中考最值問題大全2019

1、中考最值問題解題策略垂線段最短在最值問題中的應用模型一 點到直線的所有線段中，垂線段最短ABOM點P在直線l外，過點P作l的垂線PH，垂足為H，則點P到直線l的最短距離為線段PH的長，即“垂線段最短”1、如圖，O的半徑為5，弦AB6，M是AB上任意一點，則線段OM的取值范圍是_。2、如圖，在銳角ABC中，BC4，ABC45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CMMN的最小值是_3. 如圖，在RtAOB中，OAOB3，O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作O的一條切線PQ(點Q為切點)，則線段PQ的最小值為_模型二 “胡不歸”問題基本模型：兩定一動，動點在定直線

2、上問題：點A為直線l上一定點，點B為直線外一定點，P為直線l上一動點，要使APBP最小解決：過點A作NAP45°，過點P作PEAN，在直角三角形中將AP轉化為PE，使得APBPPEBP，然后利用“兩點之間線段最短”將“折”變“直”，再利用“垂線段最短”轉化為求BF的長度此類題的解題步驟：第一步：以系數(shù)不為1的線段的定端點為頂點作一個角，使其正弦值等于此線段的系數(shù)(注意題目中有無特殊角)；第二步：過動點作第一步中角的邊的垂線，構造直角三角形；第三步：根據(jù)兩點之間線段最短，將“折”變“直”，再利用“垂線段最短”找到最小值的位置4. 如圖，菱形ABCD中，ABC60°，邊長為3，

3、P是對角線BD上的一個動點，則BPPC的最小值是( )推薦精選 A. B. C. 3 D.5. 如圖，在ACE中，CACE，CAE30°，O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上，設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD，當CDOD的最小值為6時，求O的直徑AB的長6、如圖624，二次函數(shù)yax22ax4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，tanCBO2此二次函數(shù)的解析式為：_;動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點A順時針方向旋轉，到與直線AB重合時終止運動，直線l與線段BC交于點D，P是線段AD的中點 直接寫出點P所經過的路線長_.ABOPxyCDABOxyC圖6-2-4

4、點D與B、C不重合時，過點D作DEAC， DFAB于點F，連接PE、PF，在旋轉過程中，EPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求EPF的度數(shù)；若變化，請說明理由在的條件下，連接EF，求EF的最小值7如圖625，等邊ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，三角形邊上的動點M從點A出發(fā)，沿ABC的方向運動，到達點C時停止設點M運動的路程為x，MN2y，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）圖6-2-6ABCMNOAxyOBxyOCxyODxy圖6-2-58如圖626，O為原點，每個小方格的邊長為1個單位長度，A、B是第一象限內橫、縱坐標均為整數(shù)的兩點，且OAOB則A、B兩點的坐標分別為_、_；推薦精選畫出線段AB

5、繞點O旋轉一周所形成的圖形，并求出其面積（結果保留）9如圖627和627，在ABC中，AB13，BC14，cosABC探究：如圖627，AHBC于點H，AH_,AC_，ABC的面積SABC_拓展如圖627，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)設BDx，AEm，CFn（當點D與A重合時，我們認為SABD0）用x，m或n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；求（mn）與x的函數(shù)關系式，并求（mn）的最大值及最小值；對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍ABCHABCDFE圖6-2-7圖6-2-7對稱性質在最值問題中的應用模型一 兩點一線

6、類型1 異側和最小值問題問題：兩定點A、B位于直線l異側，在直線l上找一點P，使PAPB值最小問題解決：結論：根據(jù)兩點之間線段最短，PAPB的最小值即為線段AB長類型2 同側和最小值問題問題：兩定點A、B位于直線l同側，在直線l上找一點P，使得PAPB值最小問題解決：推薦精選結論：將兩定點同側轉化為異側問題，PAPB最小值為AB類型3 同側差最小值問題問題：兩定點A、B位于直線l同側，在直線l上找一點P，使得|PAPB|的值最小問題解決：結論：根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，當PAPB時，|PAPB|0. 類型4 同側差最大值問題問題：兩定點A、B位于直線l同側，在直線l上找一點P

7、，使得|PAPB|的值最大問題解決：結論：根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊，|PAPB|AB，則|PAPB|的最大值為線段AB的長類型5 異側差最大值問題問題：兩定點A、B位于直線l異側，在直線l上找一點P，使得|PAPB|的值最大問題解決：結論：將異側點轉化為同側，同類型4，|PAPB|的最大值為AB. 1.如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在邊DC上，且DM2，點N是對角線AC上一動點，則線段DNMN的最小值為_2.如圖，點C的坐標為(3，y)，當ABC的周長最小時，則y的值為_3.如圖，已知ABC為等腰直角三角形，ACBC4，BCD15°，P為射線CD上的動點，則|PAPB|

8、的最大值為_推薦精選ABCDPEABCDPMNACBDEP圖6-1-1圖6-1-1圖6-1-14、如圖611，已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PMPN的最小值 .5、如圖611，在RtABC中，C90°，B60°，點D是BC邊上的點，CD，將ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則PEB的周長的最小值是 .6.（1）如圖612，在等邊ABC中，AB6，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使PBPE的值最小，最小值為 .（2）如圖612，O的半徑為2，點A、B、C在

9、O上，OAOB，AOC60°，P是OB上一動點，則PAPC的最小值是 ；BCADEPDABCEAOBCP圖6-1-2圖6-1-2圖6-1-2 （3）如圖612，點D、E分別是ABC的AC、AB邊的中點，BC6，BC邊上的高為4，P在BC邊上，則PDE周長的最小值為 .7.（1）如圖613，RtOAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（1，0），點P 為斜邊OB上的一動點，則PAPC的最小值為 .（2）如圖613 ，菱形ABCD中AB2，A120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PKQK的最小值為 .ACDBMN圖6-1-3

10、xPBCAOy圖6-1-3ADCBKPQ圖6-1-3（3）如圖613，銳角ABC中，AB4，BAC45°，AD平分BAC，推薦精選M、N分別是AD和AB上的動點，則BMMN的最小值是 .8.（1）如圖614，AOB45°，P是AOB內一點，PO10，Q、R分別是OA、OB上的動點，則PQR周長的最小值是 .（2）如圖614，點A（a，1）、B（1，b）都在雙曲線y(x<0)上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ在直線的解析式是（ ）.A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx3ABOPRQAPQO ByxBAab圖6-1-4圖6-

11、1-4圖6-1-5AACDOPxy圖6-1-139. 如圖615已知，直線ab，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB2，試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MNa且AMMNNB的長度和最短，則此時AMNB（ ）A.6 B.8 C.10 D.1210、如圖6113，一次函數(shù)y2x4的圖象與x、y軸分別交于點A，B，D 為AB的中點，C、A關于原點對稱P為OB上一動點，請直接寫出PCPD的范圍：_11如圖6114，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，1），B（1，2），點P在x軸上運動，當點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時，點P的坐標是_1

12、2在O所在的平面上有一點A，它到O的最近距離是3，最遠距離是7，則O的半徑為_13在A、B均在面積為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標坐標系如圖6115，若P是x軸上使得PAPB的值最大的點，OP_.OxyABBAOyxxyABCO圖6-1-14圖6-1-15圖6-1-16推薦精選14如圖6116，拋物線yax2bx4a經過A(1,0)、C(0,4)兩點，與x軸交于另一點B拋物線及對稱軸分別為_;點D所在拋物線的對稱軸上，求DBDC的最大值模型二 一點兩線類型1 一定點與兩條直線上兩動點問題問題：點P在AOB的內部，在OB上找一點D，在OA上找一點C，使得PCD周長最小問題解決：

13、結論：要使PCD周長最小，即PCPDCD值最小，根據(jù)兩點之間線段最短，將三條線段轉化到同一直線上即可，則PCD周長最小為線段的長類型2 兩定點與兩條直線上兩動點問題問題：點P、Q在AOB的內部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得四邊形PQDC周長最小問題解決：結論：將問題轉化為類型1即可，PCCDDQ的最小值為線段PQ長，則四邊形PQDC的周長的最小值為PQPQ的值1.如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC，CD上分別找一點M，N使AMN的周長最小，則AMNANM的度數(shù)為_2.如圖，在直角坐標系中，已知A(3，1)，B(1，3)，若D是x軸上一動點，C

14、是y軸上的一個動點，則四邊形ABCD的周長的最小值是_推薦精選ABCDABCD圖616模塊四 “小蟲爬行問題”例612（1）如圖616，已知長方體的長為AC2cm，寬BC1cm，高AA4cm，一只螞蟻沿長方體的表面從A點爬到B點的最短路徑是多少？【規(guī)律】“小小相加湊一邊時路徑最短.” AC螞蟻蜜蜂（2）如圖616，圓柱形杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為多少cm?【規(guī)律】“一點內一點外要用軸對稱.”練習：1.（1）如圖617，長方體的長寬高分別為15、10、20，點B離

15、點C的距離為5，一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B，最短距離是（ ）ACBEGHABBACOAC155F20B圖6-1-7A.5 B.25 C.105 D.35圖6-1-7圖6-1-7 圖6-1-7（2）617，底面半徑為3cm的圓錐的主視圖是個正三角形，C是母線OB的中點，則從圓錐表面從A到C的最短距離等于 cm.（3）617,圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，爬行的最短路程（取3）是（ ）cm.A.20 B.10 C.14 D.無法確定（4）如圖617，ABCDEFGH是個無上底長方體容器，M在容器內側，位于側棱BF上，已知AB5，BF9，F(xiàn)M3，則從外部的點

16、A到內部的點M的最短距離等于 .AB20322.如圖618，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到推薦精選B點的最短路程是多少dm？ 圖618模塊五 折疊最值ABCD【規(guī)律】折疊背景下的最值問題，考查的是動手操作能力、合情推理能力.方法是：（1）在折疊中感受大小變化規(guī)律，（2）通過特殊位置求最值.1、如圖619，折疊矩形紙片ABCD，使B點落在AD上一點E處，折痕的兩端點M、N分別在AB、BC上（含端點），且AB6，BC10，設AEx，則x的取值范圍是 .BADCPQA圖619

17、【規(guī)律】A、E重合時x最小為0，折痕的兩端點在AB、CD上，不合題意，向下移動N到C時，得x的最小值，繼續(xù)沿BC向B移動N，使M上移至A時，得到滿足條件的x最大值；ABCFED圖6-3-1圖61112.動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB3，AD5，如圖6111，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當點A在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動.若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A在BC邊上可移動的最大距離為 .模塊六 圓中最長弦是直徑解法歸一：求對角是直角的雙直角四邊形中對角線的最小值、或圓中線段最小值時常用它圖6-3-2ABCGHEFO1、如圖631，等腰直角AB

18、C斜邊長為4，D為是斜邊AB的中點，直角FDE分別交AC、BC于F、E，則線段EF的最小值是_2如圖632，AB是O的一條弦，點C是O上一動點，且ACB30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與O交點G、H兩點，若O的半徑為6，則GEFH的最大值為_模塊七、求兩正數(shù)和的最小值9解法：由（ab）20得a2b22ab，當且僅當ab時成立；對任意正數(shù)m,n可設ma2、nb2(a、b為正數(shù))，則有mna2b22ab2，推薦精選即mn2，當且僅當mn時等號成立這是高中兩個最重要的不等式求兩個正數(shù)和的最小值時就用它，并且只有這兩個正數(shù)相等時和才取最小值1、閱讀理解：對任意實數(shù)a，b，（）

19、20，a2b0，ab2，只有當ab時，等號成立根據(jù)上述內容，回答下列問題：若m0，只有m_時m有最小值_；若n0，只有n_時n有最小值_；若x0，只有x_時，8x2有最小值_;BACDO圖6-4-12、如圖641，AB為半圓O的直徑，C為半圓上與點A、B不重合的任意一點，過點C作CDAB，垂足為D，ADa，DBb請用本題圖驗證ab2,并指出等號成立時的條件ABCDPxyO圖6-4-23、如圖642，已知A（3，0），B（0，4），P為雙曲線y(x0)上任意一點，過點P作PCx軸于點C，PDy軸于點D，求四邊形ABCD的面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀4、公式：對于任意正數(shù)a、b，總

20、有ab2，并且只有當ab時，等號成立直接應用或變形應用已經y1x（x0），y2（x0），則當x_時，y1 y2取得最小值_.已知函數(shù)yx(a0，x0)，當x_時，該函數(shù)有最小值_已知函數(shù)y1x1與函數(shù)y2(x1)24，當x1時，求的最小值，并指出相應的x的值實際應用已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用，共360元；二是燃油費費，每千米為1.6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001設汽車一次運輸?shù)穆烦虨橥扑]精選x千米，求當x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？模塊八 二次函數(shù)最值解法歸一：“二次整數(shù)ax2bxc最值”完全可以借助二次函數(shù)y

21、ax2bxc最值解決，解決方案有三：一用配方法，二用頂點公式，三圖象法（注：a,b,c為常數(shù)，且a0）1、 x22x6的最小值是_;二次函數(shù)yx26x的最大值是_ABCDEP圖6-6-12、如圖661，在矩形ABCD中，AB2，AD3，P是BC上任意一點（P不與B、C重合），過點P作APPE交CD于點設BP為x，CE為y，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？ABC415OlyxM圖6-6-23、如圖662，已知拋物線yax2bx4經過點B（1，0），C（5，0），交縱軸于點A，對稱軸l與x軸相交于點M請直接寫出拋物線的解析式，對稱軸及點A的坐標;在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PAB

22、的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.ABCDMNFE圖6-6-34、如圖663，把一張邊長為4的正方形ABCD折疊，使B推薦精選點落在AD上的E處，折痕為MN，設AEx，問x為何值時，折起的四邊形MNFE面積最小，并求出這個最小面積的值模塊九 幾何探究最值類81、請閱讀下列材料：問題：如圖671，圓柱的高AB和它的底面半徑均為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線小明設計了兩條路線：路線1：走圓柱表面最短路線

23、（即圖671側面展開圖中的線段AC）路線2：走圓柱高線與度面直徑（即圖671中的ABBC的長）ABCDABCD圖6-7-1圖6-7-1沿AB剪開攤平此長方形的長等于底面周長設路線1的長度為l1，設路線2的長度為l2，則l12AC2AB2 l22(ABBC)2，將AB5，BC10，半圓弧長5代入上面的式子得（請你幫小明完成下面的計算）：l12AC2 ；l22(ABBC)2 ；l12l22 .l12>l22 l1>l2 選擇路線2較短. （1）小明對上述問題結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm,高AB為5dm”繼續(xù)按前面的路線進行計算（請你幫小明完成下面的計算）：

24、路線1：l12AC2 ；路線2：l22(ABBC)2 ；l12 l22，l1 l2（填>或<），所以選擇路線 （填1或2）較短.（2）請你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短.2、在河岸l同側有A、B兩個村莊，A、B到l的距離分別是3km和2km，ABakm(a>1)現(xiàn)計劃在河岸上建一抽水站P向兩個村莊供水.方案設計：某班數(shù)學興趣小組設計了兩種管道鋪設方案：推薦精選圖672是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為d，且d1PBBA(km)(其中PBl于P點)；圖672是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為d2,且d2PAPB(km)(其中點A與點A關于l對稱，AB與l交于點P).ABl圖6-7-2ABl圖6-7-2ABl圖6-7-2PCCKPAAP觀察與計算（1）在方案一中，d1 km(用含a的式子