高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.3 平均值不等式一訓(xùn)練 北師大版選修45

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 51.31.3 平均值不等式（一）平均值不等式（一）一、選擇題1.若 log4(3a4b)log2ab，則ab的最小值是()a.62 3b.72 3c.64 3d.74 3解析先判斷a，b的符號，再將已知的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程，最后根據(jù)基本不等式求解.由題意得ab0，ab0，3a4b0，所以a0，b0.又 log4(3a4b)log2ab，所以 log4(3a4b)log4ab，所以 3a4bab，故4a3b1.所以ab(ab

3、)4a3b73ab4ba723ab4ba74 3，當(dāng)且僅當(dāng)3ab4ba時取等號，故選 d.答案d2.要制作一個容積為 4 m3，高為 1 m 的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20 元，側(cè)面造價是每平方米 10 元，則該容器的最低總造價是()a.80 元b.120 元c.160 元d.240 元解析設(shè)底面矩形的一條邊長是xm，總造價是y元，把y與x的函數(shù)關(guān)系式表示出來，再利用均值(基本)不等式求最小值.由題意知，體積v4 m3，高h(yuǎn)1 m，所以底面積s4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是xm，則另一條邊長是4xm， 又設(shè)總造價是y元， 則y204102x8x80202x8x160，當(dāng)

4、且僅當(dāng) 2x8x，即x2 時取得等號.答案c3.函數(shù)ylog2x1x15(x1)的最小值為()a.3b.3c.4d.46 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

5、 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5解析x1，x10，ylog2x1x15log2x11x16log2(26)log283.答案b4.若a，b，c0 且a(abc)bc423，則 2abc的最小值為()a.31b.31c.232d.232解析a(abc)bc423a(ab)(ab)c(ab)(ac)423.而 2abc(ab)(ac)2（ab） （a

6、c）2423232.當(dāng)且僅當(dāng)abac，即bc時等號成立.答案d5.若不等式x22xay22y對任意實數(shù)x、y都成立，則實數(shù)a的取值范圍是()a.a0b.a1c.a2d.a3解析x22xay22y，對任意實數(shù)x、y都成立，則ay22yx22x2(x1)2(y1)2恒成立，而 2(x1)2(y1)22，a2.答案c6.在下列函數(shù)中，最小值是 2 的是()a.yx55x(xr r 且x0)b.ylgx1lgx(1x10)c.y3x3x(xr r)d.ysinx1sinx0 x2解析a 中的函數(shù)式，x5與5x都不一定是正數(shù)，故可排除 a；b 中的函數(shù)式，lgx與1lgx都是正數(shù)且乘積為定值，運(yùn)用基本不

7、等式取等號的條件是 lgx1lgx，即x10 與 1x0，3x13x0，運(yùn)用基本不等式取等號的條件是 3x13x，而x6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

8、 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 50 成立，故選 c.d 中，0 x1，sinx1sinx.答案c7.若a是 12b與 12b的等比中項，則2ab|a|2|b|的最大值為()a.2 515b.24c.55d.22解析由題意得a2(12b)(12b)14b2.即a24b21.a24b22 4a2b2，得|ab|14且1|ab|4，2ab|a|2|b|

9、4a2b2a24|ab|4b24a2b214|ab|41a2b24|ab|41|ab|224436424.答案b二、填空題8.某公司一年購買某種貨物 400 噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為 4 萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為 4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x為_噸.解析每年購買次數(shù)為400 x次.所以總費(fèi)用400 x44x26 400160.當(dāng)且僅當(dāng)1 600 x4x，即x20 時等號成立.答案209.若正數(shù)a，b滿足a2b3，且使不等式12a1bm0 恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.解析不等式12a1bm0 恒成立，即 312a1b3m恒成立.又正數(shù)a，b滿足a2b3，(a2b

10、)12a1b12abba292，當(dāng)且僅當(dāng)ab1 時取“”，所以實數(shù)m的取值范6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d

11、b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5圍是，32 .答案，32三、解答題10.已知a，b(0，)，求證：(ab)1a1b4.證明a0，b0，ab2ab0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號.1a1b21ab0，當(dāng)且僅當(dāng)1a1b，即ab時取等號.，得(ab)1a1b2ab21ab4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號.11.如圖所示，將一矩形花壇abcd擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇ampn，要求b在am上，d在an上，且對

12、角線mn過c點，已知|ab|3 米，|ad|2 米.(1)要使矩形ampn的面積大于 32 平方米，則an的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)an的長度是多少時，矩形ampn的面積最小？并求最小面積；(3)若an的長度不少于 6 米， 則當(dāng)an的長度是多少時， 矩形ampn的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.解設(shè)an的長為x米(x2)，矩形ampn的面積為y.|dn|an|dc|am|，|am|3xx2，s矩形ampn|an|am|3x2x2(x2)(1)由s矩形ampn32 得3x2x232，x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，2x8，即an的長的取值范圍是2，83 (8，).6 e d b

13、c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(2) 令y3x2x23（x2）212（x2）12x2 3(x 2) 12x21223（x2）12x21224，當(dāng)且僅當(dāng) 3(x2)12x2，