概率論與數(shù)理統(tǒng)計--第二章

1、第二章 一維隨機變量及其分布第一節(jié) 隨機變量第二節(jié) 離散型隨機變量第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布第一節(jié) 隨機變量定義 設(shè)X X (w )是定義在樣本空間W上的實值函數(shù)，稱X X (w )為隨機變量.隨機變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，.等表示下圖給出樣本點w與實數(shù)X X (w )對應(yīng)的示意圖 W1e2e3ex 這個定義表明，隨機變量 X是樣本點 的一個函數(shù)，這個函數(shù)可以是不同樣本點對應(yīng)不同的實數(shù)，也允許多個樣本點對應(yīng)同一個實數(shù).這個函數(shù)的自變量（樣本點）可以是數(shù)，也可以不是數(shù)，但因變量一定是實數(shù).w w擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)X是一個隨

2、機變量. 電視機的壽命T是一個隨機變量. 例如例如 對于樣本點本身不是數(shù)的隨機試驗，這時可根據(jù)需要設(shè)計隨機變量。 1,0,.Xw ww w 合合格格品品；不不合合格格品品例例2 2 一射手對目標(biāo)進行射擊，擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記為0分.設(shè)X表示該射手在一次射擊中的得分，它是一個隨機變量，可以表示為 ., 0, 1未中擊中；wwX例例3 3 觀察一個電話交換臺在一段時間（0，T）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)如果用X表示呼叫次數(shù)，那么 表示一隨機事件，顯然 也表示一隨機事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX( )BXIww( )( ).P XIP BPXIww隨機變量的取值隨

3、試驗的結(jié)果而定，而試驗的各個結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機變量的取值有一定的概率. 按照隨機變量可能取值的情況，可以把它們分為兩類：離散型隨機變量和非離散型隨機變量，而非離散型隨機變量中最重要的是連續(xù)型隨機變量.因此，本章主要研究離散型及連續(xù)型隨機變量. BIXI記為事件是一個實數(shù)集合若一般的 ,即于是定義 如果隨機變量的全部可能取的值只有有限個或可列無限多個，則稱這種隨機變量為離散型隨機變量. ), 2 , 1(kxkX 取各個可能值的概率，即事件 的概率為kxX ,1,2,kkP Xxpk（1）稱（1）式為離散型隨機變量X的分布律 .一般地，設(shè)離散型隨機變量 X 所有可能取的值為第二節(jié)第二

4、節(jié) 離散型隨機變量離散型隨機變量分布律也可以直觀地用下面的表格來表示： Xnxxx21kpnppp21由概率的定義，式（1）中的 應(yīng)滿足以下條件： kp, 2 , 1, 01kpk。. 121kkp。隨機變量X的所有取值隨機變量X的各個取值所對應(yīng)的概率 例1 某系統(tǒng)有兩臺機器相互獨立地運轉(zhuǎn)設(shè)第一臺與第二臺機器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機器數(shù)，求X 的分布律 2 , 1iiAi臺機器發(fā)生故障”，表示事件“第設(shè)解72. 08 . 09 . 0)(021AAPXP26. 02 . 09 . 08 . 01 . 0)()( 12121AAPAAPXP02. 02 .

5、01 . 0)(221AAPXP故所求概率分布為： X210kp02. 026. 072. 0（一）（一）（0 01 1）分布）分布 設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值，它的分布律是) 1, 10(1 , 0,1qppkqpkXPkk則稱 X 服從（01）分布或兩點分布 （01）分布的分布律也可寫成 X10kppq拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面H還是反面T，正面X0,反面X1T H對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即 ，我們總能在W上定義一個服從（01）分布的隨機變量 12,Ww w., 1, 0)(21wwwww當(dāng)當(dāng)XX來描述這個隨機試驗的結(jié)果。 檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對新生嬰

6、兒的性別進行登記，檢驗種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗都可以用（0-1）分布的隨機變量來描述伯努利試驗是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下獨立地進行重復(fù)試驗或觀察”的一種數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的實際應(yīng)用設(shè)試驗 只有兩個可能結(jié)果： 及 , 則稱 為伯努利（Bernoulli）試驗設(shè) ，此時 ,將E 獨立重復(fù)地進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗. EAA) 10()(ppAPpAP1)(E（二）（二） 伯努利試驗與二項分布伯努利試驗與二項分布012kn knP Xkp qknk ， ， ， ，二項分布二項分布顯然 0 kXP00()1nnkn knkknP Xkp

7、 qp qk 滿足分布律的兩個條件即kXP注意到 剛好是二項式 的展開式中 knknp qknqp)(的二項分布服從參數(shù)為量的那一項，故稱隨機變出現(xiàn)pnXpk,X記為( ,)B n p例例2 2 已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2，現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機地抽查20件，問恰好有k (k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？ 解解 這是不放回抽樣但由于這批產(chǎn)品的總數(shù)很大，且抽查的產(chǎn)品的數(shù)量相對于產(chǎn)品的總數(shù)來說又很小，因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理這樣做會有一些誤差，但誤差不大.我們將檢查一件產(chǎn)品是否為次品看成是一次試驗，檢查20件產(chǎn)品相當(dāng)于做20重伯努利試驗以X記抽出的20件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么X是一

8、個隨機變量，且XB(20,0.2)則所求的概率為 2020(0.2) (0.8)0120kkP Xkkk， ，將計算結(jié)果列表如下： kXPkXPkk0123450.0120.0580.1370.2050.2180.175678910110.1090.0550.0220.0070.002 0.001作出上表的圖形，如下圖所示 直至達到先是隨之增加增加時，概率從上圖可以看出，當(dāng),kXPk4knp最大值（），隨后單調(diào)減少.一般地，對于固定的 及 ，二項分布( , )B n p都有類似的結(jié)果。（三）泊松分布0,1,2,X設(shè)隨機變量所有可能取值為，！kkXPke， 210k0其中是常數(shù)( )X 記為且有

9、顯然，, 2 , 1, 0kkXP1eeee000kkkkkkkkXP！而取各個值的概率為X則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布，滿足分布律的兩個條件即kXP1.泊松分布例3 商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為 10的泊松分布為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進該商品多少件？ 解按題意要求為件，件，月底的進貨量為種商品設(shè)商店每月銷售nX該95. 0 nXP的泊松分布，則有服從10Xnkkk01095. 0e10！由附錄的泊松分布表知 .95.09513.0e1095.09166.0e101501014010kkkkkk！，！只要在月底進貨15件(假定上個月沒

10、有存貨)，就可以95%的概率保證這種商品在下個月內(nèi)不會脫銷證明略2.二項分布的泊松近似 lim1.!kn kknnnnppekk 1,0,1,2,.!kn kknpnnpppekkk 解解 10.2100.21110.9820.018.!kkP Xek 30.9200.93110.9870.013.!kkP Xek 注意注意 此種情況下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名維修工負責(zé)90臺設(shè)備相當(dāng)于每個維修工負責(zé)30臺設(shè)備，工作效率是（1）中的1.5倍. 10530510110.9860.014.!kkP Xek 注意注意 此種情況下所求概率與(2)中基本上一樣，而10名維修工負責(zé)500臺

11、設(shè)備相當(dāng)于每個維修工負責(zé)50臺設(shè)備，工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍. 在幾何上，它表示隨機變量X的取值落在實數(shù)x左邊的概率第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)是任意實數(shù)，函數(shù)是一個隨機變量，設(shè)xX定義 xXPxF)(的分布函數(shù)稱為X分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，其定義域是整個實數(shù)軸Xx分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)： 1)(0 xF1.的不減函數(shù)是xxF)(2.1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，3.)()0(xFxF是右連續(xù)的即)(xF4.例例1 1的分布律為設(shè)隨機變量XXkp-1 0 1 10 XPX的分布函數(shù)，并求求由概率的有限可加性分布函數(shù)為：0 11 104( )3 0

12、141 1xxF xxx 01010(1)(0)0311423.4PXPXP XFFP X 解解的圖形如下圖所示)(xF 1011 1 11014 2 4F xXX分布函數(shù)的圖形是一條階梯曲線，它在 , ,處有跳躍其跳躍值分別為 取 , ,的概率, , .111xF(x)的分布函數(shù)為變量一般地，設(shè)離散型隨機X，21kpxXPkk的分布函數(shù)為由概率的可列可加性得 X, 2 , 1,)(kkkxXPpkxxxF其跳躍值為處有跳躍，在分布函數(shù)xxkkpxF)(kxxk對所有滿足的 求和。第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義，使對于任意實數(shù)有負函數(shù)如果存在非的分布函數(shù)對于隨機變量)(),(xfxFX

13、 xttfxFd.)(概率密度的概率密度函數(shù)，簡稱為稱其中函數(shù)稱為連續(xù)型隨機變量，則XxfX 具有以下性質(zhì)由定義知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx對于任意實數(shù)有 dxxfxFxFxXxPxx211221(4)( )( )( )f xxF xf x若在點 連續(xù)，則有121212( ,( ,( )()Xx xP xXxx xf x落在區(qū)間上的概率等于區(qū)間上曲線之下的曲邊梯形的面積 如圖性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)有的連續(xù)點對于知由性質(zhì)xxf)(,)4( xxxXxPxxFxxFxfxx00limlim直觀述它的分布比分布函數(shù)機變量，用概率密度描因

14、此對于連續(xù)型隨附近的值的概率大小取映出的大小能反的概率分布的密集程度在點而是的概率取值不是隨機變量上式表明概率密度xXxfxXxXxf)(,)(例1 設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度 1, 02,0 , .kxxfx其他k確定常數(shù)) 1 ( xFX的分布函數(shù)求)2(2523)3( XP求20(1)( )d1,(1)d1f xxkxx由得(2)X的分布函數(shù)為 20, 01d, 0241, 2 xxF xf ttxxxx5335(3)222210.93750.0625PXFF 解1/ 2k 解得均勻分布具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機變量 X , , 0, ,1其他bxaabxf),(,),(baUXbaX

15、記為上服從均勻分布在區(qū)間則稱 1d, 0)(xxfxf且易知滿足連續(xù)型隨機變量的兩個最基本性質(zhì) fx 的圖形與子區(qū)間的位置無關(guān)而子區(qū)間的長度子區(qū)間的概率只依賴于落在或者說可能性是相同的一等長度的子區(qū)間內(nèi)的中任落在變量上服從均勻分布的隨機在,),(,),(),(baXbaXba的分布函數(shù)為X bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0( )F x 相應(yīng)的圖形為例2解指數(shù)分布概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機變量X , 0 , 0, 0 ,exxxfx的指數(shù)分布服從參數(shù)為則稱常數(shù)為其中X,0 1ded0)(0 xxxfxfx且易知的分布函數(shù)為X . , 00 ,e1其他，xxFx滿足連續(xù)型隨機變量的兩個最

16、基本性質(zhì)指數(shù)分布的概率密度及分布函數(shù)分別如圖所示 例3()1/1000,31000X已知某種電子元件壽命單位：h 服從參數(shù)的指數(shù)分布 求 個這樣的元件使用小時至少有一個已損壞的概率。解：的概率密度為X . 0 , 0, 0 ,e100011000 xxxfx 11000ed1000 xxfXP于是各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的，因此3個元件使用1000小時都未損壞的概率為 ，從而至少有一個已損壞的概率為 3e31 e正態(tài)分布概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機變量 X22()21( )e,2xf xx ).,(,)0(,2 NXX記為分布的正態(tài)服從參數(shù)為則稱為常數(shù)其中( )0( )1f xf x

17、dx顯然，下面來證明滿足連續(xù)型隨機變量的兩個最基本性質(zhì)得令, tx222()2211eded22xtxt20ed,2xx利用有22ed2tt于是22()21ed12xx如圖所示)(xf.)()(,.)(,)(的圖形就越平的值越大，反之，當(dāng)?shù)膱D形越尖。的值越小固定時當(dāng)達到最大處在對稱的圖形關(guān)于直線函數(shù)xfxfxxfxxf 的分布函數(shù)為X22()21( )ed2txF xt如下圖所示)(xF表示，即有分別用其概率密度和分布函數(shù)。記為服從標(biāo)準正態(tài)分布時稱當(dāng))(),() 1 , 0(, 1, 0 xxNXX221( )e,2xx221( )ed2txxt()1( ) xx易知引理若2(,)XN 則(0

18、,1)XYN4例解816816(2)0.977344XP XP880( 2)1(2)0.022744 XP XP12882081220(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP查表得的分布函數(shù)由引理及,X已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX5例設(shè)2(,)XN 內(nèi)的概率落在區(qū)間求),(kkX), 3 , 2 , 1 (k解P XkPkXk( )()2( ) 1kkk于是2(1) 10.6826 P X2 2(2) 10.9544 P X3 2(3) 10.9973P X 3 13 0.00270.003P XP X 則有.003. 0)3,3(不會發(fā)生

19、在實際問題中常認為它，以外的概率小于落在 X)(, 10 ,),1 , 0(如下圖所示分位點為標(biāo)準正態(tài)分布的上稱點則滿足條件若設(shè)uuXPuNXuux1)( 的圖形的對稱性可知：由第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布在實際問題中，不僅需要研究隨機變量，往往還要研究隨機變量的函數(shù).即已知隨機變量X的概率分布，求其函數(shù)Y g (X )的概率分布.1例2(1)2;(2)(1)XYXZX設(shè)隨機變量 具有以下分布(如下表)，試求的分布律。P-100.4。的所有可能取值為4 , 2 , 0 , 2) 1 (Y的分布律為得由YpkXPkYPk2解YP-200.44 , 1 , 0)2(的所有可能取值為Z20(1)010.1P ZPXP X=-=21(1)1020.6P ZPXP XP X=-=+=24(1)410.3P ZPXP X=-= -=的分布律為故zZP0例例2 2.,),(2的概率密度求具有概率密度設(shè)隨機變量XYxxfXX解).()(),(,yFYyFxFYXYYX的分布函數(shù)先求的分布函數(shù)為分別記時有當(dāng)時，故當(dāng)由于00)(0, 02yyFyXYY)(2yXPyYPyFYyXyP()()XXFyFy-的概率密度為即得求導(dǎo)關(guān)于將yyyFY,)()(yfY. 0,00),()(21yyyfyfyXX）（ 1(0,1)