九年級數(shù)學(xué)上冊 第五章 投影與視圖知識(shí)講解及例題演練 新版北師大版

1、投影與視圖知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在觀察、操作、想象等活動(dòng)中增強(qiáng)對空間物體的把握和理解能力；2.通過實(shí)例了解中心投影與平行投影；3.會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐和球的三種視圖；4.能根據(jù)三種視圖描述簡單的幾何體.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、投影1. 投影現(xiàn)象物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.2. 中心投影手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.(2)等長

2、的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長度還短.在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.要點(diǎn)詮釋： 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).3.平行投影1.平行投影的定義太陽光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣

3、長.等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.2. 物高與影長的關(guān)系在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西西北北東北東，影長也是由長變短再變長.在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長成正比例.即：.利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測量兩物體在同一時(shí)刻的影長.要點(diǎn)詮釋：1平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.2物體與

4、影子上的對應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行光線.4、正投影如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱為正投影. 要點(diǎn)詮釋：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.要點(diǎn)二、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.（2）同一時(shí)刻，太陽光下影子的方向

5、總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 2.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來的光線.（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.要點(diǎn)詮釋：在解決有關(guān)投影的問題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還

6、是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問題.要點(diǎn)三、視圖1.三視圖（1）視圖 用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖.（2）三視圖在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同方向觀察一個(gè)物體，分別得到這個(gè)物體的三個(gè)視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系一般地，把俯視圖畫在主視圖下面，把左視圖畫在主視圖右面，如圖(1)所示.（2）大小關(guān)系三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與

7、俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.要點(diǎn)詮釋：三視圖把物體的長、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長和高；俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).3.畫幾何體的三視圖畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線要畫成虛線.要點(diǎn)詮釋：畫一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方

8、向觀察時(shí)所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.4.由三視圖想象幾何體的形狀由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.要點(diǎn)詮釋：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾

9、何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡單的幾何體的三視圖會(huì)對復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.【典型例題】類型一、投影的作圖與計(jì)算1如何才能使如圖所示的兩棵樹在同一時(shí)刻的影長分別與它們的原長相等，試畫圖說明【答案與解析】(1)如圖所示可在同一方向上畫出與原長相等的影長，此時(shí)為平行投影(2)如圖所示，可在兩樹外側(cè)不同方向上畫出與原長相等的影子，連結(jié)影子的頂點(diǎn)與樹的頂點(diǎn)相交于點(diǎn)p此時(shí)為中心投影，p點(diǎn)即為光源位置 【總結(jié)升華】連結(jié)物體頂點(diǎn)與其影長的頂點(diǎn)，如果得到的是平行線，即為平行投影；如果得到相交直線，則為中心投影，這是判

10、斷平行投影與中心投影的方法，也是確定中心投影光源位置的基本做法但若中心投影光源在兩樹同側(cè)時(shí)，圖中的兩棵樹的影長不可能同時(shí)與原長相等，所以點(diǎn)光源可以選在兩樹之間特別提醒：易錯(cuò)認(rèn)為只有平行投影才能使兩棵樹在同一時(shí)刻的影長分別與它們的原長相等，從而漏掉上圖這一情形舉一反三：【變式】與一盞路燈相對，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花cd和一棵樹ab晚上，幕墻反射路燈，燈光形成那盆花的影子df，樹影be是路燈燈光直接形成的，如圖所示，你能確定此時(shí)路燈光源的位置嗎? 【答案】作法如下： 連結(jié)fc并延長交玻璃幕墻于o點(diǎn)；過點(diǎn)o作直線og垂直于玻璃幕墻面；在oc另一側(cè)作pogfog且交ea延長線于點(diǎn)pp點(diǎn)

11、即此時(shí)路燈光源位置，如圖所示 2.如圖，小明與同學(xué)合作利用太陽光線測量旗桿的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影長為bc=2.4m（1）請你在圖中畫出旗桿在同一時(shí)刻陽光照射下落在地面上的影子eg；（2）若小明測得此刻旗桿落在地面的影長eg=16m，請求出旗桿de的高度【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)ac，過d點(diǎn)作dgac交bc于g點(diǎn)，則ge為所求；（2）先證明rtabcrtdge，然后利用相似比計(jì)算de的長【答案與解析】解：（1）影子eg如圖所示；（2）dgac，g=c，rtabcrtdge，即，解得de=，旗桿的高度為m【總結(jié)升華】本題考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)舉一反三：【變式】

12、如圖，小亮利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量某旗桿ab的高度（1）請你根據(jù)小亮在陽光下的投影，畫出旗桿ab在陽光下的投影（2）已知小亮的身高為1.72m，在同一時(shí)刻測得小亮和旗桿ab的投影長分別為0.86m和6m，求旗桿ab的高 【答案】解：（1）如圖所示： （2）如圖，因?yàn)閐e，ab都垂直于地面，且光線dfac，所以rtdefrtabc，所以，即，所以ab=12（m）答：旗桿ab的高為12m類型二、三視圖3如圖，分別從正面、左面、上面觀察該立體圖形，能得到什么平面圖形【答案與解析】從正面看該幾何體是三角形，從左面看該幾何體是長方形，從上面看該幾何體是一長方形中帶一條豎線如圖： 【總結(jié)升華】本題考查了幾何

13、體的三視圖的判斷舉一反三：【變式】如圖，畫出這些立體圖形的三視圖 【答案】（1）如圖： （2）如圖： （3）如圖：（4）如圖： 類型三、三視圖的有關(guān)計(jì)算4某工廠要對一機(jī)器零件表面進(jìn)行噴漆，設(shè)計(jì)者給出了該零件的三視圖(如圖所示)，請你根據(jù)三視圖確定其噴漆的面積【思路點(diǎn)撥】首先要根據(jù)立體圖形的三視圖，想象出物體的實(shí)際形狀，然后再計(jì)算表面積.【答案與解析】解：長方體的表面積為(30×40+40×25+25×30)×25900(cm2)，圓柱體的側(cè)面積為3.14×20×322010(cm2)，其噴漆的面積為5900+20107910(cm2)【總結(jié)升華】由該機(jī)械零件的三視圖，可想象它是一個(gè)組合體，是由一個(gè)長方體和一個(gè)圓柱體組成其表面積是一個(gè)長方體的六個(gè)面與圓柱體的側(cè)面構(gòu)成(圓柱體的上表面補(bǔ)在長方體的上表面被圓柱體遮擋的部分).該組合體是由一長方體與一圓柱體組合而成，但不能認(rèn)為組合體的表面積就是兩幾何體的表面積之和舉一反三：【變式】某物體的三視圖如圖：（1）此物體是什么體；（2）求此物體的全面積【答案】解