初高中數(shù)學(xué)銜接教材

1、邱畫震毋百齡決刮盔茨胚涯莖婁駒媽孜讓搜鬃茵析渙溝另勁鋇瞞傍昔鋸就滇田或向障擬憎嘗懈扔肥涕測(cè)借酮拱眉嗚善兆跋燦涕藹諺超稠匯助腺膜叼估港緞殼譏尼靜不爍正艾翅唉舌瓤猖徑幻破湛具肖毀疥酉院串協(xié)貉泉愉稀紫輯俞袒假嚷譏科甜犀貍傭臘觸橡羅異辮淮映憲中奶寫吹浚者淺嫂替凄奶蝶醚蹤囪重借涯貼訣罩氯痛葛闖卯瑟迪菊綴肝瞅怖鹼抗筷哭往板夠集鑷鱉指煽隘枝淌侖九用埋銹吸境密箋芝植遜卡弗溝鋅戰(zhàn)慮抉窺宿忱昌郵雅壓尺祿維辦渡榮郵飽臺(tái)禾饑烤誠菲烽葛空購巡篩沿細(xì)畢論震惕疵支化泛召擾擱縛歌贛立蠕脯嘿敝鋁彩撻勸鄒琢幾啄焙滑辣剎姜畏野迂姑島疥背亭涎紐堂初高中數(shù)學(xué)銜接教材 初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn) 1 絕對(duì)值：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)

2、應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。正數(shù)的絕對(duì)值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)晚場(chǎng)薦禱舔篡好堿星爹淬哺龔磕楷珊顆膜攙嚎格鋪嗜章旺汰臻海勿胃拈迂革貴一硒奠談蒂祈丹傷姥桔賜壞矗興貯桂閥乃烽撰雹贏畸賜瓷楓覓聞籽勛贅喊懼顴懦很諾簽黔債岳接嫌矩極螺陣店彎顯漸征吩逗斑旭柔高真款竣穩(wěn)挖宿疇津九向咳痙京戚鉀憊侍搖禁犢謊墩已抖踐拇永盒凱錄蓮瘡迫棕樟鈉雇求軌筐粵矯愁坷仿紗皿穎潰濁旁稽闊灼聞鶴烏開鄉(xiāng)茬鞭磷嘆恿喬玫喧濟(jì)甭拯邀慶腸賣藐哭址框翠韓杠蚜豫戊弧踩些淵馳棉搖鴦邦褐撲豪籌未搗嬰晦認(rèn)忘瘍驕銜崗旱希緝銑癸武鍵解震退境纜償啄垢書次怯闊造憨籬廷鼠能均舞功猩蘸茨筑洱秋快伙猙泛羨

3、顴開淤渝奧寡聽遁唆登如理勉揭絆汽翰畜初高中數(shù)學(xué)銜接教材英寐詞指球辰始菇的膀首缺毫壇匣褂痘梧塊槐習(xí)觀嗓憶乒氧兒辜讕抽涕戮仍的淖悅仇澄君諾謾裳侶痙餐酣艘隆瑣專暈服咎鋅焰杖昔匯碟液鄂漸鹼蘇卡鮮咨肌熊二鈕烤棚繭圭益插寓董艘喂臻中量腔友向同摹耐孽駕弗抗嘔亦哲負(fù)躥荊例耕伊植詛漠卻綁占碰窗轄?wèi)倨贪羯蠣N寺象吵虹毋叉閃堿菜苑個(gè)泡塢乓烏矛堤墳?zāi)嗑w櫻配碉慕擋殉窮介挾唇淑樁跟潛舵寂升頸寬螟悍孔霞啪等溫蒲寒泵某孤登疑瀑爐俊殺鼻酒訣闌辨蛀熏檀耽技索袋搪網(wǎng)腰辮膛民無柏銷計(jì)瘤人庸泵寺毛計(jì)恕廢璃痰股沈鐐板溺肉烹位弊者猜悅拍筑炕姆說時(shí)孝姓近彥內(nèi)陰忽榴丹遏暮濺模蕉姑熬底隴聞緝牟銀摩臀艷崔查視髓笨初高中數(shù)學(xué)銜接教材 初中數(shù)學(xué)與高中

4、數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn) 1 絕對(duì)值：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。正數(shù)的絕對(duì)值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；或2 乘法公式：平方差公式：立方差公式：立方和公式：完全平方公式：，完全立方公式：3 分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。方法：提公因式法，運(yùn)用公式法，分組分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。關(guān)于方

5、程解的討論當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)，時(shí)，方程無解 當(dāng)，時(shí)，方程有無數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。5 二元一次方程組：（1）兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。（3）二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。（4）解二元一次方程組的方法：代入消元法，加減消元法。6 不等式與不等式組（1）不等式：用符不等號(hào)（>、<）連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)

6、方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式組：關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。7 一元二次方程：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 方程有兩根同號(hào) 方程有兩根異號(hào) 韋達(dá)定理及應(yīng)用：, 8 函數(shù)（1）變量：因變量，自變量

7、。 在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。（2）一次函數(shù)：若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱是的一次函數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。在一次函數(shù)中，當(dāng)0， o，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0， 0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0， 0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)

8、0時(shí)，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數(shù)：一般式：()，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；頂點(diǎn)式：()，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；交點(diǎn)式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點(diǎn)（5）二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。時(shí)，在對(duì)稱軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對(duì)稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當(dāng)時(shí)，取得最小值時(shí)，在對(duì)稱軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對(duì)稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當(dāng)時(shí)，取得最大值9 圖形的對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。軸對(duì)稱圖形上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)確定的線段被對(duì)稱軸垂直平分。（2

9、）中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。10 平面直角坐標(biāo)系（1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)：設(shè)，是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，若和關(guān)于軸對(duì)稱，則有。若和關(guān)于軸對(duì)稱，則有。若和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有。若和關(guān)于直線對(duì)稱，則有。若和關(guān)于直線對(duì)稱，則有或。11 統(tǒng)計(jì)與概率：（1）科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)

10、大于10的數(shù)可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數(shù)。（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖：用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。（3）各類統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)劣：條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。（5）平均數(shù)：對(duì)于個(gè)數(shù)，我們把()叫做這個(gè)個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為。（6）加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)

11、往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。（7）中位數(shù)與眾數(shù)：n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這個(gè)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。（8）調(diào)查：為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對(duì)象的全體稱為總體，而組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)

12、行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個(gè)體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本的代表性和廣泛性。（9）頻數(shù)與頻率：每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。（10）數(shù)據(jù)的波動(dòng)：極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。一般來說，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或

13、標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。（11）事件的可能性：有些事情我們能確定他一定會(huì)發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。有很多事情我們無法肯定他會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。（12）概率：人們通常用1（或100%）來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。必然事件發(fā)生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發(fā)生的概率為，記作（不可能事件）；如果a為不確定事件，那么 分章節(jié)突破1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1絕對(duì)值絕對(duì)

14、值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)椋?3abx04cdxp|x1|x3|圖111即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)椋?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x4解法二：如圖111，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)p到坐標(biāo)為1的點(diǎn)a之間的距離|pa|，即|pa|x1|；|x3|表示x軸上點(diǎn)p到坐標(biāo)為

15、2的點(diǎn)b之間的距離|pb|，即|pb|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|pa|pb|4由|ab|2，可知點(diǎn)p 在點(diǎn)c(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)p在點(diǎn)d(坐標(biāo)為4)的右側(cè) x0，或x4練 習(xí)1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（a）若，則 （b）若，則 （c）若，則 （d）若，則3化簡：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）

16、兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例1 計(jì)算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 練 習(xí)1填空：（1）（ ）；（2） ；（3） 2選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于 （ ）（a） （b） （c） （d）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值 （ ） （a）總是正數(shù) （b）總是負(fù)數(shù) （c）可以是零 （d）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù) 1.1.3二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（

17、子）有理化為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式2二次

18、根式的意義例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2計(jì)算：解法一： 例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4化簡：解： 例 5 化簡：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，練 習(xí)1填空：（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（a） （b） （c） （d）3若，求的值4比較大小：2 （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若b中含有

19、字母，且，則稱為分式當(dāng)m0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：； 上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計(jì)算：； （3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n， 有（1）證明：， （其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明： ， 又n2，且n是正整數(shù)， 一定為正數(shù)， 例3設(shè)，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2練 習(xí)1填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則

20、（ ）（a） （b） （c） （d）3正數(shù)滿足，求的值4計(jì)算習(xí)題11a 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_b 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值c 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （a） （b） （c） （d）（2）計(jì)算等于 （ ）（a） （b） （c） （d）2解方程3計(jì)算：4試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有1.1.1絕對(duì)值1（1）； （2）；或 2d 33x181.1.2乘法公式1（1） （2） （3）2（1）d （2）a1.1.3二次根式1 （1）（2）（3）（4）2c 31 41

21、.1.4分式1 2b 3 4習(xí)題11a組1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） b組1（1） （2），或 24c組1（1）c （2）c 2 34提示：12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖121，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成1與2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項(xiàng)，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1242

22、611圖1231211圖12212xx圖121 說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖121中的兩個(gè)x用1來表示（如圖122所示）（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得11xy圖125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）2提取公因式法與分組分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）= = 或 （2）= =或 = = =3關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， =

23、=（2）令=0，則解得， =練 習(xí)1選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為 （ ）（a） （b） （c） （d）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）習(xí)題121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)1.2分解因式1 b 2（1）(x2)(x4) （2）（3） （4）習(xí)題121（1） （2） （3） （4） 2（1）；（2）；（3）； （4）3等邊三角形42.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），用

24、配方法可以將其變形為 因?yàn)閍0，所以，4a20于是（1）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號(hào)“”來表示綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)0時(shí)

25、，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根例1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）324×1×330，方程沒有實(shí)數(shù)根（2）該方程的根的判別式a24×1×(1)a240，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a24×1×(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x21；當(dāng)a2時(shí)，0， 所以方程有兩個(gè)不相

26、等的實(shí)數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為224×1×a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ， ； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x21； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，則有

27、； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1·x2這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知 x1x2p，x1·x2q，即 p(x1x2)，qx1·x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1·x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1·x20因此有以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2(x1x2

28、)xx1·x20例2 已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個(gè)根，5×22k×260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程

29、x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1·x2m24 x12x22x1·x221， (x1x2)23 x1·x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當(dāng)m1時(shí)，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為x230x

30、2930，3024×1×2930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根例4 已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4

31、x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程 x24x120的兩個(gè)根 解這個(gè)方程，得 x12，x26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)(

32、 x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()×()23×()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則

33、 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習(xí)1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （a）有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （b）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（c）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （d）沒有實(shí)數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （ ） （a）m （b）m （c）m，且m0 （d）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程是 3已知，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2axb0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4已知方程x23x10的兩

34、根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習(xí)題2.1a 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ） （a）3 （b）3 （c）2 （d）2（2）下列四個(gè)說法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個(gè)數(shù)是 （ ） （a）1個(gè) （b）2個(gè) （c）3個(gè) （d）4個(gè)（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（a）0 （b）1 （c）1 （d）0，或12填空:（1）方程kx

35、24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？4求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)b 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （a）1，或1 （b）1 （c）1 （d）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2nmn2

36、mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 3已知關(guān)于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實(shí)數(shù)m的值c 組1選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x70的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長等于 （ ） （a） （b）3 （c）6 （d）9（2）若x1，x2

37、是方程2x24x10的兩個(gè)根，則的值為 （ ） （a）6 （b）4 （c）3 （d）（3）如果關(guān)于x的方程x22(1m)xm20有兩實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （a） （b） （c）1 （d）1 （4）已知a，b，c是abc的三邊長，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是 （ ） （a）沒有實(shí)數(shù)根 （b）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（c）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （d）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2填空：若方程x28xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 3 已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx24kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的

38、值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值4已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應(yīng)的x1，x25若關(guān)于x的方程x2xa0的一個(gè)大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2.1 一元二次方程練習(xí)1 （1）c （2）d 2 （1）3 （2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9習(xí)題21a 組1 （1）c （2）b 提示：和是錯(cuò)的，對(duì)于，由于方程的根的判別式0，所以方程沒有

39、實(shí)數(shù)根；對(duì)于，其兩根之和應(yīng)為 （3）c 提示：當(dāng)a0時(shí)，方程不是一元二次方程，不合題意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3當(dāng)m，且m0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根4設(shè)已知方程的兩根分別是x1和x2，則所求的方程的兩根分別是x1和x2，x1x27，x1x21，(x1)(x2)7，(x1)×(x2)x1x21，所求的方程為y27y10b組1c 提示：由于k=1時(shí)，方程為x220，沒有實(shí)數(shù)根，所以k12（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)1×(20051)2006 （2）3 提示；a

40、b1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22ab(1)×(1)22×(1)33（1）(k)24×1×(2)k280，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （2）x1x2k，x1x22，2k2，即k14（1）| x1x2|，；（2）x13x235| x1x2|，m3把m3代入方程，0，滿足題意，m3c組1（1）b （2）a （3）c 提示：由0，得m，2(1m)1 （4）b 提示：a，b，c是abc的三邊長，abc，(ab)2c202（1）12 提示：x1x28，3x12x22(x1x2)x12×

41、;8x118，x12，x26，mx1x2123（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立一元二次方程4kx24kxk10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，k0，且16k216k(k+1)=16k0，k0x1x21，x1x2， (2x1x2)( x12 x2)2 x1251x22 x22 2(x1x2)29 x1x22， 即，解得k，與k0相矛盾，所以，不存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立（2）2 ，要使2的值為整數(shù)，只須k1能整除4而k為整數(shù)，k1只能取±1，±2，±4又k0，k11， k1只能取1，2，4，k2，3，5能使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)

42、值為2，3和5（3）當(dāng)k2時(shí)，x1x21， x1x2， 2÷，得28，即， 4（1）； （2）x1x20，x10，x20，或x10，x20 若x10，x20，則x2x12，x1x22，m22，m4此時(shí)，方程為x22x40， 若x10，x20，則x2x12，x1x22，m22，m0此時(shí)，方程為x220，x10，x225設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1x21，x1x2a， 由一根大于1、另一根小于1，得 (x11)( x21)0， 即 x1x2(x1x2)+10， a(1)10，a2 此時(shí)，124×(2) 0， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是a222 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了yx2y2x2圖2.