高等數(shù)學下冊7-5(22)

1、一、概念的引入一、概念的引入例例: :設有一彈簧下掛一重物設有一彈簧下掛一重物,如果使物體具有一個初如果使物體具有一個初始速度始速度00 v,物體便離開平衡位置物體便離開平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振動附近作上下振動.試確定物體的振動規(guī)律試確定物體的振動規(guī)律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢復力恢復力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物體自由振動的微分方程物體自由振動的微分方程,sin ptHF 若受到鉛直干擾力若受到鉛直干擾力pthxkdtdxndtxdsin2222 強迫振動的方程強

2、迫振動的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時，時，當當0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當當0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、線性微分方程的解的結構二、線性微分方程的解的結構1.1.二階齊次方程解的結構二階齊次方程解的結構: :定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1

3、1) )的的兩兩個個解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常數(shù)數(shù)）問題問題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy定義：設定義：設nyyy,21為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內的內的n個函數(shù)如果存在個函數(shù)如果存在n個不全為零的常數(shù)，使得個不全為零的常數(shù)，使得當當x在該區(qū)間內有恒等式成立在該區(qū)間內有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么稱這那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間I內內線性相關線性相關否則否則稱稱線性無關線性無關例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關線性無

4、關線性相關線性相關時，時，當當),( x特別地特別地: 若若在在 I 上上有有常常數(shù)數(shù)， )()(21xyxy則則函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy在在 I 上上線線性性無無關關.定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個線的兩個線性無關的特解性無關的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二階非齊次線性方程的解的結構二階非齊次線性方程的解的結構: :定理定理 3 3 設設*y是二階非齊次線性

5、方程是二階非齊次線性方程)2()()()(xfyxQyxPy 的一個特解的一個特解, , Y是與是與(2)(2)對應的齊次方程對應的齊次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是二階非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 設非齊次方程設非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個函是幾個函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解

6、就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理三、降階法與常數(shù)變易法三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無關特解齊次線性方程求線性無關特解-降階法降階法的的一一個個非非零零特特解解，是是方方程程設設)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(21121

7、1dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設對應齊次方程通解為設對應齊次方程通解為2211yCyCy (3)設非齊次方程通解為設非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設設0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQy

8、xPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系數(shù)行列式系數(shù)行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應齊方一特解為對應齊方

9、一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應齊方通解為對應齊方通解為.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 設原方程的通解為設原方程的通解為應滿足方程組應滿足方程組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx四、小結四、小結主要內容主要內容線性方程解的結構；線性方程解的結構；線性相關與線性無關；線性相關與線性無關；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；補充內

10、容補充內容可觀察出可觀察出一個特解一個特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解一、一、 驗證驗證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數(shù)是任意常數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .練練 習習 題題 三三、已已知知xexy )(1是是齊齊次次線線性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一個個解解, ,求求此此方方程程的的通通解解 .