造橋選址問題的拓展

1、_造橋選址問題的拓展利用平移變換進(jìn)行造橋選址，是平移變換的一個(gè)重要應(yīng)用。下面就課本中一道習(xí)題，加以拓展探究，我們可發(fā)現(xiàn)其一般規(guī)律。一、原題再現(xiàn)如圖 1， A 和 B 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN 。橋造在何處才能使從 A 到 B 的路徑 AMNB 最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）。（人教課標(biāo)七年級下冊2007 年第二版 37 頁第 7 題）分析：由于河岸寬度是固定的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB 中的MN 的長度是固定的。我們可以將點(diǎn) A 沿與河垂直的方向平移MN 的距離到 A1，那么為了使 AMNB最短，只需 A1 B 最短。根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短，連接A1

2、B，交河岸于點(diǎn) N，在此處造橋 MN ，所得路徑 AMNB 就是最短路徑。如圖2。精品資料_證明：如圖 3，如果在不同于MN 的位置造橋 M1 N1 。由于 M1 N1=MN=AA 1；又根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”?？芍珹N 1+N 1B A 1N+NB 。所以，路徑 AMNB 要短于 AM 1N1 B。二、拓展應(yīng)用拓展 1：如圖 4，如果 A、 B 兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的。我們?nèi)绾握业竭@個(gè)最短的距離呢？方法 1：仿照上例，可以將點(diǎn)A 沿與河垂直的方向平移兩個(gè)河寬分別到到A1、A2，路徑中兩座橋的長度是固定的。為了使路徑最短，只要A2B 最短。連接 A2B，交河

3、流 2 河岸于 N，在此處造橋 MN；連接 A1M，交河流 1 河岸于 P，在此處造橋 PQ 。所得路徑 AQPMNB 最短。方法 2：此題還可以用以下方法來確定建橋位置。精品資料_如圖 6，將點(diǎn) A 沿與第一條河流垂直的方向平移一個(gè)河寬到A1，將 B 沿與第二條河垂直的方向平移一個(gè)河寬到B1 ，連接 A1B1 與兩條河分別相交于N、P，在 N、P 兩處，分別建橋 MN 、PQ ，所得路徑 AQPMNB 最短。拓展 2：如圖 7，如果 A、 B 之間有三條平行的河流呢？方法 1：仿照拓展二方法1 ，將點(diǎn) A 沿與河垂直的方向平移S 三個(gè)河寬分別到到 A1 、A2、 A 3，路徑中三座橋的長度是

4、固定的。為了使路徑最短，只要A3B最短。連接 A3B ，交河流 3 于 N，在此處造橋 MN ；連接 A2N ，交河流 2 于 P，在此處造橋 PQ ；連接 A1Q ，交河流 1 于 R，在此處造橋 RS 。所得路徑 ASRQPMNB最短。精品資料_方法 2：此處還可以先將A 沿與河流 1 河岸垂直的方向平移兩個(gè)單位到A1 、A2，再將 B 沿與河流 3 河岸垂直的方向平移一個(gè)河寬到B1 ；或先將 A 沿與河岸垂直的方向平移1 個(gè)單位到 A1 ，再將 B 沿與河岸平移 2 一個(gè)河寬到 B1 、B2，來選擇修橋位置。（請同學(xué)們自己畫出圖形。）拓展 3：如圖 9，如果在上述條件不變的情況下，兩條河

5、不平行，又該如何建橋？方法 1：如圖 10 ，先將點(diǎn) A 沿與河流 1 河岸垂直的方向平移一個(gè)河寬到A1，再沿與河流 2 河岸垂直的方向平移一河寬到A2 ，連接 A2B，交河流 2 河岸于 N，此處建橋 MN ；連接 A1M，交河流 1 于 P，在此處建橋 PQ 。所得路徑 AQPMNB最短。方法 2：也可以將 A 沿與河流 1 垂直的方向平移1 個(gè)河寬，得到 A1 ，再將 B沿與河流 2 河岸垂直的方向平移1 個(gè)河寬得到 B1，連接 A 1B1 與河流 1、河流 2分別相交于 N、P，分別作橋 MN、PQ 。所得路徑 AQPNMB 最短。精品資料_由以上拓展，我們不難體會到，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，