雙層石墨烯屏蔽,Kohn異常,Friedel振蕩和RKKY相互作用研究(外文翻譯完整版)

1、雙層石墨烯屏蔽，Kohn異常，F(xiàn)riedel振蕩和RKKY相互作用研究E. H. Hwang and S. Das SarmaCondensed Matter Theory Center, Department of Physics,University of Maryland, College Park, Maryland 20742-4111(Dated: April 14, 2008)我們用無規(guī)則近似計算了雙層石墨烯內(nèi)稟（非摻雜）和外稟（摻雜）時的屏蔽效應(yīng)，并與相應(yīng)的單層石墨烯和傳統(tǒng)二維電子氣結(jié)果作比較。 我們發(fā)現(xiàn)雙層石墨烯中Kohn異常明顯增強。我們還討論了Friedel振蕩和RKKY

2、相互作用，這與時，屏蔽的非解析行為相關(guān)。我們發(fā)現(xiàn)，雙層石墨烯與單層石墨烯和二維電子氣相比，屏蔽，Kohn異常，F(xiàn)riedel振蕩和RKKY相互作用具有本質(zhì)的不同。 單層石墨烯是由單層碳原子排列在蜂窩狀晶格中構(gòu)成，理論上和實驗上都受到了極大地關(guān)注，例如其獨特的電子傳輸和相對載流子特性表現(xiàn)與無質(zhì)量的手性狄拉克費米子類似。雙層石墨烯由兩層單層石墨烯組成，目前在技術(shù)應(yīng)用和基礎(chǔ)領(lǐng)域方面受到各方關(guān)注。單層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)具有線性色散關(guān)系，雙層石墨烯在低能量范圍具有二階色散關(guān)系，除了沒能隙外，這使它與二維半導(dǎo)體系統(tǒng)類似。這項工作的目的是利用無規(guī)則近似計算雙層石墨烯的極化率（或屏蔽）函數(shù)。盡管許多有關(guān)單層石墨

3、烯庫侖屏蔽的理論工作已被報道，但是，關(guān)于雙層石墨烯庫侖屏蔽的研究尚未開展。了解雙層石墨烯的屏蔽效應(yīng)是至關(guān)重要的，因為它決定了許多基本特性，例如：電荷雜質(zhì)通過屏蔽的庫侖散射進行運輸，聲子色散中的Kohn異常，RKKY相互作用。為了了解雙層石墨烯的電子特性，有必要研究其屏蔽效應(yīng)。 雙層石墨烯在某種意義上介于單層石墨烯和基于半導(dǎo)體的傳統(tǒng)二維電子氣之間，因為在狄拉克點（價帶和導(dǎo)帶相交）它具有手性零帶隙，這與單層石墨烯類似，但是二階能量色散關(guān)系與二維電子氣類似。在單層石墨烯中，由于其手性特性，-向后散射被抑制，而在二維電子氣中 -向后散射在確定低密度低溫度載流子傳輸過程中起著關(guān)鍵的作用。我們發(fā)現(xiàn)，由于二

4、階色散關(guān)系，雙層石墨烯中-向后散射被恢復(fù)（甚至被增強），更重要的是由于其雙層結(jié)構(gòu)所形成的對稱性。雙層石墨烯和單層石墨烯屏蔽特性的本質(zhì)區(qū)別，讓我們預(yù)測，雙層石墨烯中運輸特性和其他電子特性比單層石墨烯更類似于二維電子氣,，盡管雙層石墨烯具有零帶隙手性特性。 雙層石墨烯有效哈密頓量在理論文獻中已經(jīng)被很好的確立。在低能量范圍內(nèi)哈密頓量減少到（2×2）矩陣形式， (1)其中,是層間相互作用常量，是單層石墨烯的費米速度。 (1)式可以寫成，對應(yīng)的能量，s = ±1表示帶指標(biāo)。根據(jù)（1）式，用無規(guī)則近似計算極化率和介電函數(shù)，我們在理論上得到了雙層石墨烯的屏蔽函數(shù)。 靜態(tài)介電函數(shù)可以寫成，

5、 （2）是背景（本底）介電常數(shù)，是極化率。靜態(tài)雙層石墨烯極化率可以通過費曼圖得到， ( 3 )是簡并因子（由于谷簡并和自旋簡并，,），, ,表示帶指標(biāo). , ,表示和之間的夾角，是費米分布函數(shù), ,其中，是化學(xué)勢。 首先，我們假定時，內(nèi)稟（和均為零的非摻雜)雙層石墨烯導(dǎo)帶是空的，價帶被完全占據(jù)。然后，我們有和。由于導(dǎo)帶是空的，電子從價帶到導(dǎo)帶的有效帶間躍遷引起極化。由于帶間躍遷，極化率變?yōu)?， (4) 由于。（4）式可以簡化為， (5)是雙層石墨烯的態(tài)密度。因此，對于所有波矢內(nèi)稟雙層石墨的烯極化率是一個常量。（需要注意的是，只有當(dāng)時，傳統(tǒng)二維電子氣的極化率才是常量。）介電函數(shù)變?yōu)?屏蔽波矢，

6、（6)是二維托馬斯 - 費米屏蔽波矢，.因此，較之普通的二維屏蔽，雙層石墨烯靜電屏蔽被增強的一個因素是。對于內(nèi)稟雙層石墨烯我們可以寫出屏蔽庫侖勢為， (7)和分別是斯圖魯弗（Struve）函數(shù)和第二種類的貝塞耳(Bessel)函數(shù)。在很大時的漸近形式是。由于對于所有沒有奇異行為的來說，屏蔽函數(shù)是一個恒量，在勢能上沒有振蕩項。這與內(nèi)稟單層石墨烯或二維電子氣的屏蔽行為非常不相同。對于內(nèi)稟單層石墨烯我們有， (8).內(nèi)稟單層石墨烯極化率與成線性增加，這就會導(dǎo)致背景（本底）介電常數(shù)的一次有效增強，即屏蔽的庫侖相互作用。庫侖相互作用在實空間中可以表示為，為任意值。因此，較大時，在內(nèi)稟雙層石墨烯中庫侖勢降

7、為，但在內(nèi)稟單層石墨烯中只降到。 下面我們提供了零溫度系數(shù)時外稟（摻雜）雙層石墨烯的靜態(tài)極化率，.,，.然后，我們可以將（1）式寫作,， (9) 。 (10) 表示有帶內(nèi)（帶間）躍遷引起的極化。通過對方向的角積分后，我們有， (11) 。 (12)然后 （13） ， （14） ， （15） 最后，我們得到外稟雙層石墨烯的靜態(tài)極化率。 （16）等式（15）和等式（16）是本文得到的基本結(jié)果，對外稟雙層石墨烯的極化率進行分析。在圖1中，我們展示了計算得到的靜態(tài)極化率的波矢函數(shù)。圖1（a）和（b）分別展示了所計算得到的帶內(nèi)和帶間極化率，并與單層石墨稀作比較。圖1（c）展示的是雙層石墨烯的總極化率。在

8、時有，它遵循壓縮求和規(guī)則，.對于較小時，減至 , 減至.這種變化來自（3）式中的重疊因子 。對于單層石墨烯帶內(nèi)（帶間）極化率減小（增大）與增大成線性相關(guān)，當(dāng)時這兩種極化正好完全抵消，<時，總靜態(tài)極化率是一常數(shù)。這與在二維電子氣中一樣。然而，對于雙層石墨烯抵消兩個極化率函數(shù)是相當(dāng)不準確的，特別是對于>，因為向后散射被增強，所以隨著接近，總的極化率增大，這意味著屏蔽隨增大而增大。因此，盡管雙層石墨烯是二維系統(tǒng)，但不具有恒定的托馬斯 - 費米屏蔽，直到。該屏蔽存在于單層石墨烯和二維電子氣中。 圖1（a） 圖1（b） 圖1：雙層石墨烯（淺色）（a）帶內(nèi),（b）帯間,（c）總靜態(tài)極化率。并與

9、單層石墨烯（深色）做比較。（c）傳統(tǒng)二維電子氣靜態(tài)極化率（虛線）圖1（c）單層石墨烯和雙層石墨烯極化率函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于。由于單層石墨烯中-向后散射受抑制，所以總的極化率，以及它的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。然而，在雙層石墨烯中，大角度散射由于手性特性而增強，這就會引起極化率在的奇異行為。盡管在時雙層石墨烯的極化率是連續(xù)的，但它有一個鋒利的尖點，它的導(dǎo)數(shù)在點是不連續(xù)的，當(dāng)接近時函數(shù)發(fā)散，即當(dāng) , 。除了在0區(qū)域中是恒定的，這種現(xiàn)象與傳統(tǒng)二維電子氣完全相同，其在時也有一個尖點。注意，這種非解析行為存在于單層石墨烯極化率的二階導(dǎo)數(shù)中，即。 在較大動量轉(zhuǎn)移范圍內(nèi)，雙層石墨烯的極化率接近一個定值（內(nèi)稟極化率）即

10、,因為在大波矢界限中帶間躍遷占主導(dǎo)地位。這與二維電子氣在>時靜態(tài)極化率迅速降為（）相當(dāng)不同，而單層石墨烯的極化率則隨增大而線性增大。因此，當(dāng)較大時，對于單層石墨烯來說,介電屏蔽，而對于雙層石墨烯和二維電子氣,介電屏蔽。 當(dāng)時，與單層石墨烯相比，雙層石墨烯極化率會導(dǎo)致Friedel振蕩，。主要的振蕩項是屏蔽勢能，可以表示為， (17)其中,除了額外的常數(shù)（二維電子氣中）,這與二維電子氣相似，但是卻與單層石墨烯不同，單層石墨烯中Friedel振蕩比例為。雙層石墨烯屏蔽函數(shù)在時，奇異行為的增強與Kohn異常和RKKY相互作用相關(guān)，有許多有趣結(jié)果，下面我們將進行討論。 雙層石墨烯極化率在時的明顯

11、尖點，可以在圖1（c）清楚地看到，這表明屏蔽的雙層石墨烯聲子頻率將會表現(xiàn)出明顯的Kohn異常，即時，聲子頻率中有一個可觀察的dip結(jié)構(gòu)。很明顯從圖1（c），以及上述我們對于結(jié)果的分析討論可以得到，屏蔽的聲子色散，雙層石墨烯將比單層石墨烯表現(xiàn)出更強的Kohn異常，二維電子氣居中。這導(dǎo)致的更強的奇異性，明顯體現(xiàn)在雙層石墨烯屏蔽函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)中，而不是在單層石墨烯屏蔽函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)上。通過施加?xùn)烹妷簛砀淖冚d流子密度從而來調(diào)諧值，它可能驗證Kohn異常確實與雙層石墨烯的屏蔽行為有關(guān)。事實上，由于時非常明顯的尖端極化率，雙層石墨烯Kohn異常將相當(dāng)類似于一維Peierls不穩(wěn)定性，當(dāng)時，雙層石墨烯屏蔽行

12、為本質(zhì)上類似于一維電子系統(tǒng)。 等式（16）中的極化率函數(shù)也決定了由自旋密度引起的兩個磁性雜質(zhì)之間的RKKY相互作用。（在這里，我們假定磁性雜質(zhì)位于雙層石墨烯與基體的交界面，這樣它們就不會破壞任何對稱）RKKY相互作用與的傅里葉變換成比例。局域磁矩和電子自旋密度之間交換作用的常規(guī)形式由下式給出，其中是交換耦合常數(shù)。兩個局域磁矩通過電子傳導(dǎo)產(chǎn)生RKKY相互作用可以寫成以下形式：,其中是靜態(tài)極化率的傅里葉變換。 首先考慮內(nèi)稟雙層石墨烯，因為是一個常量，等式（5）經(jīng)傅里葉變換簡化成一個函數(shù)，即。這表明，局域磁矩與長程相互作用無關(guān)，而且沒有感應(yīng)自旋密度。在單層石墨烯中，極化率的傅立葉變換（等式（8）發(fā)散

13、（盡管正比與，其大小不收斂），這意味著存在磁性雜質(zhì)時，由于RKKY耦合發(fā)散，內(nèi)稟單層石墨烯易受到鐵磁有序的影響。 在外稟雙層石墨烯中，由于時極化率的奇異性，RKKY相互作用中振蕩項被恢復(fù)，在較大時，振蕩行為占主導(dǎo)地位。較大距離時,在中占主導(dǎo)地位的振蕩項表示為， (18)這與傳統(tǒng)二維電子氣中的RKKY相互作用相同，并且減少至，單層石墨烯中減至。 總之，我們利用無規(guī)則近似分析計算了摻雜和非摻雜雙層石墨烯依賴于極化率的靜態(tài)波矢。對于未摻雜雙層石墨烯，我們發(fā)現(xiàn)，相比與普通的二維屏蔽，屏蔽提高的一個因素是。未摻雜雙層石墨烯中的RKKY相互作用是零范圍（函數(shù)）的，因此，沒有感應(yīng)自旋密度。摻雜雙層石墨烯屏蔽

14、效應(yīng)在時與對應(yīng)的單層石墨烯和二維電子氣的情況相比顯示出強烈的Kohn異常增強，這導(dǎo)致普通RKKY相互作用和Friedel振蕩。我們展示了雙層石墨烯的屏蔽特性與單層石墨烯的屏蔽行為在所有波矢范圍（<，>，和的）具有本質(zhì)的不同，在時，雙層石墨烯屏蔽函數(shù)有一個強烈的尖點。我們的理論僅適用于低密度范圍（），波段的色散是二階的，而且只有最低次能帶被占據(jù)。我們對于雙層石墨烯載流子運輸受屏蔽的庫倫散射限制，尤其是屏蔽中的強烈異常，低溫時（）將導(dǎo)致直流傳輸強烈溫度依賴性的研究具有明顯的意義。這與單層石墨烯的向后散射被抑制形成了鮮明的對比。這項工作由美國ONR，NSF- NRI，SWAN支持。參考文

15、獻1 For a recent review, for example, see Exploring Graphene:Recent Research Advances, A Special Issue of Solid State Communications, edited by S. Das Sarma, A.K.Geim, P.Kim, and A. H. MacDonald (Elsevier, New York, 2007),Vol.143, and references therein.2 E. McCann and V. I. Falko, Phys. Rev. Lett. 9

16、6, 086805(2006); J. Nilsson, A. H. Castro Neto, N.M. R. Peres, and F. Guinea, Phys. Rev. B 73, 214418 (2006); B. Partoens and F. M. Peeters, Phys. Rev. B 74, 075404 (2006); M.Koshino and T. Ando, Phys. Rev. B73, 245403 (2006);I. Snyman and C.W.J. Beenakker, Phys. Rev.B 75,045322 (2007).3 S. Morozov,

17、 K. Novoselov, M. Katsnelson, F. Schedin, D.Elias, J. Jaszczak, and A. Geim, Phys. Rev. Lett. 100,016602 (2008); K. Novoselov et al, Nat. Phys. 2, 177(2006); J. Oostinga et al, Nat. Mater. 7, 151 (2008).4 E. H. Hwang and S. Das Sarma, Phys. Rev. B 75, 205418(2007).5 T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 0

18、74716 (2006).6 B. Wunsch, T. Stauber, F. Sols, and F. Guinea, New.J.Phys. 8, 318 (2006).7 Y. Barlas et al. Phys. Rev. Lett. 98, 236601 (2007).8 X.F. Wang and T. Chakraborty, Phys. Rev. B 75,041404(R) (2007).9 E. H. Hwang et al., Phys. Rev. Lett. 98, 186806 (2007);V. Cheianov and V. Fal ko, Phys. Rev

19、. Lett. 97, 226801(2006); K. Nomura and A. H. MacDonald, Phys. Rev.Lett. 96, 256602 (2006); S. Adam et al., Proc. Natl. Acad.Sci. USA 104, 18392 (2007).10 W. Kohn, Phys. Rev. Lett. 2, 393 (1959); A. M. Afnasev and Yu. Kagan, Sov. Phys. JETP 16, 1030 (1963).11 T. Ando, A. B. Fowler, and F. Stern, Rev

20、. Mod. Phys.54, 437 (1982).12 S. Das Sarma and E. H. Hwang, Phys. Rev. B 69, 195305(2004); Phys. Rev. Lett. 83, 164 (1999).13 R. F. Peierls, Quantum Theory of Solids, Clarendon press, Oxford (1995).14 S. Das Sarma and Wu-yan Lai, Phys. Rev. B 32, 1401(1985).15 V. A. M. Vozmediano, M. P. Lopez-Sancho

21、, T. Stauber, and F. Guinea, Phys. Rev. B 72, 155121 (2005).16 L. Brey, H. A. Fertig, S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 99,116802 (2007).Screening, Kohn anomaly, Friedel oscillation, and RKKY interaction in bilayer grapheneE. H. Hwang and S. Das SarmaCondensed Matter Theory Center, Department of Physics,University of Maryland, Co