地震反應(yīng)分析

1、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的主要工作是首先將結(jié)構(gòu)簡化成力學(xué)分析模型，然后輸入地震作用，計算模擬結(jié)構(gòu)的反應(yīng)行為，包括內(nèi)力和變形反應(yīng)時程或最大值。其目的是為結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計提供必要的數(shù)據(jù)資料；或為抗震安全鑒定和擬定抗震加固方案提供參考依據(jù)；或為研究結(jié)構(gòu)破壞機理提供基本手段，從而改善設(shè)計，提高結(jié)構(gòu)的抗震性能。 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)取決于地震動輸入特性和結(jié)構(gòu)特性。隨著人們對地震動特性和結(jié)構(gòu)特性的了解越來越多，特別是技術(shù)手段越來越先進，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法也跟著有了飛躍的發(fā)展。 結(jié)構(gòu)抗震分析方法的發(fā)展大體上可分為三個階段，即靜力法、擬靜力法（通常指反應(yīng)譜方法）和動力法階段。靜力法是20世紀(jì)初首先在日本發(fā)展起

2、來的。該方法將結(jié)構(gòu)物看成是剛體，并剛接于地面。這樣，結(jié)構(gòu)在最大水平加速度絕對值為的地面運動激勵下，受到的最大水平作用力（即最大慣性力）為其中，是結(jié)構(gòu)物的重量，是地面最大水平加速度絕對值與重力加速度之比，稱為地震系數(shù)。 在當(dāng)時人們對地面運動的頻譜和卓越周期的了解還不夠多，以及房屋多為低層建筑的情況下，應(yīng)用上述地震荷載計算公式于抗震設(shè)計還是可以的。但是，隨著地震資料的積累和城市與工業(yè)建設(shè)的發(fā)展，使人們認(rèn)識到作為靜力法基礎(chǔ)的剛性結(jié)構(gòu)假定已明顯地遠(yuǎn)離實際情況，于是考慮結(jié)構(gòu)物的彈性性質(zhì)、阻尼性質(zhì)及相應(yīng)動力特性的反應(yīng)譜方法便發(fā)展起來了。 反應(yīng)譜方法出現(xiàn)在20世紀(jì)40年代。美國的一些學(xué)者在取得了一部分強震地

3、面運動記錄之后，考慮地震動特性與結(jié)構(gòu)動力特性共同對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)產(chǎn)生決定性影響的這一事實，提出了反應(yīng)譜概念和相應(yīng)的設(shè)計計算方法。這一方法有動力法的內(nèi)容，卻具靜力法的形式，故可稱之為擬靜力法。該方法對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析產(chǎn)生巨大影響，至今仍是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的主要計算方法。 盡管反應(yīng)譜方法取得的進步是實質(zhì)性的，但它的應(yīng)用還是受到一些限制，如原則上只能用于線性結(jié)構(gòu)體系；不能真實反映復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的動力放大作用。因此，隨著重大工程的不斷興建和計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，20世紀(jì)70年代，結(jié)構(gòu)地震時程反應(yīng)分析得到全面發(fā)展。相對于反應(yīng)譜方法而言，時程反應(yīng)分析是一種動力分析方法，它求取的不是結(jié)構(gòu)的某種最大反應(yīng)或其近似估計，

4、而是結(jié)構(gòu)在地震激勵下的反應(yīng)時間歷程，即地震與結(jié)構(gòu)相互作用的過程，其結(jié)果更為可靠。另外，時程反應(yīng)分析可以真正處理非線性問題，這是結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析一個非常重要的方面。隨計算機和有限元技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)分析模型也經(jīng)歷了一個由極其簡化到相對較少簡化的過程。以前大家熟悉的一些簡化分析模型，如剪切模型，考慮梁變形作用的D值法以及框架剪力墻協(xié)同工作體系模型等，在當(dāng)前的研究與設(shè)計中已很少使用，取而代之的是三維空間有限元分析模型。目前，各種大型有限元程序為結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析提供了強有力的工具。應(yīng)用這些程序，結(jié)構(gòu)彈性地震反應(yīng)分析已不存在問題，無論多么復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，只要計算模型簡化的合理都能得到滿足一定工程精度要求的

5、結(jié)果。結(jié)構(gòu)彈塑性地震反應(yīng)性態(tài)極其復(fù)雜，盡管經(jīng)科研人員數(shù)十年的努力，發(fā)展了一些分析方法，但僅較規(guī)則的結(jié)構(gòu)二維彈塑性分析可以取得基本令人滿意結(jié)果，量大面廣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析方法至今未能很好解決，它是今后有關(guān)科研人員需要重點解決的課題。彈塑性地震反應(yīng)可以分為靜力彈塑性反應(yīng)分析和動力時程反應(yīng)分析。靜力彈塑性地震反應(yīng)分析一般指近年為滿足性態(tài)抗震設(shè)計而發(fā)展的pushover分析方法，該方法的主要步驟是首先將地震荷載等效成某種分布形式的靜力荷載，用靜力彈塑性分析方法求得結(jié)構(gòu)的基底剪力與位移關(guān)系曲線，即結(jié)構(gòu)能力曲線，然后將結(jié)構(gòu)等效成單自由度體系并將結(jié)構(gòu)的能力曲線和地震輸入譜曲線轉(zhuǎn)換成相同坐標(biāo)格式，根據(jù)兩曲線的交

6、點確定結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)。研究表明這一分析方法在分析中低層剪切型結(jié)構(gòu)時，可以提供較滿意的彈塑性位移反應(yīng)估計結(jié)果，而分析高層結(jié)構(gòu)時，則誤差較大，基本不適用高層結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析。估計結(jié)構(gòu)的彈塑性地震反應(yīng)行為，較準(zhǔn)確、可靠的方法無疑是彈塑性時程反應(yīng)分析方法。但目前僅二維分析方法發(fā)展的較為成熟，并在研究中得到廣泛應(yīng)用，問題是大部分實際需要進行彈塑性分析的結(jié)構(gòu)形式均較為復(fù)雜，難以簡化成合理的二維分析模型，如勉強進行二維分析模型簡化，必將導(dǎo)致分析結(jié)果的較大誤差。結(jié)構(gòu)三維彈塑性地震反應(yīng)分析一直是結(jié)構(gòu)抗震分析中有待解決的難題。主要困難是如果以構(gòu)件作為單元，則構(gòu)件三維受力狀態(tài)下的恢復(fù)力模型難以確定；如果采用較精細(xì)的非

7、線性有限元模型，則依然存在構(gòu)件三維受力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系難以確定問題，且計算量也難以接受。盡管如此，有關(guān)科研人員還是在努力探索，不斷提出一些新的模型和計算方法，使結(jié)構(gòu)三維彈塑性地震反應(yīng)分析中存在的問題逐步得到解決。結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析 結(jié)構(gòu)動力分析是計算分析結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的變形和內(nèi)力，校核結(jié)構(gòu)是否滿足指定安全要求，它是結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的重要環(huán)節(jié)。動荷載是指隨時間而改變的荷載。同樣，動荷載作用下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)（內(nèi)力及變形）也是隨時間而改變的。結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析主要內(nèi)容涉及建立計算分析模型和體系運動方程，確定結(jié)構(gòu)特性參數(shù)，選擇合理的方法進行運動方程求解等。分析方法可分為兩大類：確定性分析方法和不確定性即隨機反

8、應(yīng)分析方法。選取哪種分析方法取決于荷載和結(jié)構(gòu)參數(shù)是否可以給定，如果它們完全是已知的，則采用確定性分析方法，如它們并不完全已知，但可從統(tǒng)計意義上定義，則一般采用隨機反應(yīng)分析方法。從荷載大小和結(jié)構(gòu)是否進入彈塑性狀態(tài)角度考慮，分析方法可進一步分為彈性反應(yīng)分析和彈塑性反應(yīng)分析。前者假定在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)始終處于初始彈性狀態(tài)。后者則要考慮隨時間荷載的作用，結(jié)構(gòu)參數(shù)不斷改變情況下的反應(yīng)。在地震反應(yīng)分析中，分析方法還可以分為靜力法、反應(yīng)譜方法和時程分析方法。早期采用的靜力法非常簡單，即結(jié)構(gòu)承受的側(cè)向地震力等于結(jié)構(gòu)質(zhì)量乘以地面運動峰值加速度。反應(yīng)譜方法是首先將結(jié)構(gòu)進行振型分解，然后根據(jù)指定的地震反應(yīng)譜確定每

9、個振型的反應(yīng)，最后將這些疊加求出結(jié)構(gòu)總體反應(yīng)。反應(yīng)譜方法是一種偽動力方法，它沒有考慮結(jié)構(gòu)隨時間的動力反應(yīng)過程，但是考慮了結(jié)構(gòu)動力特性對其反應(yīng)的影響。時程分析方法則完全是求解結(jié)構(gòu)的振動反應(yīng)過程。運動方程 結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析的目的是計算結(jié)構(gòu)在給定隨時間變化荷載作用下的變形和內(nèi)力的反應(yīng)過程。我們知道，一個結(jié)構(gòu)具有無限多個變形自由度，但在大多數(shù)情況下，應(yīng)用包含有限個自由度的近似分析方法，就足夠精確了。這樣，問題就變?yōu)榍蟪鲞@些所選定的有限個變形分量的時間過程。描述動力變形的數(shù)學(xué)表達式稱為結(jié)構(gòu)的運動方程，而這些運動方程的解就提供了所求的變形過程。建立動力體系的運動方程常用三種方法，即直接平衡法、虛位移原理方

10、法和哈密爾頓原理方法。動力體系的運動方程可用上述三種不同方法中的任一種來建立最簡單明了的方法是采用直接平衡法建立作用于體系上全部力（包括慣性力）的動力平衡方程，但對于更復(fù)雜的體系，特別是對那些質(zhì)量和彈性只在有限區(qū)域是分布的體系，直接的矢量平衡可能是困難的，而應(yīng)用僅包含功和能等標(biāo)量來建立方程式的方法則更為方便，其中最直接的就是基于虛位移原理的方法。在這種方法中，首先計算作用于體系上的力，然后由它們在相應(yīng)的虛位移上所作的功來導(dǎo)出運動方程。哈密爾頓原理是利用能量來建立運動方程，它不直接利用作用于體系內(nèi)的慣性力或保守力，而是采用體系的動能和位能的變分來替代這些力的作用。上述三種方法是完全相等的，采用哪

11、種方法取決于是否方便和個人的喜愛以及動力體系的性質(zhì)。直接平衡法 任何動力體系的運動方程都可以用牛頓第二運動定律表示：即任何質(zhì)量的動量變化率等于作用在這個質(zhì)量上的力。這個關(guān)系在數(shù)學(xué)上可用微分方程來表達： （1）其中為作用力矢量，為質(zhì)量的位置矢量對于大多數(shù)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，可以假設(shè)質(zhì)量是不隨時間變化，這時方程（1）可改寫作 （2）它表示力為質(zhì)量與加速度的乘積，(2)式也可改寫為： （3）此時第二項被稱為抵抗質(zhì)量加速度的慣性力。 質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力與它的加速度成正比，但方向相反。這個概念稱作為d'Alembert原理。由于它可以把運動方程表示為動力平衡方程，因而是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題中一個很方便的

12、方法。可以認(rèn)為，力包括許多種作用于質(zhì)量上的力：抵抗位移的彈性約束力，抵抗速度的粘滯力，以及獨立確定的外荷載。因此，如果引人抵抗加速度的慣性力，則運動方程的表達式僅僅是作用于質(zhì)量上所有力的平衡表達式。在許多簡單問題中，最直接而且方便的建立運動方程的方法就是直接平衡法。虛位移原理 如果結(jié)構(gòu)體系相當(dāng)復(fù)雜，而且包含許多彼此聯(lián)系的質(zhì)量點或有限尺寸的質(zhì)量塊，則直接寫出作用于體系上所有力的平衡方程可能是困難的。通常所包含的各式各樣的力可以容易地用位移自由度來表示，而它們的平衡規(guī)律則可能是不清楚的。此時，虛位移原理就可用來代替平衡規(guī)律建立運動方程。虛位移原理可闡述如下：如果一個平衡的體系在一組力的作用下承受一

13、個虛位移，即體系約束所允許的任何微小位移，則這些力所作的總功將等于零按這個原理，很明顯，虛位移時所作的功為零是和平衡等價的。因此，在建立動力體系的反應(yīng)方程時，首先要搞清作用于體系質(zhì)量上的所有的力，包括按照d'Alembert原理所定義的慣性力，然后引入相應(yīng)于每個自由度的虛位移，并使所作的功等于零，這樣就可以導(dǎo)出運動方程。這個方法的主要優(yōu)點是：虛功為標(biāo)量，可以按代數(shù)方式相加，而作用于結(jié)構(gòu)上的力為矢量，只能按矢量疊加。利用虛位移原理建立運動方程的簡單實例見單自由度體系運動方程。哈密爾頓原理 避免建立平衡矢量方程的另一個方法是使用以變分形式表示的能量（標(biāo)量）的方法。通常最廣泛應(yīng)用的變分概念為

14、哈密爾頓（Hamilton）原理。此原理可表達為 （1）其中： 體系的總動能； 體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守外力的勢能； 作用于體系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）所作的功； 在指定時間區(qū)間內(nèi)所取的變分。 哈密爾頓原理說明在任何時間區(qū)間到內(nèi)，動能和位能的變分加上所考慮的非保守力所作的功的變分必須等于零。這個原理的應(yīng)用直接導(dǎo)出任何給定體系的運動方程。這個方法和虛功方法的不同在于：在這個方法中，不明顯使用慣性力和彈性力，而分別被動能和位能的變分項所代替。因此，這種建立方程的方法的優(yōu)點是，它只和純粹的標(biāo)量能量有關(guān)，而在虛功分析中，盡管功的本身是標(biāo)量，但被用來計算功的力和位移卻都是矢量。 哈

15、密爾頓原理也可用于靜力問題。此時，動能項消失，而方程(4)的積分中剩余的項是不隨時間變化的，于是方程簡化為 (2)這就是廣泛應(yīng)用在靜力分析中著名的最小位能原理。利用哈密爾頓原理建立運動方程的簡單實例見單自由度體系運動方程。單自由度體系運動方程 一個理想化單自由度運動體系如圖1所示。圖1 理想化單自由度運動體系（a）基本元件； （b）平衡力系(b)(a)xx圖中：彈性剛度，質(zhì)量，阻尼系數(shù)，外力，位移坐標(biāo)，慣性力（-加速度），彈性恢復(fù)力，阻尼力（假設(shè)粘滯阻尼， -速度）。 采用直接平衡法來建立運動方程。如圖1b所示，根據(jù)力的平衡可以得到： （1）即 （2）公式（2）即為單自由度體系運動方程。再采用

16、虛位移原理來建立此單自由度體系的運動方程。假設(shè)給圖1b所示體系一個虛位移（僅僅是體系約束所允許的微小位移），則每個力都將做功，體系所作的總功可寫作 （3）式中的負(fù)號是由于力的方向和虛位移方向相反，將各種力的表達式代入方程（3），并提取公因子，可以得到 （4）因為不等于零，所以可以得到同式（2）一樣的方程。繼續(xù)利用哈密爾頓原理來推導(dǎo)這個體系的運動方程。根據(jù)定義，體系的動能為，而僅由彈簧的應(yīng)變能表達的位能為，該體系的非保守力為阻尼力和外荷載，這些力所做功的變分為，將以上各式代入哈密爾頓原理的表達式，并經(jīng)相應(yīng)的變分和整理后可得 （5）上式中的第一項可以進行如下的分部積分： （6）式中利用了關(guān)系。因為

17、在哈密爾頓原理中假定變分在積分限和時為零，所以方程（6）右邊第一項為零，將方程（6）代回方程（5），結(jié)果為 （7）因變分的任意性，所以必須括號內(nèi)的表達式等于零時才能使方程始終得以滿足。這樣就得到了同樣的單自由度體系運動方程。當(dāng)受到地震作用時，不僅需要考慮體系相對地面的加速度，還要考慮地面的加速度，因此，慣性力。這時只需將移到方程的右端作為一種特殊的外荷載處理即可。如果p(t)=0，式（2）則成為單自由度體系自由振動方程： （8）式中：，稱為阻尼比；，稱為圓頻率，是表示體系自振特性的一個參數(shù)。運動方程（8）的解為： （9）式中：和分別代表體系的初始速度和初始位移；，稱為阻尼振動圓頻率。式（4）表

18、示在初始擾動下，體系隨時間變化逐漸衰減的振動過程。體系在外力作用下的運動特性可以通過假設(shè)圖1所示體系承受幅值、圓頻率為的簡諧荷載作用下的運動微分方程求解來加以說明，此時運動方程為： （10）該方程的解由通解和特解兩部分組成： （11） （12） 式中是荷載頻率固有自振頻率之比。方程（10）的通解表示對所作用荷載的瞬態(tài)反應(yīng)，常數(shù)A和B可由給定的初始條件算出，由于阻尼使此項很快消失，因此一般不予考慮。方程（10）的特解為作用荷載同頻率而不同相位的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。多自由度體系運動方程 圖1 梁式結(jié)構(gòu)的離散化u2(t)ui(t)uN(t)u1(t) 采用直接平衡法和圖1所示的普通簡支梁作為典型例子來說明多自

19、由度體系的運動方程是如何建立的，這種方法對任何一種結(jié)構(gòu)類型都同樣適用。假定這個結(jié)構(gòu)的運動由梁上一系列離散點的位移， 所確定。結(jié)構(gòu)上的這些點可以任意設(shè)置，所考慮的自由度（位移分量）數(shù)目取決于分析者，當(dāng)然取較多時能更好地逼近結(jié)構(gòu)真實的動力行為。本例中梁上每一個節(jié)點只取一個位移分量。然而，應(yīng)該指出每一個節(jié)點也可以取幾個位移分量，例如，可以取轉(zhuǎn)角和水平向位移等。針對體系的每一個自由度列出實際作用力的平衡方程就能寫出圖1所示體系的運動方程。一般說來在任意一點上，包含有四種力：外荷載、由于運動而產(chǎn)生的力（即慣性力）、阻尼力和彈性力。這樣，對于多自由度體系中的每一個自由度，動力平衡條件可寫成 （1）當(dāng)力向量

20、用矩陣形式表示時，亦可寫成 （2）這就是多自由度體系的運動方程。每一種抗力可以非常方便地用一組適當(dāng)?shù)挠绊懴禂?shù)來表示。例如，考慮在節(jié)點1上產(chǎn)生的彈性力分量，這個量一般依賴于結(jié)構(gòu)所有節(jié)點產(chǎn)生的位移分量： （3a）同樣地，對應(yīng)于自申度的彈性力是 （3b）寫成一般形式， （3c）系數(shù)稱為剛度系數(shù)，定義為：由坐標(biāo)單位位移所引起的對應(yīng)于坐標(biāo)的力。用矩陣形式表達，彈性力與位移的關(guān)系為 (4)用符號表示： (5)剛度系數(shù)矩陣k稱為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（針對指定的一組位移坐標(biāo)），u是表示結(jié)構(gòu)變形形狀的位移向量。若假定阻尼與速度有關(guān)，即粘滯阻尼，則與所選擇的自由度對應(yīng)的阻尼力就可以按同樣的方式用阻尼系數(shù)表示。類似于公式

21、（4）和（5），阻尼力與各點位移坐標(biāo)的速度的關(guān)系為： （6）這里為速度向量，向量中的表示點位移坐標(biāo)的時間變化率（速度），c為阻尼矩陣，矩陣中的稱作阻尼影響系數(shù)，定義為：=由坐標(biāo)單位速度所引起的對應(yīng)于坐標(biāo)的力。慣性力也可用一組影響系數(shù)表示，它們表示相應(yīng)自由度的加速度與其產(chǎn)生的慣性力之間的關(guān)系。類似于式（4）和（5），慣性力可表達成 （7）其中為加速度向量，向量中的表示點位移坐標(biāo)的加速度，m是質(zhì)量矩陣,矩陣中的稱為質(zhì)量系數(shù),定義為：由坐標(biāo)的單位加速度所引起的對應(yīng)于坐標(biāo)的力。將式（5）,(6)和（7）代入式（2），可給出結(jié)構(gòu)完整的動力平衡方程： （8）這就是用以求解多自由度體系反應(yīng)的運動方程。 當(dāng)受

22、到地震作用時，類似于單自由度體系，此時（I為單位列向量），將移到式（8）的右端即得到體系在地震作用下的運動方程。剛度矩陣 剛度矩陣k由剛度系數(shù)組成，定義為：=由坐標(biāo)單位位移所引起的對應(yīng)于坐標(biāo)的力。原則上，與任何一組指定的節(jié)點位移相關(guān)的剛度系數(shù)都可直接應(yīng)用它們的定義求得。然而，實際應(yīng)用中基本上都是采用有限元方法來計算剛度矩陣，因它非常簡便直觀。其步驟是首先將結(jié)構(gòu)分割成只在有限個接點處相互連接的離散單元體系，然后計算單個單元特性，最后適當(dāng)?shù)亟M合形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。這樣，確定結(jié)構(gòu)剛度特性的問題基本上可簡化為單元剛度計算問題。單元剛度矩陣可以根據(jù)假定的單元內(nèi)部變形插值函數(shù)和虛功原理求出。下面以圖1所示

23、二維彎曲梁單元為例簡單說明如何建立單元剛度矩陣。u2u1lx12u12圖1 梁單元當(dāng)u1發(fā)生單位位移而同時其它三個自由度為約束時，梁的撓曲線可用多項式函數(shù)表示為： (1a)與此類似，當(dāng)1、u2和2分別發(fā)生單位變形時，相應(yīng)的梁的撓曲線可表示為： （1b） (1c) (1d)稱為插值函數(shù)或形函數(shù)。這樣，單元的撓曲形狀就可以用它的結(jié)點位移表示成： (2)梁的應(yīng)變能是 （3）根據(jù)虛功原理可以求出單元剛度矩陣中的各個剛度系數(shù) （4）由式（4）可以推出二維等截面彎曲梁的單元剛度矩陣為： （20）以上只是介紹了最主要步驟，欲知具體推導(dǎo)過程可參見相關(guān)有限元方法書籍。建立單元剛度矩陣后，采用有限元規(guī)定的組裝方法

24、即可建立結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣。質(zhì)量矩陣 結(jié)構(gòu)動力分析時需要考慮所有因振動而產(chǎn)生慣性力的質(zhì)量。這些質(zhì)量一般以質(zhì)量矩陣表示。質(zhì)量矩陣可分為集中質(zhì)量矩陣和一致質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣是假定全部質(zhì)量積聚在某些需要計算平動位移的結(jié)點上。采用靜力學(xué)方法將單元質(zhì)量等效到單元的各個節(jié)點上，結(jié)構(gòu)任意節(jié)點積聚的總質(zhì)量等于與該節(jié)點連接的各單元分配給此節(jié)點的質(zhì)量之和，當(dāng)然還要加上用同樣方法等效到該節(jié)點的外部荷載質(zhì)量。這樣形成的質(zhì)量矩陣具有對角形式，即矩陣中只有對角線上有值，對角線以外值均為零。一致質(zhì)量矩陣是指根據(jù)有限元原理推導(dǎo)出的質(zhì)量矩陣。質(zhì)量矩陣中的元素定義是：由坐標(biāo)的單位加速度所引起的對應(yīng)于坐標(biāo)的力。其形成過程同剛度矩

25、陣一樣也是先形成單元質(zhì)量矩陣，然后再組裝成總質(zhì)量矩陣。單元質(zhì)量矩陣的建立亦類似于單元剛度矩陣，具體可參見剛度矩陣辭條中彎曲梁單元剛度矩陣的形成過程。采用類似方法，可得到彎曲梁單元的質(zhì)量系數(shù) （1）這里，是插值函數(shù)。事實上，式（1）適用于任何一種單元，只不過不同的單元要選用不同的插值函數(shù)和積分區(qū)域而已。集中質(zhì)量矩陣非常簡便，且大量計算結(jié)果表明具有較好的計算精度，因此，實際結(jié)構(gòu)分析中較多采用這種質(zhì)量矩陣。阻尼矩陣 如果作用在結(jié)構(gòu)上的各種阻尼力能夠定量確定的話，那么有限元方法類似于在剛度矩陣辭條中介紹的剛度矩陣確定方法那樣可以再一次用來確定體系的阻尼矩陣。這樣可以得到單元的阻尼系數(shù)為 (1)其中表示

26、分布的粘滯阻尼特性，是插值函數(shù)，不同的單元采用不同的插值函數(shù)和相應(yīng)的積分域即能夠得到單元阻尼矩陣。然而阻尼特性（或其它任何特殊的阻尼特性）實際上是算不出來的。因此常常根據(jù)類似結(jié)構(gòu)實驗方法所確定的阻尼比來表示阻尼，而不是用一個顯式的阻尼矩陣c。當(dāng)實際動力分析中需要顯示阻尼矩陣時，常常采用瑞利阻尼矩陣或比例阻尼矩陣。瑞利阻尼矩陣 瑞利阻尼假設(shè)阻尼矩陣是結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即 （1）式中和為比例常數(shù)。根據(jù)振型正交條件，和與第階振型阻尼比之間應(yīng)滿足關(guān)系 （2）指定結(jié)構(gòu)的兩個自振頻率和以及相應(yīng)的阻尼比和，可由式（2）求出 （4） （5）瑞利阻尼在兩個指定振型內(nèi)，阻尼比小于或等于指定阻尼，其

27、他振型阻尼比隨頻率增高或減小不斷增大，這樣就削弱了這些振型對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響，見圖1所示。比例阻尼矩陣假定，稱為剛度比例阻尼矩陣，由瑞利阻尼矩陣中方程（2）可以得到，當(dāng)用第一振型的阻尼比確定后，則其它振型越高阻尼比越大，因此該模型限制了高階振型對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響。假定，稱為質(zhì)量比例阻尼，由瑞利阻尼矩陣中方程（2）可以得到，若用第一振型的阻尼比確定后，則與剛度比例阻尼相反，振型越高阻尼比越小，因此該模型突出了高階振型對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的貢獻。自振特性 每個結(jié)構(gòu)都有自己的振動特性，該特性以自振頻率（或自振周期）和振型表示，它們可以通過振動測量方法或計算分析方法得到。結(jié)構(gòu)振動具有周期性，振動一個來回所需的時間稱

28、為振動周期，以T來表示，單位為秒。每秒內(nèi)振動的次數(shù)稱為振動頻率，單位為赫茲。另一個參數(shù)是圓頻率，單位為弧度/秒，通常亦可簡稱為自振頻率。三者之間的關(guān)系是：T=。單自由度體系的自振頻率為 （1）其中，-彈性剛度，-質(zhì)量。多自由度體系的自振頻率和振型可以通過其運動方程 （見多自由度體系運動方程）求得。在上式中令，另外因阻尼對結(jié)構(gòu)自振特性影響不大，因此可進一步忽略阻尼力，這樣可得到運動方程如下： （2）設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧運動，將其代入式（2），可得到齊次方程 （3）因自由振動振幅不全為零，所以上式括號內(nèi)矩陣的行列式之值必須等于零，由此得到結(jié)構(gòu)自振頻率方程： （4）結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都是階方陣，其中是

29、節(jié)點自由度的數(shù)目，所以式（4）是關(guān)于的次代數(shù)方程，由此可以求出結(jié)構(gòu)的個自振頻率。對于結(jié)構(gòu)的第個自振頻率，由式（3）可確定一組振幅值，中各點幅值應(yīng)保持固定比例，但絕對值可以任意變化，它們構(gòu)成一個向量，稱為特征向量，工程上通常稱為結(jié)構(gòu)的振型。 運動方程求解方法 運動方程求解方法可以分為解析方法和數(shù)值方法。單自由度體系在簡單荷載作用下可以采用解析方法求解，其它情況下均采用數(shù)值方法進行求解。數(shù)值方法包括適用于線性方程的傅氏變換法和振型疊加法，以及線性與非線性都適用的逐步積分法。傅氏變換法是頻域求解方法，而振型疊加法和逐步積分法均是時域求解方法。 杜哈梅積分 杜哈梅提出了一種計算一般動力荷載作用下結(jié)構(gòu)反

30、應(yīng)的分析方法。為了說明該方法，考慮圖1所示任意荷載。若在時刻的荷載強度為，在一短時間間隔范圍內(nèi)作用的這個荷載，將在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生一個短持續(xù)時間的沖量。作用在質(zhì)量上的沖量產(chǎn)生的速度變化，可以用牛頓運動定律來確定，即，從而有?？梢钥吹蕉虝r沖量引起物體一個速度增量。可以把這個速度增量看作在時間時物體的初始速度進行運動方程求解。t反應(yīng) 圖1杜哈梅積分推導(dǎo)示意圖對于單自由度無阻尼自由振動體系，運動方程得解為 （1）令時刻的初始速度，初始位移，這樣在稍后的某一時間時產(chǎn)生的位移為 (2)上式中，表示在>的整個反應(yīng)時程范圍內(nèi)微分沖擊荷載的微分反應(yīng)，它不是時間間隔內(nèi)的變化。整個荷載時程可以看作由一系列連續(xù)的短

31、脈沖所組成，每個脈沖將產(chǎn)生一個如方程（2）所示的微分反應(yīng)，對于彈性體系而言，總反應(yīng)是荷載時程所產(chǎn)生的全部微分反應(yīng)之和，即 （3）式（3）即為無阻尼體系的杜哈梅積分。類似方法推導(dǎo)，可得到有阻尼體系的杜哈梅積分如下： （4）如果積分較為簡單，可直接解析求解體系反應(yīng)，否則可采用數(shù)值方法求解。 傅氏變換法 將整個運動方程變換到頻域求解稱為頻域方法。在頻域求解方法中，最廣泛應(yīng)用的是傅氏變換法。 以單自由度系統(tǒng)為例來說明傅氏變換方法。單自由度系統(tǒng)運動方程為，當(dāng)體系是在地震動激勵時，。首先，從數(shù)學(xué)上可知關(guān)于時間函數(shù)的傅里葉變換對是 和 由此對于單自由度體系可寫下 其中，和分別是和的傅氏變換。將它們代入單自由

32、度體系運動方程，可得到 （1）由于對于任意時刻，式（1）成立，必有 （2）記 （3）得到頻域解 （4）稱為位移位移傳遞函數(shù)。得到后，經(jīng)傅氏反變換便可得到時域解，這就是傅氏變換法的基本原理。當(dāng)采用地面運動加速度記錄和相應(yīng)的加速度傅氏譜作為輸入時，則記 以同樣的步驟可以得到 （5）其中，是加速度位移傳遞函數(shù)，簡稱位移傳遞函數(shù)。同樣方法可以得到多自由度體系位移反應(yīng)的傅氏變換 （6）稱為位移傳遞函數(shù)矩陣。實際地震反應(yīng)分析中，因地面運動加速度時程是以離散形式給出，所以傅氏變換和逆變換均是采用離散快速傅里葉變換（FFT）方法進行計算的。振型疊加法 振型疊加法是求解多自由度線形系統(tǒng)運動方程有效手段之一。其基

33、本原理是利用系統(tǒng)正交特性將維運動方程組解耦，使之成為個單自由度系統(tǒng)，分別求解后再進行疊加求得結(jié)構(gòu)總體反應(yīng)。它的基本原理如下所述。多自由度體系運動方程為，考慮地震激勵，即。對于維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，由結(jié)構(gòu)自振特性知可求出個振型，這里記作。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理可知結(jié)構(gòu)反應(yīng)為各階振型反應(yīng)之和 （1）以矩陣符號表示 （2）式中，為第階振型反應(yīng)的幅值，數(shù)學(xué)上將視為廣義坐標(biāo)。將式（2）代入運動方程，并各項同時左乘 （3）由于系統(tǒng)正交特性（假設(shè)阻尼矩陣也具有正交特性），方程（3）具有解耦形式，即、和矩陣經(jīng)振型矩陣左右乘后得到的矩陣只有對角線上有值，其他位置值均為零。這樣便可得到個互不關(guān)聯(lián)的方程： （4）也可寫成（見單自

34、由度體系運動方程） （5）其中， ，它們分別稱為第振型的廣義質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度、廣義荷載和振型參與系數(shù)，為第階振型阻尼比，是第階自振頻率。至此，可以采用杜哈梅積分或其它數(shù)值方法分別對上述個單自由度運動方程求解，然后再代入式（2）求得結(jié)構(gòu)總體反應(yīng)。復(fù)振型疊加法 嚴(yán)格來說，只有單一材料建造的結(jié)構(gòu)，其阻尼才近似滿足正交條件。而實際的工程結(jié)構(gòu)往往是由不同的材料組成，如鋼混凝土結(jié)構(gòu)；或考慮更復(fù)雜的動力問題，如結(jié)構(gòu)-設(shè)備動力相互作用、土結(jié)構(gòu)動力相互作用等問題。在這些情況下，阻尼不滿足正交條件。復(fù)振型疊加法為具有不滿足正交條件的一般粘性阻尼線性結(jié)構(gòu)，提供了一條有效的分析途徑。1. 復(fù)特征值多自由度體系

35、的運動方程為 （1）通過變量代換 （2）并補充恒等式 （3）聯(lián)立式（1）和（3），使原方程化為關(guān)于狀態(tài)變量的一階微分方程 （4）式中，。方程（4）稱為體系狀態(tài)方程。令式（4）中，則自由振動情況下的狀態(tài)方程為 (5)設(shè)上述齊次方程的解為 (6)式中，為常數(shù)；為向量，將式(6)帶入式（5），得 (7)式（7）有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即 (8)式（7）和式（8）是典型的特征值和特征向量問題，對于小阻尼振動系統(tǒng)，解方程式（8），可得到2n個復(fù)特征值，它們都是共軛成對出現(xiàn)，將這些特征值按從小到大的次序排列，可得到如下特征值向量 （9）式中， 稱為系統(tǒng)的復(fù)頻率， 將每個特征值逐一代入式（7）

36、可以得到2n個復(fù)特征向量 (10)式中， 稱為復(fù)振型，和 為共軛向量，即。可以看到，所求出的振型為復(fù)振型，它只對和具有加權(quán)正交特性，而對結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣不存在這種正交性質(zhì)。另外需指出復(fù)振型頻率與固有頻率并不相等。2. 復(fù)振型疊加法 同一般振型疊加法一樣，首先進行坐標(biāo)變換 （11）式中，為第階復(fù)振型反應(yīng)的幅值，廣義坐標(biāo)向量。將式（11）代入方程（4），并各項同時左乘 （12）由于正交特性，方程（12）具有解耦形式，即和矩陣經(jīng)復(fù)振型矩陣左右乘后得到的矩陣只有對角線上有值，其他位置值均為零。這樣便可得到個互不關(guān)聯(lián)的一階微分方程： （13）或?qū)懗?（14）其中，前三項分別稱為第復(fù)

37、振型的復(fù)振型質(zhì)量、復(fù)振型剛度和復(fù)頻率。 至此，可以采用杜哈梅積分或其它數(shù)值方法分別對上述2個獨立的一階方程求解，然后再代入式（11）求得結(jié)構(gòu)總體反應(yīng)。因結(jié)構(gòu)體系只能有實數(shù)解，因此求出的結(jié)構(gòu)反應(yīng)結(jié)果應(yīng)取其實部。逐步積分法 逐步積分法是將時間過程離散為一系列短時間增量，計算每個的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，然后逐步累加完成整個時間反應(yīng)過程分析。逐步積分法既適用于結(jié)構(gòu)彈性時程反應(yīng)分析，也適用于彈塑性時程反應(yīng)分析，是結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析重要的求解手段之一。根據(jù)多自由度體系運動方程，在和時刻，體系的運動方程分別為 和 后式減前式，可以得到運動方程的增量形式： （1） 求解上述方程有多種方法，如線性加速度法、威爾遜法、紐馬克法

38、等。 線性加速度法 該方法的基本假定是：在每個時間增量內(nèi)加速度線性變化，而且體系的特性在這個時間間隔內(nèi)保持為常量。以單自由度體系為例，體系運動方程的增量形式為 位移（三次）速度（二次）加速度（線性）圖1體系在時間增量期間的運動（1） 在時間間隔內(nèi)的運動見圖1。計算在間隔終點（）的值，可以導(dǎo)出速度和位移的增量方程如下： （2）（3）解式（3）可得加速度增量，并將這個表達式代入方程（2），從而獲得 （4） （5）將上兩式代入方程（1），并將所有含已知初始條件的各項移到方程右端，可以得到 （6）其中 （7） （8） 這里和表示它們可以隨時間變化（彈塑性問題）。可以看出，方程（6）相當(dāng)于靜力增量平衡關(guān)

39、系，解方程（6）可以得到位移增量，再將此值代入式（5）即可獲得速度增量。下一時段的初始條件由這一時段起點的速度和位移值加上這些增量值而得到。下一步計算還需要同一時刻的加速度，它因前述假設(shè)而導(dǎo)致在每一步長計算中可能產(chǎn)生微小誤差，為避免累積，該時刻的加速度利用總的平衡條件（運動方程）求之。對于多自由度體系，完全與單自由度體系相類似，只不過將相應(yīng)的剛度、阻尼、質(zhì)量和荷載換成矩陣形式即可。線形加速度法是有條件穩(wěn)定的方法，當(dāng)（- 結(jié)構(gòu)基本周期）過大時，結(jié)構(gòu)反應(yīng)會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，不能給出正確解。一般來說，時間步長應(yīng)至少小于結(jié)構(gòu)周期的5到10倍，這種分析方法才能給出很精確的結(jié)構(gòu)運動。威爾遜法 Wilson法是

40、基于線性加速度法提出的，不同之處是對積分步長作了一種修正，即規(guī)定（）。研究證明，該方法是無條件穩(wěn)定的。在實際使用中應(yīng)注意，值不宜過大，一般取1.4左右即可，否則會引起較大誤差。計算首先是在延伸的時間步長上用標(biāo)準(zhǔn)的線性加速度法求出加速度增量，然后用內(nèi)插法求得在常規(guī)步長上的增量，再將其代入方程和求出速度和位移增量，其后求下一步初始條件與線性加速度方法完全相同。因Wilson法是一種無條件穩(wěn)定的逐步積分方法，因此應(yīng)用較為廣泛。紐馬克法 紐馬克方法的全稱是Newmark（）法，其中和是兩個用以控制計算精度和穩(wěn)定性的參數(shù)。以單自由度體系為例來說明紐馬克方法。該方法假定在較短的時刻增量后，體系的速度和位移

41、分別為 （1） （2）和取值有下列幾種情況：一般較常用的是取，此時稱為Newmark-法，和進一步取時，通常被稱為平均加速度法，這是因為在內(nèi)，體系加速度為平均值；當(dāng)和時，即成為線性加速度法。當(dāng)和時，則成為中心插分法。紐馬克方法下一步推導(dǎo)和求解過程與線性加速度法完全相同，這里不再重復(fù)。結(jié)構(gòu)力學(xué)分析模型 結(jié)構(gòu)力學(xué)分析模型是結(jié)構(gòu)分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，它直接影響分析結(jié)果的可靠性。分析模型簡化需要根據(jù)結(jié)構(gòu)特征、計算目標(biāo)和計算機容量加以確定。其基本原則是：1.能夠確切地反映結(jié)構(gòu)的變形性質(zhì)；2.計算簡單方便。結(jié)構(gòu)分析模型可以概括地分為：單自由度體系分析模型，串聯(lián)多自由度體系分析模型，平面分析模型和三維空間分析

42、模型。單自由度體系分析模型 單自由度體系分析模型是最早用來計算結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的模型。圖1為典型單自由度體系在地震作用下的分析模型。一般說來，結(jié)構(gòu)振動狀態(tài)均較復(fù)雜，難以合理簡化成單質(zhì)點運動，但因計算機發(fā)展之前，人們計算能力有限，所以這種模型還是廣泛用來估計結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)。而目前該模型應(yīng)用較少，僅在個圖1 單自由度體系分析模型別情況下，譬如粗略估計均勻懸臂結(jié)構(gòu)（高煙囪等）或簡單支撐一個大質(zhì)量的結(jié)構(gòu)（柱承式貯倉等）動力反應(yīng)中有所應(yīng)用。串聯(lián)多自由度體系分析模型 這種模型是以結(jié)構(gòu)層作為基本計算單元來進行分析的。視結(jié)構(gòu)為懸臂桿，結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中于各個樓層標(biāo)高處，適當(dāng)計算每個樓層的等效剛度，形成一個串聯(lián)多自由度體系

43、，其計算簡圖如圖1所示。該模型的基本假定是: (1)樓板在自身平面內(nèi)剛度無窮大，水平地震作用下各層豎向構(gòu)件側(cè)向位移相同； (2)結(jié)構(gòu)剛度中心與質(zhì)量中心重合,在水平地震作用下結(jié)構(gòu)不會發(fā)生繞豎軸的扭轉(zhuǎn)。模型特點是自由度較少，當(dāng)不考慮樓層的轉(zhuǎn)動慣性時，體系的自由度數(shù)等于結(jié)構(gòu)層數(shù)，大大減少了計算工作量，同時與單自由度體系模型相比，它還可考慮高階振型的影響。該模型雖然比較粗糙，但簡單易行，求解效率較高，能夠較快地了解體系的宏觀反應(yīng)，評價體系的整體動力性能。 圖1 串聯(lián)多自由度體系分析模型 剪切型模型是最早提出的串聯(lián)多自由度體系模型，之后發(fā)展了考慮彎曲變形的D值法，其后又提出了若干等效串聯(lián)多自由度體系模型

44、。剪切型模型 此模型的基本假定為：結(jié)構(gòu)水平構(gòu)件的剛度無窮大，不產(chǎn)生彎曲變形，梁柱節(jié)點轉(zhuǎn)角為零；豎向構(gòu)件在水平荷載下不產(chǎn)生軸向變形。該模型較多應(yīng)用于框架和多層砌體結(jié)構(gòu)。對于框架結(jié)構(gòu)，要求是強梁弱柱型。然而，大部分框架結(jié)構(gòu)屬強柱弱梁型，與其假定正好相反，因此在應(yīng)用中會引起一定誤差。圖1 剪切型結(jié)構(gòu)變形在模型的假定前提下，結(jié)構(gòu)的層間剛度由該層所有豎向構(gòu)件剛度之和。對于框架結(jié)構(gòu)而言，在彈性階段，每個柱子的剛度為 （1）其中，彈性模量；柱的截面慣性矩；層高。對于多層砌體結(jié)構(gòu)，每片墻取其剪切剛度即可。圖1給出一簡單三層平面結(jié)構(gòu)模型變形示意圖。根據(jù)剛度的定義，可以看出剪切型模型中每一樓層的變形僅與相鄰樓層剛

45、度有關(guān)，因此它的總剛度矩陣是三對角形的。對于層結(jié)構(gòu)，它的剛度矩陣為 （2）這種模型雖然簡單，但因其假設(shè)與大部分結(jié)構(gòu)不符，所以目前在結(jié)構(gòu)彈性反應(yīng)分析中極少應(yīng)用，僅在彈塑性反應(yīng)分析中還有所應(yīng)用，這也是不得已而為之，因?qū)τ谶@些結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在還沒有適當(dāng)?shù)姆治龇椒ā值法 在剪切型模型中假定梁的剛度為無窮大，梁柱之間轉(zhuǎn)角為零，這無疑與大多數(shù)框架結(jié)構(gòu)實際變形情況不符。為了能夠考慮梁對柱的剛度影響，提出了各種修正方法，包括最廣泛采用的D值法。所謂D值是指框架柱的抗側(cè)剛度值，也就是使框架柱產(chǎn)生單位水平位移所必須施加的水平力。 (1) 式中：柱的線剛度；與梁柱剛度比有關(guān)的系數(shù)。經(jīng)計算分析，可總結(jié)出不同位置、不同梁柱

46、剛度比下的值，它們可從相關(guān)書籍中查到，這里從略。D值法在以前簡化計算時期應(yīng)用非常廣泛，但隨計算機和有限元方法的發(fā)展，現(xiàn)已很少應(yīng)用。等效串聯(lián)多自由度體系模型 下面兩種將結(jié)構(gòu)等效成串聯(lián)多自由度體系的方法雖然比剪切型模型和D值法更合理一些，但因其較為復(fù)雜，所以實際應(yīng)用有限。（1）利用靜力等效原則求出結(jié)構(gòu)只與水平位移相關(guān)的剛度矩陣。具體步驟是首先用有限元方法建立層結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（自由度數(shù)為節(jié)點數(shù)乘以每個節(jié)點的自由度數(shù)，其值遠(yuǎn)大于），然后在第層處施加單位水平力，求出一組水平位移，再在其它樓層施加單位水平力，重復(fù)求解過程，直至層，最后可得到個自由度的結(jié)構(gòu)側(cè)向柔度矩陣 （1） 將柔度矩陣求逆，可以得出側(cè)向剛

47、度矩陣 2）該模型主要是針對當(dāng)時計算機計算能力有限，考慮到提高時程分析的效率而發(fā)展的。（2）這種方法亦是首先用有限元方法建立結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，然后用靜力法計算結(jié)構(gòu)各層水平層間位移及層間剪力，再按下式計算該層等效剪切剛度 （3）各層等效剪切剛度求出后按剪切型剛度矩陣進行組裝，形成三對角總剛度矩陣。雖然該方法考慮了結(jié)構(gòu)各種構(gòu)件對側(cè)向剛度的影響，但本質(zhì)上還是剪切型模型。平動-扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)分析模型 非對稱結(jié)構(gòu)在地震作用下會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。簡化平動扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)分析模型如圖1所示。圖1 平動扭轉(zhuǎn)偶聯(lián)分析模型模型假設(shè)：樓板為絕對剛性；每層質(zhì)量集中于該層質(zhì)心處；每層抗側(cè)剛度等于該層所有縱向構(gòu)件抗側(cè)剛度之和；各構(gòu)件均不考

48、慮自身扭轉(zhuǎn)剛度。模型每層具有3個自由度，即、兩向平移和平面內(nèi)扭轉(zhuǎn)。對于層結(jié)構(gòu)，自由度數(shù)為。以單層結(jié)構(gòu)為例說明結(jié)構(gòu)特性矩陣的求解過程。結(jié)構(gòu)屋頂平面如圖2所示。取質(zhì)心作為坐標(biāo)原點，剛心的坐標(biāo)為（）。結(jié)構(gòu)剛性平面內(nèi)任意一點的位移為： （1）剛心圖2 偏心平面根據(jù)運動方程中介紹的運動方程建立方法，可建立該體系的運動方程，從而得到對應(yīng)向量的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為： （2） （3） 式中：該層繞質(zhì)心豎軸的轉(zhuǎn)動慣量；分別為所有豎向抗側(cè)力構(gòu)件方向和方向剛度之和， 即，；抗扭剛度，； 耦聯(lián)剛度，。多層結(jié)構(gòu)以類似方法可以建立結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，這里不再詳述。圖1 框架結(jié)構(gòu)和計算模型圖2 框架剪力墻結(jié)構(gòu)和計算

49、模型這種分析模型在以前具有偏心的重要結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中得到一定應(yīng)用。目前因計算機和有限元方法的發(fā)展，該模型已幾乎不用。平面桿系分析模型 平面桿系模型是以有限元方法為基礎(chǔ)，將梁、柱、墻等簡化為桿件進行結(jié)構(gòu)分析。模型的基本假定是樓板自身平面內(nèi)無限剛；結(jié)構(gòu)較規(guī)則，無明顯扭轉(zhuǎn)。在此假定下，結(jié)構(gòu)每層節(jié)點水平位移相同，梁單元沒有軸向變形，只有剪切和彎曲變形，即每個節(jié)點兩個自由度。柱單元每節(jié)點有軸向、剪切和彎曲3個自由度。墻以柱單元離散，并由帶剛域的梁連接?？蚣芙Y(jié)構(gòu)簡化模型見圖1，框架剪力墻結(jié)構(gòu)簡化模型見圖2。結(jié)構(gòu)各榀構(gòu)件特性基本相同時，可取一榀進行分析，也可將各榀疊加成一榀進行分析。當(dāng)存在特性不同的榀時，

50、可同時取出，并將它們用剛桿鉸接連接。譬如圖1代表一個結(jié)構(gòu)中的全部榀框架，圖2代表同一結(jié)構(gòu)中的全部榀框架-剪力墻部分，在每一層用剛桿鉸接連接，使之成為該框架一剪力墻結(jié)構(gòu)分析模型。平面桿系模型目前較廣泛用于結(jié)構(gòu)彈塑性地震反應(yīng)分析之中。三維有限元模型 近年來，隨著計算機技術(shù)和有限元技術(shù)及軟件的發(fā)展，三維有限元分析在結(jié)構(gòu)彈性地震反應(yīng)分析與設(shè)計中已得到廣泛應(yīng)用，無論多么復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，只要模型簡化的合理，均可獲得滿足一定精度要求的計算結(jié)果。在此模型中，可以假設(shè)樓板無限剛，以減少求解自由度，當(dāng)樓板有較大開洞等情況時，也可采用彈性樓板，即樓板用板殼單元離散。結(jié)構(gòu)分析常用的單元有三維梁單元、板殼單元和二力桿單元。三維梁單元用于模擬結(jié)構(gòu)的梁和柱和固接斜桿。板殼單元用于模擬剪力墻和樓板，它是由平面應(yīng)力單元和板單元疊加而成，使之既可模擬平面內(nèi)又可模擬平面外受