2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽

1、2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 一 試1.設(shè)A、B是兩個非空的有限集，全集，且U中含有m個元素.若()()中含有n個元素，則中所含元素的個數(shù)為_.解：.注意到，()()=()，由韋恩圖知，中含有個元素.2.已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足.則 的值是_.解：.由題設(shè)及正弦定理，得 故 = .3.在直角坐標(biāo)系中，已知三點 .若向量與在向量方向上的投影相同，則的值是_.解：2.方法1向量 、在向量方向上的投影分別為.依題意得· = ·，即.故.方法2因為向量與在向量方向上的投影相同，所以 ABOC，即· =

2、 0.所以，即3a 4b = 2.4.已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面所成的角為45°，則相鄰兩側(cè)面所成角的余弦值為_.解：. 如圖1，設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，E為AB的中點，則PCE為側(cè)棱PC與底面ABC所成的角，即. 過點A作AFPC，垂足為F，由對稱性知，BFPC，故AFB為側(cè)面PAC與PBC所成的角. 在等腰直角EFC中，. 所以. 在AFB中，cosAFB = .5.已知三個互不相等的整數(shù)x、y、z之和介于40與44之間，若x，y，z依次構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則dq的值是_.解：42.由，得.又由 ，得，即.因為，所以.又，所以.

3、因為y為整數(shù)，所以.從而.所以 .故d·q = 42.6.設(shè)點P、Q分別在直線和上運動，線段PQ的中點為，且.則的取值范圍是_.解：1，3) .方法1設(shè)P()、Q()，則，且 .兩式相加，得，即.所以，則.從而，在上單調(diào)遞增.故1.方法2易知，點M在直線上.又點M的坐標(biāo)滿足，所以點M在如圖2所示的射線：y=3x-4 (x2)上，其中點.因為表示射線上的點與原點O連線的斜率，所以.7.在一個圓上隨機取三個點，順次連結(jié)成一個三角形，則該三角形為銳角三角形的概率是_.解：.不妨設(shè)ABC是半徑為1的圓的任一內(nèi)接三角形，A、B所對的弧長分別為x、y，則有 ， .這個不等式組表示如圖3所示的PO

4、Q區(qū)域（不含邊界），其面積為.若ABC為銳角三角形，則x、y滿足 ， ， .這個不等式組表示如圖3所示的DEF區(qū)域（不含邊界），其中D、E、F分別為OP、OQ、PQ的中點，其面積為.故所求概率為.8.設(shè)，則M的個位數(shù)字為_.解：1.設(shè)a、b為正整數(shù)，則的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同.從而，的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同為3.所以的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同為3.又的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同為8，故M的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同為1.9.若對任意，都有，則的值是_.解：.方法1由題設(shè)知，對任意，都有 ，其中，項的系數(shù)為，. ， ， ， ，所以 ， 解得 ， ， ， . . 故.方法2在已知等式中，令，得.代入已知等式，化簡得.令，得.代入上式，化簡得.再令，得.用同樣的方法，得，.故.10.若則_.解：4.(1)若存在正整數(shù)j，使得(，5，規(guī)定)，則.上式等號可以成立.例如，取，.(2)若對任意正整數(shù)i