2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第6節(jié)正弦定理與余弦定理學(xué)案含解析新人教B版

1、高考復(fù)習(xí)資料第6節(jié)正弦定理與余弦定理一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊的長和它所對(duì)角的正弦的比相等，即2r，其中r是三角形外接圓的半徑正弦定理的變形公式：(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.(2)sin a，sin b，sin c.(3)abcsin asin bsin c.若已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值，確定角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角和定理去考慮問題2余弦定理三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與

2、它們夾角余弦的積的2倍即a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.余弦定理的推論：cos a，cos b，cos c.3三角形的面積公式(1)sah(h表示邊a上的高)(2)sbcsin aacsin babsin c.(3)sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)4常用結(jié)論在abc中，常用以下結(jié)論：(1)abc.(2)在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)sin(ab)sin c；cos(ab)cos c；tan(ab)tan c；sin cos ；cos sin .(5)tan atan b

3、tan ctan a·tan b·tan c.(6)a>ba>bsin a>sin bcos a<cos b.二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“×”(1)在三角形中，已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形( )(2)在abc中，.( )(3)在abc中，a2b2>c2是abc為銳角三角形的必要不充分條件( )(4)在abc中，若sin asin b<cos acos b，則此三角形是鈍角三角形( )2abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a，c2，cos a

4、，則b()a bc2d3d題目解析：由余弦定理，得4b22×2bcos a5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)故選d.3在abc中，a，b，c分別為角a，b，c的對(duì)邊若a2bcos c，則此三角形一定是()a等腰直角三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰三角形或直角三角形c題目解析：在abc中，因?yàn)閏os c，所以a2bcos c2b·，所以a2a2b2c2，所以bc，所以此三角形一定是等腰三角形4在abc中，a3，b5，sin a，則sin b()a. b. c.d.1b題目解析：根據(jù)正弦定理，有，得sin b.故選b.5已知a，b，c分別為abc三個(gè)內(nèi)角a，b，

5、c的對(duì)邊，a2，a45°.若三角形有兩解，則邊b的取值范圍是_(2,2)題目解析：如圖，abc有兩解的充要條件是bsin 45°<2<b，解得2<b<2.故b的取值范圍是(2,2)考點(diǎn)1利用正弦定理、余弦定理解三角形基礎(chǔ)性1(2020·全國卷)在abc中，cos c，ac4，bc3，則cos b()a.b.c. d.a題目解析：由余弦定理得ab2ac2bc22ac·bc·cos c42322×4×3×9，所以ab3.又由余弦定理可知cos b.2(2019·全國卷)abc的內(nèi)角a，

6、b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin absin b4csin c，cos a，則()a6b5 c4d3a題目解析：因?yàn)閍sin absin b4c·sin c，所以由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos a，所以6.3abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.已知c60°，b，c3，則a_.75°題目解析：由正弦定理，得sin b.因?yàn)?°b180°，且bc，所以bc，故b45°，所以a180°60°45°75°.4(2019·全國卷)abc的內(nèi)角

7、a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin aacos b0，則b_.題目解析：因?yàn)閎sin aacos b0，所以.由正弦定理，得cos bsin b，所以tan b1.又b(0，)，所以b.利用正、余弦定理解三角形的策略(1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)；用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷結(jié)合圖像求解較為直觀易解考點(diǎn)2判斷三角形的形狀

8、應(yīng)用性設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.若bcos cccos basin a，則abc的形狀為()a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d不確定b題目解析：因?yàn)閎cos cccos basin a，由正弦定理得sin bcos csin c·cos bsin2a，所以sin(bc)sin2a，即sin asin2a.又sin a>0，所以sin a1，所以a，故abc為直角三角形若本例條件變?yōu)椋袛郺bc的形狀解：由，得，所以sin acos acos bsin b，所以sin 2asin 2b.因?yàn)閍，b為abc的內(nèi)角，所以2a2b或2a2b，所以ab或ab，

9、所以abc為等腰三角形或直角三角形1判斷三角形形狀的常用途徑2判斷三角形的形狀的注意點(diǎn)在判斷三角形的形狀時(shí)，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隱含條件另外，在變形過程中，要注意角a，b，c的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響在等式變形時(shí)，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解1在abc中，sin2(a，b，c分別為角a，b，c的對(duì)邊)，則abc的形狀為()a直角三角形b等邊三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形a題目解析：由cos b12sin2得sin2，所以，即cos b.(方法一)由余弦定理得cos b，即a2c2b22a2，所以a2b2c2.所以abc為直角三角形又無法判

10、斷兩直角邊是否相等故選a.(方法二)由正弦定理得cos b，又sin asin (bc)sin bcos ccos b·sin c，所以cos bsin csin bcos ccos b·sin c，即sin bcos c0.又sin b0，所以cos c0.又角c為三角形的內(nèi)角，所以c，所以abc為直角三角形又因?yàn)闊o法判斷兩直角邊是否相等故選a.2給出下列命題：若tan atan b>1，則abc一定是鈍角三角形；若sin2asin2bsin2c，則abc一定是直角三角形；若cos(ab)cos(bc)cos(ca)1，則abc一定是等邊三角形其中正確命題的序號(hào)為_

11、題目解析：因?yàn)閠an atan b>1，且a，b為三角形內(nèi)角，所以tan a>0，tan b>0，所以a，b均為銳角又因?yàn)閠an ctan(ab)<0，所以tan c>0，所以c為銳角，所以abc不是鈍角三角形，故錯(cuò)誤由正弦定理及條件，得a2b2c2，所以abc一定為直角三角形，故正確由cos(ab)cos(bc)cos(ca)1及a，b，c為三角形內(nèi)角，可得cos(ab)cos(bc)cos(ca)1，所以abc.故正確考點(diǎn)3三角形的面積綜合性(2020·廣東化州二模)在abc中，三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊為a，b，c.若sabc2，ab6，2cos

12、c，則c()a2b2c4d3b題目解析：因?yàn)?，所以2cos c1，所以c60°.若sabc2，則absin c2，所以ab8.因?yàn)閍b6，所以c2a2b22ab·cos c(ab)22abab(ab)23ab623×812，所以c2.故選b.(2020·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b150°.(1)若ac，b2，求abc的面積；(2)若sin asin c，求c.解：(1)由余弦定理得a2c22accos bb2，將ac，b2，b150°代入，可得(c)2c22×c×ccos 150

13、°(2)2，整理得7c228，解得c2.所以a2.所以sabcacsin b×2×2×.(2)因?yàn)閍bc，所以sin asin(bc)又因?yàn)閟in asin c，所以sin(bc)sin c，所以sin bcos ccos bsin csin c.將b150°代入，整理得cos csin c，即sin(c30°).因?yàn)閎150°，所以0°c30°，即0°c30°60°，所以c30°45°，解得c15°.求解三角形面積問題的方法技巧(1)若三角形中

14、已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積(2)若已知三角形的三邊，可先求其中一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵1(2019·全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.若b6，a2c，b，則abc的面積為_6題目解析：由余弦定理得b2a2c22accos b.又因?yàn)閎6，a2c，b，所以364c2c22×2c2×，所以c2，a4，所以sabcacsin b×4×2×6.2(2020·全國卷)如圖，在三棱錐p

15、abc的平面展開圖中，ac1，abad，abac，abad，cae30°，則cosfcb_.題目解析：abac，ab，ac1，由勾股定理得bc2.同理得bd，所以bfbd，在ace中，ac1，aead，cae30°，由余弦定理得ce2ac2ae22ac·aecos 30°132×1××1，所以cfce1，在bcf中，bc2，bf，cf1，由余弦定理得cosfcb.3(2020·菏澤高三聯(lián)考)在b，a2，bcos aacos b1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決相應(yīng)問題已知在銳角abc中，角a，b，c的

16、對(duì)邊分別為a，b，c，abc的面積為s.若4sb2c2a2，b，且_，求abc的面積s的大小解：因?yàn)?sb2c2a2，cos a，sbcsin a.所以2bcsin a2bccos a.顯然cos a0，所以tan a1.又a，所以a.若選，b，由，得a2.又sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b，所以sabsin c×2××.若選，a2，由，得sin b.因?yàn)閎，所以cos b.又sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b，所以sabsin c×2××.若選

17、，bcos aacos b1，所以acos b1，即a·1，所以a262cc2.又a26c22c×6c22c，所以62cc26c22c，解得c1.所以sbcsin a××(1)×sin .已知abc的三邊長分別為a，b，c，滿足a2b22c28，則三角形abc面積的最大值為()a. b. c. d.四字程序讀想算思abc面積的最大值1.面積的表達(dá)式；2以誰為變量？用適當(dāng)?shù)淖兞勘硎緎轉(zhuǎn)化與化歸a2b22c281.sah；2sabsin c；3邊作變量；4角作變量；5海倫公式s2a2b2·(1cos2c)；s1.均值不等式；2函數(shù)最值；3

18、三角函數(shù)的性質(zhì)思路參考：余弦定理角化邊二次函數(shù)的最值b題目解析：因?yàn)閍2b22c28，即a2b282c2，所以s2a2b2sin2ca2b2(1cos2c)a2b2a2b22c22，故當(dāng)a2b2，c2時(shí)，s2有最大值，所以abc面積的最大值為.思路參考：設(shè)高轉(zhuǎn)化，利用均值不等式b題目解析：如圖，過點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d.設(shè)adm，bdn，cdh.因?yàn)閍2b22c28，所以m2n22h22c28.因?yàn)閙2n2，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào)故m2n22h22c22h22c22h22ch4s，所以s，當(dāng)且僅當(dāng)mn，ch時(shí)取等號(hào)所以abc面積的最大值為.思路參考：利用海倫公式s均值不等式b題目解析：設(shè)p(abc)，則pa(bca)，pb(acb)，pc(abc)所以s.因?yàn)閍2b22c28，所以s.因?yàn)閍2b22c28，所以4a2b2(a2b2)2(82c2)2.所以s.當(dāng)c2時(shí)，s2有最大值.所以abc面積的最大值為.思路參考：建系設(shè)點(diǎn)b題目解析：如圖，以ab所在直線為x軸，以線段ab的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系不妨令x1>0，y2>0，設(shè)a(x1,0)，b(x1,0)，c(x2，y2)因?yàn)閍2b22c28，所以(x1x2)2y(x1x2)2y8x8，所以5xxy4.因?yàn)閟x