立體幾何中的向量方法課件

1、第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何3.2 3.2 立體幾何中的向量方法（二）立體幾何中的向量方法（二）一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量

2、的運(yùn)算結(jié)果）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意成相應(yīng)的幾何意義。義。（化為向量問(wèn)題）（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）（回到圖形）空間空間“距離距離”問(wèn)題問(wèn)題1. 空間兩點(diǎn)之間的距離空間兩點(diǎn)之間的距離 根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可將兩點(diǎn)距離問(wèn)題，可將兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量模長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量模長(zhǎng)問(wèn)題.2aa222zyxa),(zyxa 例例1：如圖如圖1，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的

3、夾角都是的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個(gè)頂點(diǎn)，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設(shè)，設(shè) BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題依據(jù)向量的加法法則，依據(jù)向量的加法法則，11AAADABAC 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問(wèn)題回到圖形問(wèn)題這個(gè)晶體的對(duì)角線這個(gè)晶體的對(duì)角線 的長(zhǎng)

4、是棱長(zhǎng)的的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？ （2 2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于于 , , 那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎確定棱長(zhǎng)嗎? ? A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設(shè)設(shè)11 AAADABAC

5、則則由由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。（3 3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？ 設(shè)設(shè)AB=1 AB=1 （提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離面面距離點(diǎn)面距離點(diǎn)面距離. 11HACHAA于于點(diǎn)點(diǎn)平平面面點(diǎn)點(diǎn)作作過(guò)過(guò) 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求

6、相相對(duì)對(duì)兩兩個(gè)個(gè)面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC. 160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是。 36問(wèn)題：如何求直線問(wèn)題：如何求直線A1B1到平面到平面ABCD的距離？的距離？ n A P O 2、向量法求點(diǎn)到平面的距離、向量法求點(diǎn)到平面的距離：例例 2:2: 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 4，E、F 分

7、分別是別是 AB、AD 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點(diǎn)求點(diǎn) B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1( ,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2: : 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點(diǎn)求點(diǎn) B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. APDCBMN解：如圖解：如

8、圖, ,以以D D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D Dxyzxyz 則則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aa2aaaAPDCBMNzxy1111013:4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知直三棱柱的側(cè)棱底面中為的中點(diǎn),求與的距離。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標(biāo)系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點(diǎn).332|1nACndBAEC的距離與EA1B1 小結(jié)小結(jié) 1、E為平面為平面外一點(diǎn)外一點(diǎn),F為為內(nèi)任意一