平面問題的三角形單元PPT課件

1、（1 1）結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體：將結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體（2 2）選擇位移模式選擇位移模式：假定內(nèi)任一點位移可以用單元節(jié)：假定內(nèi)任一點位移可以用單元節(jié)點位移來表達(dá)，它們之間存在某種簡單函數(shù)關(guān)系。點位移來表達(dá)，它們之間存在某種簡單函數(shù)關(guān)系。第1頁/共45頁由虛位移原理由虛位移原理 可以得到單元的剛度矩陣可以得到單元的剛度矩陣（3 3）計算計算單元剛度矩陣單元剛度矩陣求單元節(jié)點位移求單元節(jié)點位移與與 節(jié)點節(jié)點內(nèi)力的關(guān)系內(nèi)力的關(guān)系求出節(jié)點內(nèi)力：求出節(jié)點內(nèi)力：第2頁/共45頁（5 5）由于上述總剛度矩陣常常是）由于上述總剛度矩陣常常是奇異矩陣奇異矩陣，無，無法求解。法求解。引

2、入邊界條件引入邊界條件，求解整個結(jié)構(gòu)的所有，求解整個結(jié)構(gòu)的所有單元單元節(jié)點的位移節(jié)點的位移 節(jié)點應(yīng)變節(jié)點應(yīng)變 節(jié)點節(jié)點應(yīng)力應(yīng)力。（4 4）集合所有節(jié)點的平衡方程集合所有節(jié)點的平衡方程，形成整個，形成整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組，結(jié)構(gòu)的平衡方程組，第3頁/共45頁有限元的單元分析單元分析第4頁/共45頁aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u0123圖 2-6有限元分析實例求解有限元分析實例求解通過材料力學(xué)，彈性力學(xué)和有限元法分別求解對比：例：等截面直桿在自重作用下的拉伸 圖(a)(a)單位桿長重量為q q，桿長為L L，截面面積為A A，彈性模數(shù)為E E 第5頁/共45頁材料力學(xué)求解方法材料力

3、學(xué)求解方法第6頁/共45頁材料力學(xué)求解方法材料力學(xué)求解方法根據(jù)力平衡條件有：內(nèi)力 N(x)=q (L-x) 取微元 dx，則其伸長為 x截面上的位移： 根據(jù)幾何方程求應(yīng)變，物理方程求應(yīng)力。這里 應(yīng)變 根據(jù)本構(gòu)方程求應(yīng)力EAx)dxq(LEAN(x)dx(dx)2x(LxEAqEAx)dxq(LEAN(x)dxu2x 0 x 0 X)(LEAqdXdu xX)(LAqExx第7頁/共45頁材料力學(xué)求解方法材料力學(xué)求解方法所以三個節(jié)點處的位移函數(shù)如下：所以三個節(jié)點處的應(yīng)變函數(shù)如下：所以三個節(jié)點處的應(yīng)力函數(shù)如下：第8頁/共45頁彈性力學(xué)求解方法彈性力學(xué)求解方法+dN+dNqdx第9頁/共45頁彈性力

4、學(xué)求解方法彈性力學(xué)求解方法微元微元力平衡方程力平衡方程：qdxd-A微元微元幾何方程幾何方程：dxduE材料材料本構(gòu)方程本構(gòu)方程：給出給出邊界方程邊界方程：0u0 x0Lx第10頁/共45頁有限元法求解有限元法求解有限單元法求解直桿拉伸： 1 1、離散化（節(jié)點和單元、離散化（節(jié)點和單元） 2 2、外載荷集中到節(jié)點上，即把陰、外載荷集中到節(jié)點上，即把陰影部分的重量作用在節(jié)點影部分的重量作用在節(jié)點i i上上 iL1iL 圖 2-3i+1ii-12)LL( q1ii 1L2LiL1iL 1圖 2-2nn-1i+1ii-12第11頁/共45頁有限元法求解有限元法求解3 3、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù)

5、、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù) iL圖 2-4ii-1Xux1ix 1i u )x ( ui u) ( )( 111iiiiixxLuuuxuui1ixLudxduiu)Lu(Ei1iiiiuE)( 1iiiiiLuuEAAN)( 111iiiiLuuEAN由幾何方程： 由本構(gòu)方程： 節(jié)點內(nèi)力：第12頁/共45頁1)-(2 )11 (2 )1 (21i i 1 - i iiiiLEAquuu有限元法求解有限元法求解有限單元法求解直桿拉伸： 4 4、以、以i i節(jié)點節(jié)點為對象，列力的平衡方程為對象，列力的平衡方程令令 將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得 i N1i N 圖 2-5i

6、2)LL( q1ii 0 xF2)( 11i i iiLLqNN1iiiLL用節(jié)點位移表示的平衡方程，其中用節(jié)點位移表示的平衡方程，其中i=1i=1，2 2， n n有有n n個方程個方程未知數(shù)也有未知數(shù)也有n n個，解方程組，得出個，解方程組，得出節(jié)點節(jié)點位移，進(jìn)而計算應(yīng)力位移，進(jìn)而計算應(yīng)力 第13頁/共45頁2-1 有限單元法的概念有限單元法的概念有限單元法求解直桿拉伸： 假設(shè)線單元數(shù)為假設(shè)線單元數(shù)為3 3個的情況，個的情況，平衡方程有平衡方程有3 3個：個：i=1i=1時，時，i=2i=2時時, ,i=3i=3時，時，聯(lián)立解得聯(lián)立解得 aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u01

7、23圖 2-622 1 2aEAquu23 2 1 2 aEAquuu23 2 2 aEAquuEAqa2521 uEAqa2822 uEAqa2923 u與材料力學(xué)的精確解答在節(jié)點處與材料力學(xué)的精確解答在節(jié)點處位移位移完全相同，回代可以得到完全相同，回代可以得到各點各點應(yīng)變值應(yīng)變值，繼續(xù)回代可以得到各點，繼續(xù)回代可以得到各點應(yīng)力值。應(yīng)力值。第14頁/共45頁有限元法求解有限元法求解LxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)圖 2-1EAqa252EAqa282EAqa2923La 設(shè)取n=3，求解含節(jié)點位移的線性方程組，得各點位移如下 第15頁/共45頁第16頁/共45頁有限

8、元的單元分析單元分析第17頁/共45頁1 1 三角形單元位移插值函數(shù)三角形單元位移插值函數(shù)假設(shè)已知假設(shè)已知如何求單元內(nèi)(x,y)點位移？第18頁/共45頁1 1 三角形單元位移插值函數(shù)三角形單元位移插值函數(shù)將i，j，m節(jié)點坐標(biāo)（已知）代入上式得含待定系數(shù)的方程組選擇位移插值函數(shù)如下：選擇位移插值函數(shù)如下：第19頁/共45頁代入上述位移函數(shù)可得：求解6個待定系數(shù)第20頁/共45頁其中A為三角形面積將將待定系數(shù)待定系數(shù)代入單元內(nèi)部位移模式得到代入單元內(nèi)部位移模式得到任意點位移：任意點位移：第21頁/共45頁式中：式中：進(jìn)一步進(jìn)一步簡化，簡化，令令位移形函數(shù)位移形函數(shù)單元內(nèi)部位移模式可以簡寫為：單元

9、內(nèi)部位移模式可以簡寫為：第22頁/共45頁單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式可以簡記為：單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式可以簡記為：位移位移轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)或或位移形函數(shù)矩陣位移形函數(shù)矩陣第23頁/共45頁單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：單元內(nèi)部位移模式的矩陣表達(dá)式：位移形位移形函數(shù)函數(shù)Ni物理物理含義含義故故, Ni稱為稱為位移位移形形函數(shù)。函數(shù)。第24頁/共45頁單元內(nèi)部位移模式單元內(nèi)部位移模式必須滿足三個條件才能必須滿足三個條件才能保證收斂：保證收斂：注意注意：如如第25頁/共45頁2 2 由由節(jié)點位移節(jié)點位移求求應(yīng)變應(yīng)變 幾何方程

10、幾何方程第26頁/共45頁2 2 由由節(jié)點位移節(jié)點位移求求應(yīng)變應(yīng)變 幾何方程幾何方程第27頁/共45頁式中：式中：第28頁/共45頁3 3 由由應(yīng)變應(yīng)變求求應(yīng)力應(yīng)力 本構(gòu)方程本構(gòu)方程將應(yīng)變矩陣代入上式將應(yīng)變矩陣代入上式第29頁/共45頁已知：單元節(jié)點力和節(jié)點虛位移，已知：單元節(jié)點力和節(jié)點虛位移，節(jié)點力所做的虛功節(jié)點力所做的虛功W為：為：4 4 由由應(yīng)力應(yīng)力求求節(jié)點力節(jié)點力 虛功方程虛功方程第30頁/共45頁已知：單元內(nèi)部應(yīng)力和虛應(yīng)變，則已知：單元內(nèi)部應(yīng)力和虛應(yīng)變，則整個彈性體內(nèi)的變形虛功整個彈性體內(nèi)的變形虛功U為為第31頁/共45頁第32頁/共45頁單元剛度矩陣為單元剛度矩陣為 將虛應(yīng)變矩陣將

11、虛應(yīng)變矩陣代入上式并整理代入上式并整理再將應(yīng)力矩陣代入得再將應(yīng)力矩陣代入得第33頁/共45頁第34頁/共45頁式中：式中：第35頁/共45頁位移函數(shù)位移函數(shù) 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程 虛功方程虛功方程單元剛度矩陣單元剛度矩陣k假設(shè)假設(shè)已知已知可以表達(dá)可以表達(dá)第36頁/共45頁也就是說也就是說對對貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)的的知道了知道了第37頁/共45頁取節(jié)點取節(jié)點i分析，單元分析，單元，和的共用，和的共用節(jié)點節(jié)點i，所以，所以節(jié)點節(jié)點i的內(nèi)力的內(nèi)力為三個單元為三個單元分力在該點之和：分力在該點之和：5 5 節(jié)點平衡方程組節(jié)點平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第38頁/共45頁由于每個節(jié)點有由于每個

12、節(jié)點有兩個未知位移兩個未知位移分量分量，所以根據(jù)下列，所以根據(jù)下列兩個平衡兩個平衡方程方程理論上，可以求解。理論上，可以求解。 5 5 節(jié)點平衡方程組節(jié)點平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第39頁/共45頁 從從網(wǎng)格節(jié)點的網(wǎng)格節(jié)點的整體整體來看，本來看，本問題共計問題共計6個節(jié)個節(jié)點點，每個節(jié)點有，每個節(jié)點有兩個位移分量兩個位移分量，共計，共計12個（未知）個（未知）位移位移分量分量。 每個每個單元分析單元分析都可以都可以用用12個節(jié)個節(jié)點位移點位移中的中的6個，個，描述描述該單元的節(jié)點內(nèi)力：節(jié)點內(nèi)力：也就是說也就是說所有所有單元的節(jié)點單元的節(jié)點內(nèi)力內(nèi)力都都能用能用12個位移未知量來表達(dá)。個

13、位移未知量來表達(dá)。5 5 節(jié)點平衡方程組節(jié)點平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第40頁/共45頁 列出所有節(jié)點的內(nèi)、外力平列出所有節(jié)點的內(nèi)、外力平衡方程：準(zhǔn)確的說是衡方程：準(zhǔn)確的說是12個方程個方程可以求解可以求解12個未知量（個未知量（可能是可能是位移也可能是外力位移也可能是外力）。）。注意：注意：邊界上的節(jié)點，有些位邊界上的節(jié)點，有些位移是已知的，有些是外力已知移是已知的，有些是外力已知的。如果沒有邊界條件，方程的。如果沒有邊界條件，方程會有無窮多個解。會有無窮多個解。5 5 節(jié)點平衡方程組節(jié)點平衡方程組 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第41頁/共45頁有限元分析的基本步驟：有限元分析的基本步驟：（1 1）結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體：將結(jié)構(gòu)分割成有限個單元體（2 2）選擇位移模式選擇位移模式：假定內(nèi)任一點位移可以用單元節(jié)：假定內(nèi)任一點位移可以用單元節(jié)點位移來表達(dá)，它們之間存在某種簡單函數(shù)關(guān)系。點位移來表達(dá)，它們之間存在某種簡單函數(shù)關(guān)系。第42頁/共45頁由虛位移原理由虛位移原理 可以得到單元的剛度矩陣可以得到單元的剛度矩陣（3 3）計算計算單元剛度矩陣單元剛度矩陣求單元節(jié)點位移求單元節(jié)點位移與與 節(jié)點節(jié)點內(nèi)力的關(guān)系內(nèi)力的關(guān)系求