自然數(shù)集擴充后的基數(shù)理論

1、自然數(shù)集擴充后的基數(shù)理論作者：劉緹仿: 自然數(shù)集擴充后 , 其基數(shù)理論起了相應(yīng)變化 , 定義與法則都 需作調(diào)整以適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用的需要 .1994年 11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的中華人民共和國國家 標準, 物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號中 , 將自然數(shù)集記 為N=0,1,2,3,而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集N+（或 N*）=1,2,3,.自然數(shù)集擴充后 , 文1 中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一 些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之起變化 , 這給數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù) 學(xué)應(yīng)用產(chǎn)生一定影響 . 為此 , 我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論 如下.1 對自然數(shù)的來源的認識 由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論 1 之上的,基

2、數(shù)是由 集合對等而來 . 最初人類對物品的計數(shù) , 是將物品與人的手 指（腳趾）數(shù)形成映射關(guān)系 ,物品既然存在“多少” ,也就存 在“有”或“沒有” , “沒有”即可認為是空集 , 其計數(shù)應(yīng) 當是零 . 這就是說 , 零與非零自然數(shù)是人類認識同步的客觀 現(xiàn)象 , 而并非是 6 世紀才有零的概念 . 也許這就是將零補充到 自然數(shù)集的緣由之一 . 事實上 , 國外許多文獻和專家早就主張將零作為第一個自然數(shù) .2 自然數(shù)的新概念自然數(shù)擴充后 , 包含了空集的基數(shù) , 要去掉原有自然數(shù)定義 中“非空”的限制條件 ,即定義 1 有限集合的基數(shù)叫做自然 數(shù)根據(jù)對等的概念，可以建立N與N+的映射關(guān)系f:NJ

3、 =0, J 1, J 2, ； 3, J N+=1,2,3,4,由此可見,N與N+有相同的基數(shù)，即|N|=|N+|.3 自然數(shù)的四則運算 自然數(shù)加法、乘法運算義定只要去掉原有定義中的“非空” 二字即可 , 亦即定義2設(shè)有有限集合 A和B,且An B=O (A,B分離).若記AU B=C集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與 b的和，記作a+b=c.a和b叫做加數(shù).求兩個數(shù)的和的運算叫做加法.定義3設(shè)有m(m1)個相互對等，且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,Am,它們的基數(shù)都是n.又設(shè)A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作a,即有a=n+n+nm個，這個a就叫做n乘以m的積，記作

4、a=nx m,或 a=n.m,或 a=nm.n稱為被乘數(shù),m 稱為乘數(shù).求兩個 數(shù)積的運算叫做乘法 .對于數(shù)0,1,補充義定：n和0的積是0,n和1的積是n,即 n.0=0,n.1=1.在上述定義里 , 加法、乘法的交換律、結(jié)合律 , 乘法對于加法 的分配律仍然成立 .關(guān)于減法運算的定義，除了去掉“非空”二字外，集合B可以 是A本身，即定義4設(shè)有有限集合 A和B,BA,若記A-B=C,且A,B,C的基數(shù) 分別記作 a,b,c, 那么 c 叫做 a,b 的差 , 記作 a-b=c.a 叫做被減數(shù) ,b 叫做減數(shù) . 求兩個數(shù)差的運算叫做減法 .除法是乘法的逆運算 , 在原定義中要限定“除數(shù)非零”

5、即可定義5設(shè)a,b(b工0)是兩個自然數(shù)，如果存在一個自然數(shù) c, 使得 bc=a, 那么 c 叫做 a 除以 b 所得的商 , 記作ab=c,或 a* b=c.a 稱為被除數(shù) ,b 稱為除數(shù) . 求兩個數(shù)商的運算叫做除法 .4 自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(1) 自然數(shù)的有序性決定了自然數(shù)可以比較大小 , 即定義 6 如果兩個有限集合 A,B 的基數(shù)分別為 a,b, 那么1° 當 AA ,A 'B 時,a第 3 頁2° 當 Bf B,AB 時,a3°當AB時,a=b.自然數(shù)有反身律 :a=a; 對稱律 : 若 a=b, 則 b=a; 傳遞律 : 若 a>b,b >c,貝y a>c.自然數(shù)從小到大的排序為0,1,2,3,.(2) 自然數(shù)的單調(diào)性反映了不等量關(guān)系中的運算性質(zhì) , 擴充 后的自然數(shù)其單調(diào)性有了局部性改變 , 即若a>b,則1° a+c>b+c;2° 當 c0 時,ac >bc,當 c=0 時,ac=bc.對于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)論證與原理 , 應(yīng)隨自然數(shù)擴充