初中數(shù)學(xué)證明題輔助線典型做法訓(xùn)練一

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題補(bǔ)形法的應(yīng)用班級(jí) _姓名 _分?jǐn)?shù) _一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形 ”來進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對(duì)新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補(bǔ)形法，它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形 ”的對(duì)象?，F(xiàn)就常見的添補(bǔ)的圖形舉例如下，以供參考。一、補(bǔ)成三角形1.補(bǔ)成三角形例 1.如圖 1，已知 E 為梯形 ABCD 的腰 CD 的中點(diǎn)；證明： ABE 的面積等于梯形 ABCD 面積的一半。分析：過

2、一頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)作直線，交底的延長線于一點(diǎn)，構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。略證：2.補(bǔ)成等腰三角形例 2 如圖 2.已知 A 90°， AB AC ， 1 2， CE BD ，求證： BD 2CE分析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是對(duì)稱軸，故根據(jù)對(duì)稱性作出輔助線，不難發(fā)現(xiàn) CF 2CE，再證 BD CF 即可。略證：3.補(bǔ)成直角三角形例 3.如圖 3，在梯形 ABCD 中， AD BC ， B C 90°， F、 G 分別是 AD 、 BC 的中點(diǎn)，若 BC 18， AD 8，求 FG 的長。分析： 從 B 、 C 互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?/p>

3、，故延長 BA 、CD，要求 FG，需求 PF、 PG。略解：圖 34.補(bǔ)成等邊三角形例 4.圖 4， ABC 是等邊三角形，延長 BC 至 D，延長 BA 至 E，使 AE BD ，連結(jié) CE、 ED 。證明： EC ED分析：要證明 EC ED ，通常要證 ECD EDC，但難以實(shí)現(xiàn)。這樣可采用補(bǔ)形法即延長 BD 到 F，使 BF BE ，連結(jié) EF。略證：二、補(bǔ)成特殊的四邊形1.補(bǔ)成平行四邊形例 5.如圖 5，四邊形ABCD 中， E、F、 G、 H 分別是 AB 、CD 、 AC 、 BD 的中點(diǎn)，并且E、 F、 G、H不在同一條直線上，求證：EF 和 GH 互相平分。分析：因?yàn)槠叫兴?/p>

4、邊形的對(duì)角線互相平分，故要證結(jié)論，需考慮四邊形 GEHF 是平行四邊形。略證：2.補(bǔ)成矩形例 6.如圖 6，四邊形 ABCD 中， A 60°， B D 90°， AB 200m， CD 100m，求 AD 、 BC的長。分析： 矩形具有許多特殊的性質(zhì)， 巧妙地構(gòu)造矩形， 可使問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，于是一些四邊形中較難的計(jì)算題不難獲解。略解：圖 63.補(bǔ)成菱形例 7.如圖 7，凸五邊形ABCDE 中， A= B 120°， EA AB BC 2， CD DE 4，求其面積分析：延長EA 、 CB 交于 P，根據(jù)題意易證四邊形PCDE 為菱形。略解：圖 74.補(bǔ)成

5、正方形例 8.如圖 8，在 ABC 中，AD BC 于 D， BAC 45°，BD 3，DC 2。求 ABC 的面積。分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實(shí)有些困難，如果從題設(shè) BAC 45°，AD BC 出發(fā)，可以捕捉到利用軸對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正方形的信息，那么問題立即可以獲解。略解：圖 85.補(bǔ)成梯形例 9如圖 9，已知： G 是 ABC 中 BC 邊上的中線的中點(diǎn)，L 是 ABC 外的一條直線，自A 、 B、1C、 G 向 L 作垂線，垂足分別為A1、B 1、C1、G1。求證： GG 1 4 CC1 )。(2AA 1 BB 1分析：本題從已知條件可知，中點(diǎn)多

6、、垂線多特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形來加以解決比較恰當(dāng)，故過D 作 DD 1L 于 D1，則 DD 1 既是梯形BB1C1C 的中位線，又是梯形DD 1A 1A 的一條底邊，因而，可想到運(yùn)用梯形中位線定理突破，使要證的結(jié)論明顯地顯示出來，從而使問題快速獲證。圖 9略證：1三、練習(xí) 1、在 ABC 中， AC=BC ，D 是 AC 上一點(diǎn)， 且 AE 垂直 BD 的延長線于E，又 AE=BD ，2求證： BE 平分 ABC 。2、如圖，已知：在 ABC 內(nèi)， BAC=60°， ACB=40°， P、 Q 分別在是 BAC 、 ABC 的角平分線，求證： BQ+AQ=AB+BPBBC 、 CA 上，并且 AP 、 BQ 分別AQPC3、已知： BAC=90°， AB=AC ， AD=DC ， AE BD ，求證：