§2廣義積分的收斂判別法

1、§2廣義積分的收斂判別法廣義積分f無窮限的廣義積分 i無界函數(shù)的廣義積分無窮限廣義積分的收斂判別法二.無界函數(shù)廣義積分的收斂判別法一.無窮限廣義積分的收斂判別法定理1設(shè)/(x) wCq, + oo),且/(x)>0,若函數(shù)r X.F(x) = JJ a在q, + 00)上有上界,則廣義積分/(x)dx收斂.證：0/(x)>0, F在0, +力)上單調(diào)遞增有上界,根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知2020/3/72020/3/7Xlim F(x) = lim /(r)d t 兀一> +00x> +00 J a-+00 存在，即廣義積分/(x)dx收斂.2020/3/7寧波大學(xué)教

2、師教育學(xué)隔2020/3/7定理2. （ Cauchy收斂原理） 廣義積分廣于（兀>/兀收斂Vg > 0, EA） a，使對 VA, A > 丸者有I f （x）dx l< £證：利用無窮限廣義積分收斂的定義以及 極限存在的Cauchy準(zhǔn)則即得?？挛?Cauchy, Augustin Louis 1789-1857), 十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家。1789年8月R日生 于巴黎。在大學(xué)畢業(yè)后當(dāng)土木工程師，因數(shù)學(xué)上的成 就被推薦為科學(xué)院院士，同時任工科大學(xué)教授。后來 在巴黎大學(xué)任教授，一直到逝世。在代數(shù)學(xué)上，他有 行列式論和群論的創(chuàng)始性的功績；在理論物理學(xué)、光 學(xué)

3、彈性理論等方面，也有顯著的貢獻。他的特長是在 分析學(xué)方面，他對微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證 明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵下，柯西出版了分析教程、無窮小計算講義無窮小計算在幾何中的應(yīng)用這幾部劃時代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。柯西的極限定義至今還在普遍使用, 連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在較為堅實的基2020/3/7+ 00走理3(比較原理)設(shè)/w C Q, + 00),且對充 分大的兀有 0<f(x)<g(x), IJ!f+GCg(x)dx收斂=> f /(

4、x)d¥收斂CI-+OOJuJ af+X /(x)dx 發(fā)散匸=> f+GCg(x)dx 發(fā)散 Jci 'Ja證：不失一般性，設(shè)兀u a,+ 8)吋,0 < /(x) < g(x) 若g(x) dx收斂，則對Ia有C f(x)dx< Pg(x)dx< +00g(x)dxJ ciJ ciJa-a2020/3/7故/(x)dx是f的單調(diào)遞增有上界函數(shù)，因此Ja '.寧波大學(xué)教師教育學(xué)院limTT+oo J afMdx =r +oofMdxJ a極限存在,即廣義積分J f(x) dx收斂. 若"/(對舐發(fā)散，因為/Q時有 0 5/(x

5、)dxSg(x)djr令t +00,可見廣義積分I* g(x)dx必發(fā)散.亠“ i r+oc 1 I 收斂，P>1/ 小說明：已知 j(G0)兒xP l發(fā)散，p<A故常取g(x) = P/A > 0)作比較函數(shù)，得下列比較判別法.定理4（比較判別法1）設(shè)非負函數(shù)/（x）eCo, + s） （6Z > 0）.1）若存在常數(shù)A7 >0,卩>1,使對充分大的x有 fM < %r+x /（x）dx 收斂；J a2）若存在常數(shù)N0, p<l,使對充分大的x有x"則fix) dx 發(fā)散.例1 -判別廣義積分J73：齊J dx的收斂性.?.曲-c 丿

6、sirrx11解：00<<=由比較判別法可知原積分收斂.思考題：討論廣義積分廠.J dx的收斂性.提示：當(dāng)丘1時，利用2 +11 I _ 1Vx3+1 _/(x + l)3 無+1積分發(fā)2020/3/7XT+oo+ 00定理5.（極限判別法1）若且/no, 滿足lim xpf（x） = l廣+ OC則有：1）當(dāng)0>l,O5/<+oo 時£ /（X）dx收斂；+x2）當(dāng)7?<1,0</<+oo 時 jX/（x）dx發(fā)散.證：1）當(dāng)pl時,根據(jù)極限定義，對取定的£0,當(dāng)兀充 分大時，必有X/（X）W/ + £,即0 <

7、/（X）< Mn （Mi + w）X1可見Kim2020/3/7( 4- QC/(x) dx收斂;寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2)當(dāng)p S1時，可取w > 0,使/ y > 0, (/ = +s時用任意正 數(shù)N代替！-£),必有XP f (x) >1-8即/(X)> 1 f > N (N = / 刃x1 X可見j+0°/(x)d x發(fā)散注意：lim x/7/(x) = lim 此極限的大小刻回了XT+oo 'x-»+cc例2判別廣義積分廠-嚴(yán)2的收斂性Xi 1 I X解： 0 lim x2 / = limX->+oo XJ

8、l + X2XT+8根據(jù)極限判別法1 ,該積分收斂.32例3判別廣義積分JJjdx的收斂性.1 X“1 Jr2舫： 9 lim x2y = lim = 1兀 T+QO1 + %2 兀+°°+兀么根據(jù)極限判別法1,該積分發(fā)散.定理6若/*(x) u Co,+ oo),且 J； f (x)|dx收斂, 則廣義積分/(勸&收斂.+00證:令0（兀）=”（兀）+ |/（兀）|,則 0<（x）<|/（x）f f (x) dx收斂， f (px)&x也收斂，J a 1J af(x) = 2(p(x)-f(x)r/(x)dx=2f7(x)dJ(7i/(x)|d

9、x可見廣義積分° /(兀)d x收斂.2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院12定義設(shè)廣義積分ff7（x）dx收斂，若j; jg收斂,則稱/血絕對收斂；若J；00/"）心發(fā)散，貝U稱J；"/dx條件收斂.例4判斷廣義積分匸飛一心sinbxdx（Q,b為常數(shù),q > 0） 的收斂性.解：因|e_6/xsinbx<cax,而 氣一"v dx收斂,根據(jù)比Josinbx I dx收斂,故由定理6知所較判別法知給積分收斂（絕對收斂）.J2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院二、無界函數(shù)廣義積分的收斂判別法無界函數(shù)的廣義積分可轉(zhuǎn)化為無窮限的廣義積分例如設(shè)/w

10、 C(a,b,a為/的瑕點，由定義f7(x)dx = £limj/(x)dx令 a + l,則有tbf(x)dx= lim £半£to+丙t t 口t r因此無窮限廣義積分的收斂判別法完全可平移到無界函數(shù) 的廣義積分中來2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院利用、b 1收斂，q<lax-a）qAX發(fā)散，q>l類似定理4與定理5 ,有如下的收斂判別法.定理7（比較判別法2）設(shè)非負函數(shù)/心,切瑕點，使對一切充分接近。的兀（兀>。）.4 一 、 M1）若存在常數(shù)M0,q<l,有/（兀）5 vh（x-a）則f fx）dx收斂；J a'2）若存

11、在常數(shù)N>0,有于'旦x-arbr h則 f（x）dx發(fā)散.2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院走理3定理8(極限判別法2)若f(x)eC(a,b9且/(x)»0, lim (x _ a)。f (x) = IX+8則有：1)當(dāng) 0 <q <1. 0 < / < +oc 時7(x) dx收斂；J cC2)當(dāng)q 2 1, 0 < / < +oo 時dx 發(fā)散.例5判別廣義積分啓的斂散性 解：此處x = l為瑕點，利用洛必達法則得1 1lim (x-1)= lim 二 1x->>i+ lnx xti+ :根據(jù)極限判別法2 ,所給

12、積分發(fā)散2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例6 判定橢圓積分匸 斂性.dxJ（1-兀 2）（1 宀）伙2 <1）的收1J2（l-疋）解：此處兀=1為瑕點，由于. 1 1£1（1-兀尸 J（/）（ /兀2）=lim /c“ 7（l + x）（l-fc2x2）根據(jù)極限判別法2 ,橢圓積分收斂.類似定理6,有下列結(jié)論：若廣義積分fMdx （a為瑕點）收斂，則廣義積分，bfMdx收斂，稱為絕對收斂.a例7判別廣義積分Ljdx的收斂性解：此處兀=0為瑕點，因lim= 古攵對充分小Ix-0+的x,有l(wèi)nx|<l,從而|lnx| | %"lnx < 1a/x弄兀耳據(jù)比

13、較判別法2,所給積分絕對收斂.寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2020/3/7三、函數(shù)1.定義函數(shù)：6）=產(chǎn)怙一也6>0） （含參變量s的廣義積分） +ooJlxsrexdx下面證明這個特殊函數(shù)在S > 0內(nèi)收斂.令厶e_xdx, I2 =1）討論厶.當(dāng)s'l時,厶是定積分；當(dāng)0<s<l時，產(chǎn)=2丄厶X1 5 ex XH而1-s<l,根據(jù)比較判別法2知人收斂.J2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2)<蘇,® 一 im X2.(XS1:)H -im 騎斤召饒J(s) H a+,msvok污洱卩。XJ+8 ex2 性質(zhì)（1）遞推公式m+i）= s：r（s

14、）（s>o）/ -jqq*4"00證：r（s +1） = J。x5e_Adx = -jo x5 de_x （分部積分） +oo c +oo 1=-x5e_% +J xedx0 Jo注意到：= 1.EwN+,有r（n + l） =nr（n） = n（n-l）r（n-l）(2) 當(dāng)stO+ 時,T(s)t+oo.證： 9 r()= r±12? r(i)= 1 s且可證明：r(s)在so連續(xù)，S T 0+時，r(s) T +00(3) 余元公式：(s)(l s)二71(0<svl)(證明略) sin(7i s)當(dāng)5 =+時，有（4）r（s）的其他形式訂二疋譏一皿（5

15、> 0）令X = ，得“）=2點”嚴(yán)1口"0）再令2s -1 “,即s =凹,得應(yīng)用中常見的積分廠化-怙二護字）">-1）Jo22這表明左端的積分可用r函數(shù)來計算.例如,1（ ）7 v 9 7?寧波大學(xué)教師教育學(xué)院Hs *A-D判別法定理9若下列條件之一滿足，都有/（%）g（兀）小攵斂：J a（1）（Abel判別法）廠于創(chuàng)攵斂，gd）在 a, +°°）上單調(diào)有界；A（2）（Dirichlet判別法）= J f gdx在+OO）上有界,g （乂）在+OO）上單調(diào)且阿貝爾(Abel,Niels Henrik,1802-1829 )挪威數(shù)學(xué)家。80

16、2年8月5日生于芬島.1829年4月 6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸） 教區(qū)窮牧師的六個孩子之一。阿貝爾在他的所有著作中都打下了天才的烙印和 表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說他能夠穿透一 切障礙深入問題的根底，具有似乎無堅不摧的氣勢.。 他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾使他人 品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的爰戴?！皵?shù)學(xué)家們有法紀(jì)念他們中的偉 人,我們常說阿貝爾積分.阿貝爾積分方程阿貝爾函數(shù).阿貝爾群.阿貝爾級2020/3/7數(shù)阿貝爾部分和公式.阿貝爾收斂判別法阿貝爾可和性。很少有幾個數(shù)學(xué)家 能使他的名字同數(shù)學(xué)中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。2020/3/7他在分

17、析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也有很多重大貢獻。在1892年的論文關(guān)于三角級數(shù)狄利克萊(Dirichlet)(1805-1859)德國數(shù)學(xué)家。解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。在數(shù)論方面關(guān)于 Ferm航方程,先后給出了n=5,14時無整數(shù)解的證明。他著 有數(shù)論講義(1863，遺著)，對Gauss的算術(shù)硏究作 出了清楚的解釋并有自己的獨創(chuàng)。他證明了在田可算術(shù)序列 a+nb(其中a與b互素)中，必存在無窮多個素數(shù)，這就是著 名的Dirichlet定理。的收斂性中得到給定函數(shù)f (x)的Four i er級數(shù)收斂的第一充分條件這一硏究還促使稱為Dirichlet函他將函數(shù)作了一般化推廣。1829，他給出了具有典型意義的函數(shù)

18、：數(shù)。這一工作使得數(shù)學(xué)從硏究函數(shù)的計算轉(zhuǎn)變到硏究函數(shù)的概念,性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。他在1837年證明了 ：對一個絕對收斂級數(shù)，可以把它的項加以組合重新排列,而不改變原 級數(shù)的和，并舉例說明對一個條件收斂級數(shù)則不然。他修改了Gauss關(guān)于位函數(shù)論的個原理,弓I入了所謂Dirichlet原理。還論述了著名的第一邊值問題(現(xiàn)稱為 Dirichlet問題)。Dirichlet是Gauss的學(xué)生和繼承人 他畢生敬仰Gauss他說Gauss的講課是_生所聽過的最好,最難忘的課。" 1855年,Gauss逝世后，他作為Gauss的繼承者被哥丁根大學(xué)聘為教授,接替Gauss原任的職務(wù),直到逝世。2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2020/3/7寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例8判別廣義積分巴的收斂性.解 J： sin xdx = cos 1-cos A顯然有界, 丄單調(diào)且lim = 0,由場咖判別法得，導(dǎo)收斂。例9判別廣義積分r巴凹空叮必的收斂性.J1X解由例8,理收斂，J1 X又arctan兀在h +°©）單調(diào)