電動(dòng)力學(xué)》理論證明集錦

1、電動(dòng)力學(xué)理論鉦明集飾為了擴(kuò)充學(xué)生知識(shí)而，強(qiáng)化理論體系的證明與驗(yàn)證過程，鞏固已學(xué)知識(shí)。在 此編撰了與電動(dòng)力學(xué)課程相關(guān)的20余條理論證明內(nèi)容，冇的是基礎(chǔ)理論， 但大部分是擴(kuò)展內(nèi)容。第一章電該現(xiàn)象的普或規(guī)律1. 試證明通過任意閉合曲面的傳導(dǎo)電流、極化電流、位移電流、磁化電流 的總和為零。鉦明設(shè)傳導(dǎo)電流、磁化電流、極化電流、位移電流分別為7p7夂由麥克斯韋方程之一(安培環(huán)路定理)給出= aof (7十沾="o(f j十 l h +</) x = "() (</y + jm + /p + 人) 對(duì)方程兩邊作任意閉合曲面積分，得 (yxb)-dsss即給出總電流為/ =/y

2、 + /w + /p + /" = (v x jb) ds = j v (v x b)dv 因?yàn)槭噶繄?chǎng)的旋度無散度：vvx) = g，故zz=07 mx r2. 若兩是常矢量，證明除r=0點(diǎn)以外，矢量的旋度等于標(biāo)量 m-r尺3的負(fù)梯度，即7><2 = _7識(shí)，其中r為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向 由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。婭明在的條件下，有v x a = - v x (/?z x v )-(v v)m-(v v)zn + (zn-v)v + (v zn)vrrrr另一方面v(p = -v (m - v )-m x ( x 丄)一(兩 )丄一 丄 x ( x 兩)(丄 v)/72 rr

3、 rr=(/?)丄r經(jīng)比較以上兩式的右邊，便可給出7><2 = 一7?的答案。注釋：本題屮所見的矢量和標(biāo)量的形式在電動(dòng)力學(xué)內(nèi)容屮有多處出現(xiàn)，開列如 下供參考(注意比較相同、相異之處)：1 pr (p =(1) 電偶極矩戶激發(fā)的電勢(shì)：;1 m-r (p =(2) 磁偶極矩兩產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)：4w ， = mxr_(3) 磁偶極矩力產(chǎn)生的磁矢勢(shì)：。e(x) = -jdv=3. 試由電場(chǎng)積分公式v r出發(fā)，證明么。鉦明1r112 = -7i8x -xz) () = v - () = -v2 = 4(x-xz) 因?yàn)?r, rrr,得到j(luò)p(x)v.(4wz一f w(x - x)p(x)dv&

4、#39;4o v根據(jù)函數(shù)的挑選作用，給出 £ =藝 £()b(x)4.試由畢奧 vxb = /z0jo鉦明薩伐爾定律j(x)x出發(fā)，證明方法h間接積分計(jì)算j(x)xrdv，= _ ao. £ j (x v 1 dv>47t=vxj(x)dv' = vxaa =魚r kx)dvf 其中： 47t直接計(jì)算可得否= v.(vxa) = 0。以下進(jìn)-步計(jì)i) =v2，分兩步運(yùn)算:計(jì)算( a):jvv-aao.4ttj(x)6/v, = f7().vl6/v,4;rjr47tal4取)一其中第一項(xiàng)因?yàn)椋?;ra)f14/rj(x)-r第二項(xiàng)運(yùn)用穩(wěn)恒電流條件7(

5、 =()，結(jié)果也為零 1計(jì)算v2a = /z° j/(x)v2 dv47t-j 7(% ) 4蛾% - xyiv' = -/07(x)最終得到:方法2:直接積分計(jì)算利用畢奧-薩伐爾定律直接作積分計(jì)算b dlao £f 加)><£idv'.df（交換積分次序）pvz£j(x)x(-v-)-jrr3注意w） = o,則= +舶+ 舶=-舶x吃有b - dl =pvz£(vxj(x)dl扭，£ x vxl-js（運(yùn)用斯托克斯公式）ao4/rj盧知印7.j(x)-7(x)（交換積分次序）7(x)，進(jìn)一步宥=/z0

6、ds dv'jx)8(x-x)4rjvr jv4-£js -v£y- ds,-dv,j(x,其中第一項(xiàng)用了奧高積分變換公式、第二項(xiàng)用了v2運(yùn)算與f無關(guān)。注意到艇.政=0=ao化成微分式得vx5 = /z0j方法3:直接微分計(jì)算- -v (-) tcs(x?z)利用公式 x(axb) = a(v b)-(v a)b和關(guān)系r3直接計(jì)算 x fi(x) = £v xj(x)x=£/(x)(v » (x)dvf47t jvr r因?yàn)? 0 (求導(dǎo)與函數(shù)變量無關(guān))，故vxb(x) = £ j(x)(v. )jvz = /z0£

7、 j (/)梅-xz)t/vz利用a函數(shù)的挑選作用，給出v x b(x) = /z07(x)pp =-(1-丄)p/5. 試證明在均勻電介質(zhì)中存在關(guān)系£r 。婭明p = 8(xee = £()(£r - 1)£ = (e-e()e =(£ -£0)- = (1 - )d 并門 因?yàn)閟 £，并h乃= "/，常數(shù)，所以p v p = (1 ) v d = (1)/?/£ £.6. 試證明在均勻磁介質(zhì)中存在關(guān)系人。婭明因?yàn)檠?，?(a-，并且7><片=心，/<=常數(shù)，所以4 = v

8、x a/ = (/zr - 1)v x / = (/r -)jf7. 證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，方向相反（但 兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）。鉦明（1）兩個(gè)電流元之間的相互作用力不服從牛頓第三定律。設(shè)兩電流元相距1&1=1么1,根據(jù)畢奧-薩伐爾定律給出：電流元1在電流元2處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為dbxat4兀同樣，電流元2在電流元1處產(chǎn)牛.的磁場(chǎng)為j2dv2db2其屮 f12 =_?21dv2應(yīng)用安培力公式=給出電流元1對(duì)電流元2的作用力、電流元2對(duì)電流元1的作用力分別為dfv = j，dv，xdbr =x（axri2）6/v（dy' &qu

9、ot; 12 "dp，'= j,dv, x我=x(72xr21)dy雖然 f12=f21、12 = r21 ,但一般情況下，ax（x12） ax（ax?：21）, gp沾'2 *派2'，因此兩個(gè)電流元之間的相互作用力不滿足牛頓第三定律。其原因 是，不存在兩個(gè)獨(dú)立的電流元，只存在閉合回路。（2）兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力滿足牛頓第三定律。方法1: f場(chǎng)j電流圈1 （閉合回路1整體）在電流元2處激發(fā)的磁場(chǎng)為bn = £ dbnao £ jdlx x r12電流元2 （電流圈2上的抽樣）所受的磁力為i2dl2xbni2cu2 xxr,2

10、ao,1,2 x (屯尸12 w(wl 成)尸12arr j/.,12進(jìn)一步，電流圈1對(duì)電流圈2 （整體兩閉合回路）的作用力為(dl2 72)成 一(di、 dl2)r2其中第一項(xiàng)的積分為124 j£i j£212"43 js2(vx) 我=012這里對(duì)回路2的積分應(yīng)用了斯托克斯公式，a是以閉合回路a2為周界的任意曲而，且應(yīng)用了 2vxf- = vx(-v) = 02 的結(jié)果。所以 （j/, -dl2）rr同理可得w (j4tt(成 j/2)r2r2l比較以上兩式，且注意到么=_么，可得方法2:（力、依據(jù)電流元1對(duì)電流元2的作用力dfn = i威 xdbr-_ 4

11、兀r12/z0/,/2 (dl2 - r12)/, -(dl2 dh?24兀給出電流圈1（閉合冋路1整體）對(duì)電流元2的作用力為(j/2 - r12 )dl -(6?/, - dl2 )rl2?2進(jìn)一步，給出電流圈1對(duì)電流圈2 （兩個(gè)閉合回路整體）的作用力為p _ r r 姑="（w2 f r （成么）成-（成 八2 12 一 h 124-d其余運(yùn)算同前（從略）。綜上可見，雖然兩個(gè)電流元之間的相互作用力不滿足牛頓第三定律，但兩個(gè) 閉合的恒定電流圈之間的相互作用力是滿足牛頓第三定律的。8.己知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極距定義為戶(0 = £/?(%，t)xdvf，利用電荷守恒定律+|=

12、（）酬心變化率為dpdij'婭明因?yàn)椴⑹纲嵍葹関'*（7 a = （v,*j）r+（7*v,）r,醐作職分得£vz-(7 x)-(7-vz)x 1v, = £(v,- jxdvf其中j是f的函數(shù)。所以dpdtdp(x z)xw, = -£(v,.j)xw,£(j-v,)x,-v, (7 x)dvf多(j x)x（j-vz）r=-/,故罟=w肩第二幸靜電場(chǎng)9.簡(jiǎn)略證明矢量場(chǎng)的唯一性定理。鉦明假定有兩個(gè)矢量場(chǎng)4均滿足定解條件，即v ay = /?, vx a. = 7, ajtl s= f(s)(7 = 1,2)引入差函數(shù)義=忒一毛，則v x

13、 a = v x (a, - a2) = 0, v a = v (a, - a2) = 0可見a無旋，引入對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)a =代入a的散度方程給出 a = (%) = v2識(shí)=0 即勢(shì)函數(shù)滿足拉晉拉斯方程，且在s面上4 k=(ad)ls=0將以上結(jié)果代入格林第一公式£v2 + (v)2jv = (/n(p-ds得到£(v)2t/v = £(pv(p-ds = s(pands動(dòng)4, ls=o,所以in的書=0。又由于被積函數(shù)(爐)2(非負(fù))，故 上式成立的條件要求vp = 0,即a = v識(shí)=0,亦即為=z2,滿足所給定解條件的解是唯一性的。10. 一塊極化介質(zhì)的極化

14、矢量為根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化 介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為p(x) - rdvf另外，根據(jù)極化電荷公式及心極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電 勢(shì)又可表為（ppxydsf()試證明以上兩式是等同的。婭明，.=丄 p（r）+p（r） v'l -='丄因?yàn)閞r, r r ,所以<px)'r dvf = - p(x) - v,-jv, 47t() jv r47t£() jvr_l|* vz.- - vz px) dvf4庇0 jvr r dsff 丄'戶(玄)以/,4庇0js廠4花0 jv廠。證畢第三幸靜磕場(chǎng)11.試證明矢量場(chǎng)6 =能夠代表磁場(chǎng)。鉦明檢驗(yàn)&是否等于

15、0:因?yàn)橛业拇笮H為r的函數(shù)、方向沿在球坐標(biāo) 系下容易求出-1 d b =（6/r） = 0rsin 3 3中滿足高斯定理，故能夠代表磁場(chǎng)。再用另一場(chǎng)方程7>< = /07在球坐標(biāo)系下計(jì)算旋度，求得對(duì)應(yīng)的電流分布j = v xb = (ar2)e0 = -cdaoao12.試證明規(guī)范變換函數(shù)滿足泊松方程。鉦明在7x3 =力的定義下，作規(guī)范變換：a >a +其中v為任意可微的標(biāo)函數(shù)(規(guī)范變換函數(shù))，則vxaz = vxa + vx(v) = vxa = b即y雖不同于但對(duì)應(yīng)于同一個(gè)應(yīng)。在靜磁場(chǎng)中，人為常取= 0 (庫(kù)侖規(guī)范)。若=則可尋找i = i +使v'y = 0,

16、但對(duì)v需要有限制： a = v.(a+v %) = a+v2/ = w+v2v = o或vv = u即規(guī)范變換函數(shù)v滿足泊松方程。第印章電該次的傳格13.大部分晶體屬于各向異性介質(zhì)，其中麥克斯韋方程組最簡(jiǎn)單的解是e = eq expi(k -x-cotd = dq expz(石 x - 69 0h = h expi(k -x-co t)且忌=逆。試證明晶體光學(xué)第一基本方程v成= en(n成立。其中月為 波傳播方向的單位矢量。證明應(yīng)用無源區(qū)域的麥克斯韋方程組 x£ = -a?vxh3ddt對(duì)于常幅矢和行波因子為存在代換:v ik、> -io)3r所以vx(vx£)3-3

17、3 ，讀卜%ddv2e = (ik-ik)e = -k2e將以上關(guān)系代入展開式： x ( x左)=(.左)-2左得 co2nd = -k(k-e + k2ek = kn利用co =nv2 2(0d = -n(<ne) + vevv即v2/d = £-巧(/1.£)。證畢14.頻率為勿的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)，若t、a只仍按 exp/(r無-6k)變化，但乃不再與£平行(即5=什不成立)。(1) 證明 b = &.3 = b.3 = b e = o,但一般石.fo;d = -k2e-(ke)k(2) 證明；證明(1)應(yīng)用無源區(qū)域的麥克斯韋方程組v

18、x£ = -dt dd it xh由于、&、&、/?仍按e爾一.無-變化，則存在+代換。利用上述方程化為kxe = a£ kxb = -co/lid kd = o k-b = o由第一、第二式給出1 kxb, b = -kxe co/h0)從而bd = b(kxb) = o0)/db'e = (kxe)-e = qco外，雖然= 但由于故一 般石互*0,直觀圖示如右。b = 一kxe _(2)將 代入£屮得o)/hkxb1 kxkxe co/n co d = 0 v b = 0k(ke)-k2e(3)利用b = -kxecos=exh=-

19、exb=- ex- kxe = e2k-k-e)e jh/0)，因?yàn)樽?0,所以上式中第二項(xiàng)不為0,即能流s與波矢【一般不在同一方向上。 注釋：(1)本題中乃不再與左平行，即0=££不成立；但應(yīng)用了力= p/a,即是 電各向異性介質(zhì)。(2) 因?yàn)?否.0 = 0, 即灸丄s，丄£>s丄dd = -kxb_郵 ，槪u、右三者組成右手系；此外，因?yàn)?=應(yīng)乃=皮左=0,故石、£)、5三者共面，但左不平行于乃。顯然，乃與左之間的夾角也就是與5 之間的夾角。15. 試證明在不同介質(zhì)分界面上電磁波反射和折射時(shí)能量守恒。證明設(shè)平面波的入射角、反射角和折射角分別為

20、分界面的面積為 a=an,其中fi為介質(zhì)12的法矢。(1)入射到面積人的功率為p=sa = (£xh)a = £x(x£)a = -!-f2aa)嘩 169/,=丄 £2 (石 a)=丄 £2mcos 沒= -e2acos3 嘩169/z,郎注意到一般介質(zhì)2= a ,所以p = e2 cos汐(1)(2)反射波、折射波的功率之和為p,+ p" = （s，+ 5"）-a= n' £，2acos+ th e"2 a cos 3" a，a（）將電場(chǎng)矢量分解為垂直于和平行于入射面分量的疊加，即

21、r2 = £:2 + £:2,則p'+p"(£丄2 + £2 m cos 沒 + 土 (£:2 + £2 m cos 沒 a)cza)e由電場(chǎng)矢量垂直于、平行于入射面情況的菲涅耳公式2 cos sin 6e _ sin（沒一沒"）_ 2 cos 沒 sin 沒" £丄sin（沒+沒"） £丄 sin（沒+沒"）e；/=ts(3-3 e =£" tgd + oy e/fsin(0 + 汐)cos(沒一汐)+ ¥”&

22、3;! + . ,?c°?/sin ,.,2cos/z()csin(沒 + 汐")sin(汐 + 汐)cos(汐一汐#)_ sin 沒利用折射定律sin,得，+，= ¥ sin":)2 e2 泄雜 £>ow/z()c sin(沒+ f)丄 tg(0w)n， sin 3 /zoc sinzcosc/sin t/ 2 p22cos汐sin 沒"sin( + )丄 + sw + )cos(-)'£；cos其屮第一項(xiàng)、第三項(xiàng)之和可以利用三角函數(shù)化為m r si 呦-)2 £>s 什(2cos£

23、s2 £>，/()c sin(沒 + 汐")m 蟬令2 cos()2cqssin/j2 cos£2/oc sin(沒 + 汐")sin 沒 sin( += jm£2c0s同理，第二項(xiàng)、第四項(xiàng)之和化為m產(chǎn)乂）a si吧2，sin 彳tg（0w）隊(duì)、c sin，sin（沒+，）cos（沒-滬）m?2cos()2 cos sin/ocsiw sin(沒 + 汐)cos(沒一汐*)cos£,y綜合以上得»2 ydpp" = el cos e + £； cos£2 cos （2）/zoc最后，比較（

24、1）式、（2）式的結(jié)果，可得pzp'+p"，即入射波的功率等 于反射波的功率與折射波的功率之和。進(jìn)一步表明反射波能量與折射波能量之和等于入射波的能量，即在不同介質(zhì) 分界面上電磁波發(fā)生反射和折射時(shí)遵守能量守恒定律。注釋：（1）本題結(jié)果p =即a =可以借助于反射系數(shù)r和折射系數(shù)t進(jìn)行表示。反射系數(shù)和折射系數(shù)的定義為二 hs - nn2 cos ,n， cos汐e()s - n因?yàn)閟n + sn = s n所以i'n+j'fls - ns - n=1r + t = l（2）電磁波在介質(zhì)界面上發(fā)生反射和折射，其反射率和折射率的定義為 e' e"廠

25、t "" e ,它們不句于反射系數(shù)和折射系數(shù)的定義。由于反射波與入射波 在同空間，但與折射波在異空間，所以況2' t#k|2。16. 試證明導(dǎo)體內(nèi)部透入任一體積的電磁波能量正好等于這塊導(dǎo)體產(chǎn)生的 焦耳熱。鉦明(1)設(shè)電磁場(chǎng)為：e = e,e-azez-ml)則在良導(dǎo)體內(nèi)所以x£)故在單位時(shí)間內(nèi)由z=o金屬表而單位而積平均流入內(nèi)部的電磁能量為(2)另外，金屬內(nèi)部的電流j引起焦耳熱功率密度平均值為：p = -re(7'£) =-are(£*£)12 -2<z z= -£o故單位面積為底、z為高的體積內(nèi)，在單

26、位時(shí)間內(nèi)平均熱耗能量為:其屮w2ooz=ff£o2e2azdz - 口 £ 2 丄 i f 2 4a 022coa 02,可見=%。證畢17. 試證明良導(dǎo)體在高頻下的電阻相當(dāng)于厚度為5 = 1/的薄層的直流電阻。鉦明取z軸指向?qū)w內(nèi)部，由于高頻趨膚效應(yīng)，導(dǎo)體內(nèi)體電流密度為:7(x,z) = oex,t =yeam!)其中e(ay)為表面處的電場(chǎng)。此電流分布在導(dǎo)體表面附近厚度3 = 1/g的薄層 內(nèi)視為面電流分布：af=jdz = c7ee由此得面電流最大值平方為：2<72£02/0= ，6t + /?-單位截而_j而導(dǎo)體內(nèi)平均熱功率密度為： p = re(r

27、-e)= crre(ee) = cte()2e2a 導(dǎo)體表面單位面積平均熱功率為:pdz =<7£02 f e2a dz =<t2£02將七°_2+#代入上式，有僅2 + /?24ac7而良導(dǎo)體漢"所以pr4az與 2 比較，可得表面電阻。即良導(dǎo)體在高頻下的電阻相當(dāng)于厚度為j的薄層的直流電阻。證畢第五幸電磁次的福射18. 證明：如果又和識(shí)滿足洛侖茲規(guī)范，則只要選擇這樣一個(gè)標(biāo)函數(shù)2," 1，鵬的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)仍v- 使之滿足c然滿足洛侖茲規(guī)范鉦明(p =(p-3i/itvm, + i- = v-(a + v) +dt1 d(p= (v.a

28、+)+(wvm + 4= 0c dt代入之，得設(shè)am是滿足洛侖茲規(guī)范va+4i=q贈(zèng)函數(shù)，作規(guī)范變換a = a + v v:vv-±-3zc2 dt表明，只耍v滿足v>-,則y和p也滿足洛侖茲規(guī)范條件19. 證明荷質(zhì)比相同的不同帶電粒子構(gòu)成的體系不會(huì)產(chǎn)生偶極輻射。鉦明設(shè)體系有n個(gè)粒子，第/個(gè)粒子的質(zhì)量為電荷為總質(zhì)量為m,粒子a的荷質(zhì)比 m相同，則體系的電偶極矩、磁偶極矩分別為 （1）電偶極矩在v«c的非相對(duì)論情形，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。質(zhì)心的矢徑為k = 則= f。由于系統(tǒng)不受外力，則質(zhì)心加速度=代入電偶極矩戶中，給岀p = ±mr, p = -mk因?yàn)榱?0,

29、所以戸=0。由電偶極矩輻射公式ikr4r3£0/?pxnikr4r2£0/? (pxn)xn可知該體系不存在電偶極矩輻射 (2)磁偶極矩1 r -1 nm = xx jdv = 一 qix-xvj2t丄與xmp丄if;/ mtt2 mj .其中體系的角動(dòng)量 -1'系統(tǒng)不受外力時(shí)角動(dòng)量守恒，即z = 0,故由磁偶極矩繡公式ikr可知該體系沒有磁偶極矩輻射。20. 試證明真空中電磁場(chǎng)的動(dòng)量公式 心h如融可以用“表示為 g = £ padv鉦明. v(a-£) = ax(vxf) + a-v£+£x(vxa) + £.va

30、= ave + exb + eva£xb = v(a£)-(av£+eva)另外v.(a£) = (v.a)£ + av£ = av£v(£a) = (v£)a + £va = -a+£va ()即一 _£va = v(£a)-a/!£ = (a£)所以，av£+£va = v(£4-ea)-a代入得£xb = v(a£)-v(a£ + £a) + -a 最后將上式代入6 =

31、if()(£x fiw得g = £*0£v(a-£w(a£ + £a)js4-£-a/vf v (ae + ea)dv+ -adve)ds=ma因?yàn)槿齻€(gè)面積分的被積函數(shù)都反比于r的三次方，而s的邊界面積正比于r的二 次方。因而g = y padv注釋：結(jié)合所證結(jié)果，給出一個(gè)應(yīng)用示例：一質(zhì)量為帶電為的粒子在磁場(chǎng)否 中運(yùn)動(dòng)，試在穩(wěn)定情況下給出帶電粒子的總動(dòng)量。因?yàn)?lqsdv ；考慮到帶帷子在磁場(chǎng)中以速度p運(yùn)動(dòng)，機(jī)械動(dòng)量為給出該帶電為粒子在外磁場(chǎng)中的總動(dòng)量 為p = mv + qa第六幸狹義相對(duì)論21. 試用相對(duì)論動(dòng)量一一能量的變換式證明：是一不變量。婭明因?yàn)榍倚?，寫成矩陣形式? / pxzf 700ipr