《有理數(shù)》(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、?有理數(shù)?全章復(fù)習(xí)與穩(wěn)固(根底)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解正負(fù)數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的概念2理解并會(huì)用有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方五種運(yùn)算法那么進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算3. 學(xué)會(huì)借助數(shù)軸來(lái)理解絕對(duì)值、有理數(shù)比較大小等相關(guān)知識(shí)4. 理解科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)的相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用5. 體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中表達(dá)的一些數(shù)學(xué)思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】非負(fù)數(shù)性質(zhì)解題相反有關(guān)概慮卜利用概念解題有理敕卜絕對(duì)值數(shù)軸一正有理岡威有理教|1-科學(xué)記數(shù)法.近似數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的相關(guān)概念1. 有理數(shù)的分類(lèi)：(1) 按定義分類(lèi)：(2)按性質(zhì)分類(lèi):整數(shù)I分?jǐn)?shù)非員駅數(shù)自然麴 非正整數(shù)正分?jǐn)?shù)員分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)非負(fù)數(shù)非正數(shù)作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然

2、數(shù)、是有理數(shù)(1)用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量;(2)有理數(shù)“ 0的作用：要點(diǎn)詮釋:表示沒(méi)有3個(gè)平果用+3表示，沒(méi)有平果用 0表示表示某種狀態(tài)0 C表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2 .數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，女口(2 )在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大.3相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱(chēng)為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1 )一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn) 是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.(2 )求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要

3、在這個(gè)數(shù)的前面添上“號(hào)即可.(3 )多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“號(hào)的個(gè)數(shù)假設(shè)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，假設(shè)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù).4 .絕對(duì)值：(1) 代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身； 一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.數(shù) a的絕對(duì)值記作a .a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2) 幾何意義：一個(gè)數(shù) a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.要點(diǎn)二、有理數(shù)的運(yùn)算1 .法那么：(1) 加法法那么：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).(2) 減法法那么

4、：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b).(3) 乘法法那么：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.任何數(shù)同0相乘，都 得0.1(4) 除法法那么：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即a+ b=a (b工0).b(5) 乘方運(yùn)算的符號(hào)法那么：負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；正數(shù)的任何次幕 都是正數(shù)，0的任何非零次幕都是 0.(6) 有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸捌尕?fù)偶正 口訣的應(yīng)用：(1 )多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：

5、(3) = 3,-+ ( 3) =3 .(2) 有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積 的符號(hào)，例如：(3)X( 2)x( 6) = 36，而(3)X( 2) X 6=36 .(3) 有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，那么幕為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，那么幕為正，例如：(3)2 9 , ( 3)327 .2運(yùn)算律：(1) 交換律：加法交換律：a+b=b+a ;乘法交換律：ab=ba ;(2) 結(jié)合律：加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3 )分配律：a(b+c)=ab+ac要點(diǎn)三、有理數(shù)的大小比較

6、比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法；(2)法那么比較法：正數(shù)大于0, 0大于負(fù)數(shù)， 正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而??；(3)作差比較法.(4)作商比較法；(5)倒數(shù)比較法.要點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度1. 科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a 10n的形式(其中1|a 10 , n是正整數(shù))，此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法.例如：200 000= 2 105.2. 近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長(zhǎng)江的長(zhǎng)約為6300畑，這里的6300畑就是近似數(shù).要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂话悴捎盟纳嵛迦敕ㄈ〗茢?shù)，只要看要保存位數(shù)的下一位是舍還是入3. 精確度：一個(gè)近似數(shù)

7、四舍五入到哪一位，就稱(chēng)這個(gè)數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這 個(gè)近似數(shù)的精確度要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度(2) 精確度有兩種形式：精確到哪一位.保存幾個(gè)有效數(shù)字.這兩種的形式的意義不一樣，一般來(lái)說(shuō)精確到哪一位可以表示誤差絕對(duì)值的大小，例如精確到0.1米，說(shuō)明結(jié)果與實(shí)際數(shù)相差不超過(guò)0.05米，而有效數(shù)字往往用來(lái)比較幾個(gè)近似數(shù)哪個(gè)更精確些【典型例題】類(lèi)型一、有理數(shù)相關(guān)概念1假設(shè)一個(gè)有理數(shù)的：(1)相反數(shù)；(2)倒數(shù)；(3)絕對(duì)值；(4)平方；(5)立方，等于它本身.那么 這個(gè)數(shù)分別為(1)； (2)； (3)； (4)； ( 5) .【答案】(1) 0；(2)1 和-

8、1； (3)正數(shù)和 0； (4)1 和 0; (5)-1、0 和 1【解析】根據(jù)定義，把符合條件的有理數(shù)寫(xiě)全.【總結(jié)升華】 要全面正確地理解倒數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)等概念 舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)357133概念的理解與應(yīng)用】、 2 2 2【變式】(1)1 的倒數(shù)是；1一的相反數(shù)是 ；1一的絕對(duì)值是 .333-(-8)的相反數(shù)是 ； 丄的相反數(shù)的倒數(shù)是2 某種食用油的價(jià)格隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的變化漲落，規(guī)定上漲記為正，那么-5.8元的意義是 ；如果這種油的原價(jià)是 76元，那么現(xiàn)在的賣(mài)價(jià)是.(3) 上海浦東磁懸浮鐵路全長(zhǎng) 30km單程運(yùn)行時(shí)間約為 8min,那么磁懸浮列車(chē)的平均速度用科學(xué)記數(shù)法表

9、示約為 m / min.2 假設(shè)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，那么3cd _a b .3近似數(shù)0.4062精確到位，近似數(shù)5.47 >105精確到位，近似數(shù)3.5萬(wàn)精確到位，3.4030 >05精確到千位是 .322【答案】1-； 1- ； 1-； -8 ； 2 2降價(jià) 5.8 元，70.2 元；3375 103 ； 43;5335萬(wàn)分；千；千；3.40 > 1052如果x-22+| y-3| = 0,那么2x-y 2005 的值為A 1 B -1 C. 22006 D 32005【思路點(diǎn)撥】 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出x,y的值再代入計(jì)算.【答案】A【解析】因?yàn)閤-22,

10、|y-3|都是非負(fù)數(shù)，且x-22+|y-3| = 0,所以由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出x=2 ,y =3 的值，代入得：2x- y 2005=1 2005=1 【總結(jié)升華】偶次方與絕對(duì)值都具有非負(fù)性.3 在以下兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：2005200620062007【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)“ a-b > 0, a-b = 0, a-b v 0分別得到【答案】【解析】a= b, av b來(lái)比較兩數(shù)的大小.由于v法一:2005作差法20062005 2007 2006 200620062007法二：倒數(shù)比較法：因?yàn)?0062006 , 12005200712005200520060，所以一2006 20

11、072006200720072006 2006要根據(jù)數(shù)的特征選擇使用.【變式】比較大?。?1)10. 001；99【答案】1v(2)>所以 2005200620062007【總結(jié)升華】 比較大小常用的有五種方法, 舉一反三：類(lèi)型二、有理數(shù)的運(yùn)算GA ( 1)(- 12)-2(2) - -0.683(3)1526061215(4)4150.75 12522-32十-5+ (- 14)-(- 39)23) 2+3 >( - 2) +|- 4|(5)2111- 2- 133434241(0.2)3【答案與解析】解：(1) (- 12)- 5+ (- 14) ( 39)=-12 - 5 -

12、 14+39=-31+39=82 2(2)- 3+( - 3)+3 X( - 2) +|- 4|=-9 弋-6+4=-1 - 6+4=-3(3)1215601只Q=X 60- X 60X 6061215=10- 25 - 8=-23(4)-50.75 14-5X 丨4-X 2 - 32(-H)32-30=24(5) 42111121133241(0.2)3164555241315丄4524755242412540434丄27056330 1254040121120 3940【總結(jié)升華】 有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)先算=-15數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用類(lèi)型三

13、、a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下列圖，那么a, -a, 1的大小關(guān)系.(1)數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)A. - a v av 1 B . 1 v - av a(2)分類(lèi)討論思想：C. 1 v-av a D . av 1 v - a| x| = 5, | y| = 3求 x- y 的值.(3)轉(zhuǎn)化思想：計(jì)算:35 147)av 1 v - a,所以大小關(guān)系為：av 1 v - a.>*-1*a6 i a L【答案與解析】解：(1)將-a在數(shù)軸上標(biāo)出，如下列圖，得到 所以正確選項(xiàng)為：D.括號(hào)里邊的，同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各種運(yùn)算法那么計(jì)算，有時(shí)可以利用運(yùn)算 律來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算舉一反三：【變式】計(jì)

14、算:1(1) ( 2)-1(2)22(2)24610200631【答案】解:(1)(2) 212(12) ( 1)寸(2) ( 1) 2 ( 2) 4(2)246 10320061=-16+4-3 X 1(2)因?yàn)閨 x| = 5,所以x為-5或5 因?yàn)镮 y| = 3,所以y為3或-3.當(dāng) x = 5, y= 3 時(shí)，x-y= 5- 3= 2當(dāng) x = 5, y= -3 時(shí)，x-y = 5-(- 3) = 8 當(dāng) x = - 5, y = 3 時(shí)，x- y = -5-3= - 8 當(dāng) x = -5, y= -3 時(shí)，x-y= -5-(- 3) = -2 故(x-y)的值為土 2或土 8331

15、(3)原式=35( 7)35 77246 -14142【總結(jié)升華】 在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問(wèn)題的有效手段數(shù)形結(jié)合一一“以形助數(shù) 或“以數(shù)解形使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，具體化；分類(lèi)討論中注意分類(lèi)的兩條原那么：分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一， 而且分類(lèi)要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識(shí)轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)，將“未知轉(zhuǎn)化為“已知.舉一反三：【變式】假設(shè)a是有理數(shù)，|a|- a能不能是負(fù)數(shù)？為什么？【答案】 解：當(dāng)a> 0時(shí)，|a|-a= a-a= 0;當(dāng) a= 0 時(shí)，|a|- a= 0-0= 0;當(dāng) av 0 時(shí)，| a|- a= - a- a = - 2a> 0.所以，對(duì)于任何有理數(shù) a, | a|- a都不會(huì)是負(fù)數(shù).類(lèi)型四、規(guī)律探索111116.將1,，-，一，按一定規(guī)律排列如下：2 34 56第1行1第2行1 123第3行1 14516第4行丄71 I89110第5行i111 112131 11415請(qǐng)你寫(xiě)出第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是【思路點(diǎn)撥】 通過(guò)觀察題目所給的圖形、表格