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1、“五法”搞定空間距離郾城試驗高中 李春枝空間距離包括點到面、異面直線間、線到面、面到面的距離等多種情況,因此,求空間距離的方法也很多?,F(xiàn)將五種常用的方法歸納如下:一、 定義法。求空間距離,有時我們可按照定義求垂線段或公垂線段的長度。所以,只要能找出或作出垂線段或公垂線段,然后利用解三角形等方法就可求出其長度。例1、 平面內(nèi)有RtABC,C=90°,P是平面ABC外一點,且PA=PB=PC,P到平面ABC的距離為40cm,AC=18cm,求點P到BC的距離。分析:求點到直線的距離,一般可直接或結(jié)合三垂線定理等作出垂線段。P解:如圖作PO平面ABC,垂足為O。PA=PB=PC,則AO=B

2、O=CO。OO為ABC的外心。AB又C=90°,O點落在AB邊的中點,即PO的長就是DC作ODBC,由三垂線定理知PDBC,PD就是點P到BC邊的距離,又ODAC且OD=AC,OD=9,在RtPOD中,PD=41P到BC的距離為41cm。二、 轉(zhuǎn)化法。在求空間距離時,有時可根據(jù)需要進行各種距離之間的相互轉(zhuǎn)化,即:線線距離線面距離面面距離點面距離,從而打開思路,或使解題思路和解題過程簡化。例2、 如圖,正方形ABCD邊長為1,過D作PD平面ABCD,且PD=1,E、F分別是AB、BC的中點,求直線AC到平面PEF的距離。分析:要想求直線AC到平面PEF的距離,可在AC上找一點到,求其到

3、平面PEF的距離或到平面PEF上一直線(或一點)的距離即可。P解:ACEF,AC平面PEF,設(shè)AC與BD交于點O,AC與平面PEF的距離,就是點O到平面PEF的距離。EFBD,EFPD,EF平面PBD,平面PEF平面PBD,交線為PG,過O作OHPG于H點,DC則OH平面PEF,OH就是O點到平面PEF的距離。OHF在RtPDG中,OHPG,PDGOHG,GEBA,而PD=1,OG=,PG=,OH=。即直線AC到平面PEF距離是。本例的關(guān)鍵是把線面的距離轉(zhuǎn)化為點線距離,再通過解三角形來求解,類似地求面面距離也是轉(zhuǎn)化為點面距離;另一方面求點到面距離還可以轉(zhuǎn)化另一點到平面的距離。讀者可在解決問題時

4、認真體會其妙處。三、 等積法。點到面的距離,往往可以用等體積法來解。如例2、設(shè)O到平面PEF距離為h,則由VO-PEF=VP-OEF得h·SPEF=PD·SOEF ,h=。等積法關(guān)鍵在于把點到平面的距離看作一個棱錐的一個底面上的高,再將此棱錐用另外的底面及相應(yīng)的高求出體積即可。四、 向量法。利用向量法來求距離常用的方法又有兩種,其一是建立直角坐標系,其二是直接利用向量的運算來求解。例3、已知正方體ABCD-A1B1C1D1,棱長為1,求異面直線AA1和BD1的距離。分析:充分利用“向量數(shù)量積為0向量垂直”這一結(jié)論。解法一(向量法):取AA1的中點M,連結(jié)MD1、MB,設(shè)O為

5、BD1的中點。D1C1B1A1,OMD,BAC,=()=0,MOBD1。又=0,MOAA1。MO是 AA1 與BD1的公垂線段。2=z=,故AA1和BD1的距離是。D1C1A1解法二(坐標向量法)如圖建立空間直角坐標系。則A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1D1(0,0,1),=(0,0,1),=(-1,-1,1),DCBAy設(shè)=(x,y,z)是與的公垂線的方向向量,x由得z=0,x= -y。取=(1,-1,0)又=(0,1,0),則d=兩種方法均利用向量法求解,但思路卻不一樣.方法一以向量為工具達到了兩個目的,一是找出公垂線段,二是用向量的模得到公垂線段的長度.整體用的還是定義法的思路.方法二同樣以向量為工具,但利用公式d=(即在方向上的射影長度)求出距離,思路更加新穎,計算也更加簡單。此法可用于求點到面、和異面直線間的距離。其中,求點到平面距離時,可求點到平面上任一點構(gòu)成的向量在平面法向量上的射影長度。求異面直線距離時,可求異面直線各一點構(gòu)成的向量在異面直線公垂向量上的射影長度。五、函數(shù)法。求距

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