gè)平行平面間的距離是（ ） a. 1 b .7 c . 3或4 d. 1或7(3)過球的一條半徑

2、的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為 。(4)在北緯60°的緯線上有甲、乙兩地，它們?cè)诰暰€上的弧長(zhǎng)為，r是地球半徑，則這兩個(gè)平行平面間的距離是 二、組合體的外接球和內(nèi)切球問題解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合實(shí)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等能夠借助結(jié)論直接

3、求解,此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.(一)球與柱體的組合體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球?qū)嵭谐浞值慕M合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)實(shí)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1球與正方體如圖1所示，正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為球的球心.常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，則.圖1-1圖1-2圖1-3通過這三種類型能夠發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何

4、體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.例2. 棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）a b c d【練習(xí)】將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（ ）a 2b4c8d161.2球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存有外切球.但是不一定存有內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線為.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例3. 在長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)

5、此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為( )a. b.4 c. d. 【練習(xí)】一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為 1.3球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱柱的高為底面邊長(zhǎng)為，如圖2所示，和分別為上下底面的中心.根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高的中點(diǎn)，借助直角三角形的勾股定理，可求.例4.已知底面邊長(zhǎng)為正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。例5. 正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有

6、最 值，為 .【練習(xí)】直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球的表面積為（ ）a b c d(二)球與錐體的組合體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球?qū)嵭谐浞值慕M合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1 球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系.如圖3，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為,取的中點(diǎn)為，為在底面的射影，連接為正四面體的高. 在截面三角形,作一個(gè)與邊和相切，圓心在高上的圓,即為

7、內(nèi)切球的截面.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為.此時(shí)，,則有解得：cbadsoe圖3這個(gè)解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，外接球半徑是內(nèi)切球半徑的3倍,即球心為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便.例6.過球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度例7把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主

8、要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱錐補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體.常見兩種形式：一是三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.如圖5，三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合.設(shè)，則.二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.(為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)).例8. 在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 .【練習(xí)】已知正三棱錐abc,點(diǎn)p,a,b,c都在半徑為的球面上,若pa,pb,pc兩兩互相垂直,則球心到截面abc

9、的距離為_.2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例9正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切，則球的表面積為 。例10. 在三棱錐pabc中，papb=pc=,側(cè)棱pa與底面abc所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（ ） a b. c

10、. 4 d. 【練習(xí)】已知正四棱錐的底邊和側(cè)棱長(zhǎng)均為，則該正四棱錐的外接球的表面積為 .cbaso2.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置.如圖8，三棱錐,滿足取的中點(diǎn)為,由直角三角形的性質(zhì)可得：所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心,則.例11. 矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角,則四面體的外接球的體積是( )a. b. c. d.來源三、與三視圖相結(jié)合的組合體問題本類問題一般首先給出三視圖，然后考查其直觀圖的相關(guān)的組合體問題.解答的一般思路是根據(jù)三

11、視圖還原幾何體，根據(jù)幾何體的特征選擇以上介紹的方法進(jìn)行求解. 例12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的球面面積為（ ） a.5 b.12c.20d.8【練習(xí)】若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為( )a. b. c. d. 【課后練習(xí)】1. 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）a b c d 2. 表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（第4題）（ ）a b c d3. 正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )a. 1 b. 13 c

12、. 13 d. 19（第5題）4. 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）abcpdefa b c d以上都不對(duì)5. 棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .（第6題）6. 如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_答案：例1.（1）c；（2）d；（3）3:16；（4） 例2.解：由題意可知，球?yàn)檎襟w的外接球.平面截面所得圓面的半徑直線被球截得的線段為球的截面圓的直徑.練習(xí)1:解:體積最大的球是其內(nèi)切球，即球半徑為1，所以表面積為.【答案】b例3.【練習(xí)】 例4.分析：先

13、畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，則，正三棱柱的高為，由中，得，例5.練習(xí)例6.正四面體a-bcd中，外接球半徑 ，所以例7.四個(gè)球心連線是正三棱錐，棱長(zhǎng)為2，求得三棱錐的高為，第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為高+2個(gè)半徑，即例8.練習(xí)例9例10.練習(xí)例11.解：由題意分析可知，四面體的外接球的球心落在的中點(diǎn)，此時(shí)滿足 ,.例12.練習(xí)：1. （陜西理）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）a b c d 答案c2.表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為a b c d答案 a【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選a。3.（山東卷）正方體的內(nèi)切球與