序列Z變換與反變換

1、( )( )nnX zx n z11( )( )d2jncx nX z zz C為X(z) 的收斂域(ROC )中的一閉合曲線正變換：X(z)=Zx(n)反變換： x(n) =Z1X(z)( )( )zx nX z 或充要條件充要條件: ( )( )nnX zx n z 序列序列z變換的定義為變換的定義為能夠使上式收斂的能夠使上式收斂的z值集合稱為值集合稱為z變換的變換的收斂域收斂域(ROC): R |z| R+( )nnx n zM 絕對可和絕對可和 解：解：例：求下列信號(hào)的Z變換及收斂域。1( )( )nx na u n2( )(1)nxna un 1101( )1nnnXza zazaz

2、 za1211( )1nnnXza zaz21( )( )nnn nX zx n z12(1) n 0ROC0z 時(shí)，：12(2) n 0, n0ROC0z0ROC0z 時(shí)，：1( )( )nn nX zx n z10: 若n Rz 1 0:若nzR ROCRx-Re zIm z2( )( )nnnX zx n z20:若n Rz20:若nRz0ROCRx+Im zRe z( )( )nnX zx n zRzRROCROCRx-Rx+Im zRe z11( )( )2jncx nX z zdz ),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX則：若：c為環(huán)

3、形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合圍線.ImzjRezxRxR0c1.留數(shù)法羅朗級(jí)數(shù)公式：z z反變換反變換為計(jì)算圍線積分，由留數(shù)定理可知：11111( )Res( )21( )Res( )2kmnnzzcknnzzcmX z zdzX z zjX z zdzX z zj 為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)， 為c外的第m個(gè)極點(diǎn)， Res 表示極點(diǎn)處的留數(shù)。使用第二式的條件是分母多項(xiàng)式中的z次數(shù)比分子多項(xiàng)式高二次以上。mzkzZ反變換 (2)當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)11111Res( )()( )(1)!rrlnlnz zrz zldX z zzzX z zldz 留數(shù)的求法：11Res( )()(

4、)rrnnZ Zrz zX z zzzX z zZ反變換(1)當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)例： 已知1）當(dāng)n-1時(shí), 在z=0處不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)，此時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) 。441,)41)(4()(22 (2)|z|1 (3)1|z|2 (2)|z|1 (3)1|z|2時(shí),x(n)為因果序列，)(2) 1()(3231nunxnn(2)收斂域?yàn)閨z|1時(shí),x(n)為反因果序列，(3)當(dāng)收斂域?yàn)?|z|2時(shí)) 1(2) 1()(3231nunxnn) 1(2)() 1()(3231nununxnn冪級(jí)數(shù)展開法基本原理在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)即為x(n)。01( )( )( 1)(

5、0)(1)nnX zx n zxzxzxz具體過程自學(xué)！雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)11( )( )x nXz111ROCxxxRRzR22( )( )x nXz222ROCxxxRRzR1.1.線性特性線性特性1212( )( )( )( )ax nbxnaXzbXz21ROCxxRR 包含注：若線性組合過程中出現(xiàn)某些零點(diǎn)和極點(diǎn)相互抵消注：若線性組合過程中出現(xiàn)某些零點(diǎn)和極點(diǎn)相互抵消時(shí)，收斂域會(huì)擴(kuò)大！時(shí)，收斂域會(huì)擴(kuò)大！)()cos()(0nunnx000000000001110111cos() ( ) ( )21( ),11( ),111( ),11111cos() ( ),12

6、 11j nj nnj njjj njjjjn u neeu nZ a u nzaazZ eu nzeezZ eu nzeezZn u nzezez故，例：已知 求其z變換。雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)2 2位移特性位移特性x n m z mX(z) ROC = Rx對雙邊序列而言，序列位移不改變其收斂域！對雙邊序列而言，序列位移不改變其收斂域！例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。0,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ組合后，z=1既是零點(diǎn)，又是極點(diǎn)，出現(xiàn)零極點(diǎn)相抵消，收斂域擴(kuò)大。雙邊雙邊Z Z變換的主

7、要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)3.3.指數(shù)加權(quán)特性指數(shù)加權(quán)特性( )( / )Zna x nX z a xRaROC4. 4. 線性加權(quán)線性加權(quán)(Z(Z域微分特性域微分特性) )d ( )( )dX znx nzz xRROC雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)5.5.共軛序列共軛序列()(1/ )ZxnXz xxRzR116.6.時(shí)間翻轉(zhuǎn)時(shí)間翻轉(zhuǎn)(time reversal)(time reversal)( )()xnXzxRROC雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)7.7.初值定理初值定理lim( )(0)zX zx8. 8. 終值定理終值定理因果序列因果序列x(n)=0,n0,有有X(

8、n)X(n)為因果序列，且為因果序列，且X(z)X(z)的極點(diǎn)處于單位圓以內(nèi)的極點(diǎn)處于單位圓以內(nèi)( (單位圓上最多在單位圓上最多在z=1z=1處有一階極點(diǎn)處有一階極點(diǎn)) )，則，則1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)9.9.有限項(xiàng)累加特性有限項(xiàng)累加特性( ) ( )xX zZ x nzR因果序列x(n)=0,n0，其z變換為0( )( )max,11nxmzZx mX zzRz雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)時(shí)域的卷積和對應(yīng)于時(shí)域的卷積和對應(yīng)于Z Z域是乘積關(guān)系域是乘積關(guān)系1212xxxxRRzRR10. 10. 序列卷積和序

9、列卷積和1212 ( )( )x nx nXz XzROC 包含Rx1Rx211. 11. 序列相乘序列相乘(Z(Z域復(fù)卷積定理域復(fù)卷積定理) )112121( )( )( )( )2czZ x n xnXXv v dvjv 時(shí)域的乘積對應(yīng)于時(shí)域的乘積對應(yīng)于Z Z域是復(fù)卷積關(guān)系域是復(fù)卷積關(guān)系雙邊雙邊Z Z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)112211max,min,xxxxRvRRR 111122221212( )( )( )( )1,1xxxxxxxxx nXzRzRxnXzRzRRRRR且1121211( )( )( )()2cnx n x nX v Xv dvjv 12.Parseval12.

10、Parseval定理定理( )( )( )() ()aaTanxtx ttxnTtnT 理想抽樣信號(hào)理想抽樣信號(hào)( )ax t的的Laplace變換變換X ( )( )()nsTaaansxtxnT eL抽樣序列抽樣序列( )()x nx nT的的 z 變換變換()()nnXzx nz ( )()( )sTsTaz eX zX eXs，抽樣序列的，抽樣序列的z變換等于理想抽樣信號(hào)的變換等于理想抽樣信號(hào)的Laplace變換。變換。sTze拉氏變換與拉氏變換與Z變換關(guān)系的實(shí)質(zhì)變換關(guān)系的實(shí)質(zhì)建立起建立起 s (域域) 平面與平面與 z (域域)平面之間的的一一對應(yīng)關(guān)系！平面之間的的一一對應(yīng)關(guān)系！sTze1lnszTsjjzreTreT =0,即S平面的虛軸映射到Z平面單位圓(r=1)； 0,即S左半平面映射到Z平面單位圓內(nèi)(r0, 即S右半平面映射到Z平面單位圓外(r1) 。r r與與的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系()Trej00jImZReZ(,)T T 與與的關(guān)系（的關(guān)系（=T=T）0jImZReZT3TTT3j = 0對應(yīng)于= 0；=0對應(yīng)于=0T；對應(yīng)于(, ) 的整個(gè)z平面，Laplace變換退化為變換退化為Fourier變換。變換。( )()()j Tj Taz eX zX eXj是是sj 1