費(fèi)馬點(diǎn)的小論文

1、費(fèi)馬點(diǎn)的小論文費(fèi)馬(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務(wù)員，他利用閑暇的時(shí)間研究數(shù)學(xué)，他從未發(fā)表他的研究發(fā)現(xiàn)，但是他幾乎與同時(shí)代的所有歐洲的大數(shù)學(xué)家保持通信。曾經(jīng)，費(fèi)馬是歐洲所有數(shù)學(xué)研究進(jìn)展之交換中心。費(fèi)馬點(diǎn)的定義 費(fèi)馬點(diǎn)，就是平面上到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于一百二十度的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)；如果三個(gè)內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120度的點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的證明證明一Part1當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于等于120度時(shí)候?qū)θ切蝺?nèi)任一點(diǎn)P延長BA至C'使得AC=AC&#

2、39;，做C'AP'=CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（說了這么多，其實(shí)就是把三角形APC以A為中心做了個(gè)旋轉(zhuǎn)）則APCAP'C'BAC120°PAP'=180°-BAP-C'AP'=180°-BAP-CAP=180°-BAC60°等腰三角形PAP'中，APPP'PA+PB+PCPP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是費(fèi)馬點(diǎn)Part2當(dāng)所有內(nèi)角都小于120°時(shí)做出ABC內(nèi)一點(diǎn)P，使得APC=BPC

3、=CPA=120°，分別作PA,PB,PC的垂線，交于D,E,F三點(diǎn)，如圖，再作任一異于P的點(diǎn)P'，連結(jié)P'A,P'B,P'C，過P'作P'H垂直EF于H易知D=E=F=60°，即DEF為等邊三角形，計(jì)邊長為d，面積為S則有2S=d(PA+PB+PC)P'AP'H所以2SEP'FP'A×d同理有2SDP'FP'B×d2SEP'DP'C×d相加得2Sd(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PCP'A+P

4、'B+P'C，當(dāng)且僅當(dāng)P,P'重合時(shí)取到等號所以P是費(fèi)馬點(diǎn)證明二如右圖所示，ABE、ACH、BCG均為等邊三角形，連接AG、CE、BH，CE與AB相交于F，則：AECABH，1=2，BFPEFA ，3 =4=60°在PE上取點(diǎn)D ，使得 DBP為正三角形 則ABPEBD，得 AP=EDPA+PB+PC=DE+PD+PC=CE費(fèi)馬點(diǎn)的應(yīng)用(1)一條河寬1km，兩岸各有一座城市A與B，A與B的直線距離是4km，今須鋪設(shè)一條電纜連A與B，已知地下電纜修建費(fèi)用為2萬元/km，水下電纜為4萬元/km，假定河兩岸是直線，問應(yīng)如何架設(shè)電纜方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最??？(2)有四個(gè)點(diǎn)位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，須用線將它們連