7-7-3幾何中的重疊問題教師版

1、1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容;2.掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用.兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算.求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把 兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)， 用式子可表示成：a b = a-b-a 3（其中符號“"讀作“并"，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號“" 讀作“交"，相當(dāng)于中文“且''的意思）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下:a表示小圓 部分，b表示大圓部分，c表示大圓與小圓

2、的公共部分，記為：a即陰影面積.圖示如下：a表示小圓部分，b表示犬圓部分，c表示犬圓與小圓的公共部分，記為：a即陰影面積.包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合a、3的并集a 3的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計算集合a、的元素個數(shù)，然后加起來，即先求a+b（意思是把a、的一切元素都“包含”進(jìn) 來，加在一起）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去c = a b（意思是“排除”了重復(fù)計算的元素個數(shù)）.二、三量重疊問題a類、3類與c類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)+3類元素個數(shù)+c類元素個數(shù)-既是4類又是b類 的元素個數(shù)-既是b類又是c類的元素個數(shù)-既是a類又是c類的元素個數(shù)+同

3、時是a類、b類、c類的元 素個數(shù).用符號表示為：a b c = a+b + c-a b-b c-a c + a b c.圖示如下：在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.【例1把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長4厘米，焊接后這根鐵條有多 長？【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長38 + 53-4 = 87（厘 米）.【答案】87厘米【鞏固】把長23厘米和37厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長3厘米，焊接后這根鐵條有多 長？【考點】幾何中

4、的重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長：23 + 37-3 = 57（厘米）.【答案】57厘米【例2兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀.把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方 厘米？【考點】幾何中的重疊問題【解析】兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為2厘米的正方形，如 果利用兩個4x2的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各 被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊 部分.于是，被覆蓋面積=4x2x22

5、x2 = 12（平方厘米）.【答案】12厘米【鞏固】如圖3, 張長8厘米，寬6厘米，另一個正方形邊長為6厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長為 4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積.【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星 【題型】解答【解析】兩個圖形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為4厘米的正方形，如果 利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長方形和正方形面積中各 被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，組合圖形的面積二長方形面積+正 方形面積-重疊部分.于是，組合圖形的面積：8x6 + 6x6-4x4 = 68（平方厘米）.【

6、答案】68平方厘米【鞏固】一個長方形長12厘米，寬8厘米，另一個長方形長10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個 邊長4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積.【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答1210【解析】兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為4厘米的正方形，如 果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算 了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，組合圖形的面積二長方形面積之和-重疊 部分.于是，組合圖形的面積= 12x8 + 10x6 4x4 = 140（平方厘米）.【答案】140平方

7、厘米【例3三個面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上（如圖），三個紙片共同重疊的面積是1（）平方厘米.三 個紙片蓋住桌面的總面積是100厘米問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】將圖中的三個圓標(biāo)上a、b、c.根據(jù)包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積=（a圓面積+b圓 面積+c圓面積）-（a與b重合部分面積+a與c重合部分面積+b與c重合部分面積）+三個紙片 共同重疊的面積，得：100 = （50 + 50 + 50）-（a與b重合部分面積+a與c重合部分面積+b與c重合 部分面積）+ 10,得到4、b、c三個圓兩兩重合面積之和為：160-1

8、00 = 60平方厘米，而這個面 積對應(yīng)于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60 = 10x3+陰影部分 面積，則陰影部分面積為：60-30 = 30（平方厘米）.【答案】30平方厘米【鞏固】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30,甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6, 8, 5,而3個圓覆蓋的總面積為73求陰影部分的面積.【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】設(shè)甲圓組成集合a,乙圓組成集合b,丙圓組成集合c.|a| = |b| = |c|=30, |a b|=6, b c|=8, |a c|=5, ia b c|=73, 而b c|=|a

9、|+|b|-|c|-|a b-b c-a c|+|a b c.有73=30x3-6-8-5+|a b c|,即b c|=2,即甲、乙、丙三者的公共面積（部分面積）為2.那 么只是甲與乙（），乙與丙（），甲與丙（）的公共的面積依次為6-2=4, 8-2=6, 5-2=3,所以有陰影 部分（、部分之和）的面積為73-4-6-3-2=58.【答案】58【例4如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等于60平方厘米.陰影部分的面積總 和是40平方厘米,3張板蓋住的總面積是100平方厘米,3張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【解析】陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計算兩次，而三張紙重疊部分是被計算了三次.所以三張紙重疊 部分的面積=（60x3-100-40）-2 = 20（平方厘米）.【答案】20平方厘米【鞏固】如圖所示，a、b、c分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在 外面的總面積為38.若a與b、b與c的公共部分的面積分別為8、7 , a、b、c這三張紙片的 公共部分為3求a與c公共部分的面積是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)a與c公共部分的面積為兀，由包含與排除原理可得：(1) 先“包含：扌巴圖形a、b、c的面積相加：12 + 28 + 16 = 5