全國通用版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)二學案 新人教A版選修22

1、13.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(二)學習目標1.理解極值與最值的關系，并能利用其求參數(shù)的范圍.2.能利用導數(shù)解決一些簡單的恒成立問題知識點用導數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法(1)求導函數(shù)：求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)；(2)求極值嫌疑點：即f(x)不存在的點和f(x)0的點；(3)列表：依極值嫌疑點將函數(shù)的定義域分成若干個子區(qū)間，列出f(x)與f(x)隨x變化的一覽表；(4)求極值：依(3)的表中所反應的相關信息，求出f(x)的極值點和極值；(5)求區(qū)間端點的函數(shù)值；(6)求最值：比較極值嫌疑點和區(qū)間端點的函數(shù)值后，得出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最大值和最小值.類型一由極值與最值關系求參數(shù)

2、范圍例1若函數(shù)f(x)3xx3在區(qū)間(a212，a)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1，) b(1,4)c(1,2 d(1,2)考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案c解析由f(x)33x20，得x±1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a212<1<a，解得1<a<.又當x(1，)時，f(x)單調(diào)遞減，且當x2時，f(x)2.a2.綜上，1<a2.反思與感悟函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點必落在該區(qū)間內(nèi)跟蹤訓練1若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)

3、內(nèi)有最小值，則實數(shù)b的取值范圍是()a(0,1) b(，1)c(0，) d.考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案d解析由題意得，函數(shù)f(x)x36bx3b的導數(shù)f(x)3x26b在(0,1)內(nèi)有零點，且f(0)<0，f(1)>0，即6b<0，且(36b)>0，0<b<，故選d.類型二與最值有關的恒成立問題例2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1處都取得極值(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對x1,2，不等式f(x)<c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立中參數(shù)的取

4、值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因為f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x或x1，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，當x時，f c為極大值，因為f(2)2c，所以f(2)2c為最大值要使f(x)<c2(x1,2)恒成立，只需c2>f(2)2c，解得c<1或c>2.故實數(shù)c的取值范圍為(，1)(

5、2，)引申探究若本例中條件不變，“把(2)中對x1,2，不等式f(x)<c2恒成立”改為“若存在x1,2，不等式f(x)<c2成立”，結果如何？解由典例解析知當x1時，f(1)c為極小值，又f(1)c>c，所以f(1)c為最小值因為存在x1,2，不等式f(x)<c2成立，所以只需c2>f(1)c，即2c22c3>0，解得cr.故實數(shù)c的取值范圍為r.反思與感悟分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟跟蹤訓練2(1)已知函數(shù)f(x)2xln x，g(x)x2ax3對一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，則a的取值范圍是_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導

6、數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案(，4解析由2xln xx2ax3，得a2ln xx.設h(x)2ln xx(x>0)則h(x)，當x(0,1)時，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當x(1，)時，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增h(x)minh(1)4.a4.(2)設l為曲線c：y在點(1,0)處的切線求l的方程；證明：除切點(1,0)之外，曲線c在直線l的下方考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點恒成立中的證明問題解設f(x)，則f(x)，所以f(1)1，所以l的方程為yx1.證明設g(x)x1f(x)，除切點外，曲線c在直線l的下方等價于x>0且x1，g(x)>0

7、.g(x)滿足g(1)0，且g(x)1f(x).當0<x<1時，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當x>1時，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增；所以，x>0且x1，g(x)>g(1)0.所以除切點外，曲線c在直線l的下方.1函數(shù)f(x)xex，x0,4的最大值是()a0 b. c. d.考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案b解析f(x)exxexex(1x)，當0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當1x4時，f(x)

8、0，f(x)單調(diào)遞減，當x1時，f(x)maxf(1).故選b.2函數(shù)f(x)xln x的最小值為()ae2 bece1 d考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案c解析f(x)xln x，定義域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)>0，解得x>，令f(x)<0，解得0<x<，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當x時，函數(shù)取最小值，故選c.3已知函數(shù)f(x)exxa，若f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1，) b(，1)c1，) d(，1考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案a解析f

9、(x)ex1，令f(x)>0，解得x>0，令f(x)<0，解得x<0，故f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，故f(x)minf(0)1a，若f(x)>0恒成立，則1a>0，解得a>1，故選a.4已知函數(shù)f(x)x33x22，x1，x2是區(qū)間1,1上任意兩個值，m|f(x1)f(x2)|恒成立，則m的最小值是_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案4解析f(x)3x26x3x(x2)，當1x<0時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當0<x1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以

10、當x0時，f(x)取得極大值，也為最大值，f(0)2，又f(1)2，f(1)0，所以f(x)的最小值為2，對1,1上任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以m|f(x1)f(x2)|恒成立，等價于m4，即m的最小值為4.5已知函數(shù)f(x)ax4ln xbx4c(x>0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù)(1)試確定a，b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f(x)在x1處取得極值3c知f(

11、1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax4·4bx3x3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x>0)令f(x)0，得x1.當0<x<1時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當x>1時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是極小值，也是(0，)內(nèi)的最小值，要使f(x)2c2(x>0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.從而(2c3)(c1)0，解得c或c1.故實數(shù)c的取值范圍為

12、(，1.1若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點必落在已知區(qū)間內(nèi)2已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍：一般先分離參數(shù)，再轉化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解；若不能分離，則構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質求最值.一、選擇題1已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)在1,1上的最大值、最小值分別為()a0，4 b.，4c.，0 d2,0考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案b解析由題意得即得則f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x，由f ，f(1)4，f(1)0，f(x)max，f(x)min4.2已知a

13、，b為正實數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2在0,1上的最大值為4，則f(x)在1,0上的最小值為()a0 b.c2 d2考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點利用導數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值答案a解析因為a，b為正實數(shù)，所以f(x)ax3bx2是增函數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2.在1,0上的最小值為f(1)(ab)20.3若關于x的不等式x33x3a0恒成立，其中2x3，則實數(shù)a的最大值為()a1 b1c5 d21考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案d解析若關于x的不等式x33x3a0恒成立，則ax33x3在2,3上恒成立，令f(

14、x)x33x3，x2,3，則f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)>0，解得1<x<1，令f(x)<0，解得x>1或x<1，故f(x)在2，1)上單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3上單調(diào)遞減，而f(2)1，f(1)5，f(1)1，f(3)21，故a21，故a的最大值是21.4當x(0,3)時，關于x的不等式exx2mx>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()a. b.c(，e1) d(e1，)考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案a解析當x(0,3)時，關于x的不等式exx2mx>0恒成立，即

15、為2m1<在(0,3)上的最小值，令f(x)，則f(x)，當0<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當1<x<3時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增可得f(x)在x1處取得最小值e，即有2m1<e，可得m<.5若函數(shù)f(x)x33x21在a，)上的最大值為1，則a的取值范圍是()a3，) b(3，)c(3,0) d3,0考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案d解析f(x)x33x21，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0，解得x0或x2，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(

16、x)00f(x)極小值極大值由f(x)1，得x33x211，解得x0或x3.當x>0時，f(x)<f(0)1，當x<3時，f(x)>f(3)1，又f(x)x33x21在a，)上的最大值為1，a的取值范圍為3,06關于函數(shù)f(x)(2xx2)ex的命題：f(x)>0的解集是x|0<x<2；f()是極小值，f()是極大值；f(x)沒有最小值，也沒有最大值其中正確的命題是()a bc d考點導數(shù)在最值問題中的應用題點最值與極值的綜合應用答案a解析由于ex>0，所以f(x)>0，即需2xx2>0解得x|0<x<2，正確因為f(x)

17、(2xx2)ex的定義域是r，f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，令f(x)0，得x或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f()是極小值，f()是極大值，正確由圖象(圖略)知f()為最大值，無最小值，錯誤7若函數(shù)f(x)x33x在(a,6a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是()a(，1) b(，1c(，2) d(，2考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案d解析由題意知f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，當x<1或x>1時，f(x)>0；當1<

18、;x<1時，f(x)<0，故x1是函數(shù)f(x)的極大值點，f(1)132，令x33x2，解得x2，由題意得解得<a2.二、填空題8已知f(x)x2mx1在區(qū)間2，1上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案4，2解析f(x)m2x，令f(x)0，得x.由題意得2，1，故m4，29已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f(x)ex的圖象始終在函數(shù)g(x)xa圖象的上方，則實數(shù)a的取值范圍是_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案(1，)解析由題意知f(x)g(x)exxa>

19、0，對一切實數(shù)x恒成立，令h(x)exxa，則h(x)min>0，h(x)ex1，令h(x)0得x0，當x<0時，h(x)<0，則h(x)在(，0)上單調(diào)遞減，當x>0時，h(x)>0，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當x0時，h(x)取得極小值，即最小值為h(0)1a，1a>0，即a>1.10已知函數(shù)f(x)ax33x1，且對任意x(0,1，f(x)0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案4，)解析當x(0,1時，不等式ax33x10可化為a.設g(x)，x(0,1，則g(x).令

20、g(x)0，得x.當x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：xg(x)0g(x)極大值因此g(x)的最大值等于極大值g4，則實數(shù)a的取值范圍是4，)11已知函數(shù)f(x)axln x，g(x)exax，其中a為正實數(shù)，若f(x)在(1，)上無最小值，且g(x)在(1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點最值存在性問題答案1，e解析f(x)axln x(x>0)，f(x)a，若f(x)在(1，)上無最小值，則f(x)在(1，)上單調(diào)，f(x)0在(1，)上恒成立，或f(x)0在(1，)上恒成立，a或a，而函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞減，當x1時，

21、函數(shù)y取得最大值1，a1或a0，而a為正實數(shù)，故a1，又g(x)exax，g(x)exa，函數(shù)g(x)exax在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，g(x)exa0在區(qū)間(1，)上恒成立，a(ex)min在區(qū)間(1，)上恒成立而ex>e，ae.綜合，a1，e三、解答題12已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc(a，b，cr)(1)若函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，試求a，b的值；(2)在(1)的條件下，當x2,6時，f(x)<2|c|恒成立，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍解(1)f(x)3x22axb，函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極

22、值，1,3是方程3x22axb0的兩根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，令f(x)3x26x90，得x1或x3.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值而f(1)c5，f(3)c27，f(2)c2，f(6)c54，當x2,6時，f(x)的最大值為c54，要使f(x)<2|c|恒成立，只需c54<2|c|.當c0時，c54<2c，c>54；當c<0時，c54<2c，c<18.故實數(shù)c的取值范圍是(，18)(54，)13已知函數(shù)f(x)，若當x0,2時，f(x)恒成立，求a的取

23、值范圍考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍解f(x).當a0時，令f(x)0，得x1.在(0,1)上，有f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減又f(0)0，f(2)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)0，結論不成立當a0時，令f(x)0，得x11，x21.若a<0，則f(0)a<0，結論不成立若0<a1，則10.在(0,1)上，有f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減只需得到所以a1.若a>1，則0<1<1，函數(shù)在x1處有極小值，只需得到因為2a1>1，<1，所以a>1.綜上所述，a的取值范圍是a.四、探究與拓展14設直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點m，n，則當|mn|達到最小時t的值為()a1 b. c. d.考點利用導數(shù)求函數(shù)的最